Решение. Найдем потраченные кубометры и умножим их на указанную стоимость, предварительно заметив, что 13 руб. 50 коп. 13,5 руб
![]()
|
1. В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). Показания счётчика 1 января составляли 121 куб. м воды, а 1 февраля – 131 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за январь, если стоимость 1 куб. м холодной воды составляет 13 руб. 50 коп.? Ответ дайте в рублях. Решение. Найдем потраченные кубометры и умножим их на указанную стоимость, предварительно заметив, что 13 руб. 50 коп. = 13,5 руб. ![]() Ответ: 135. 2. На рисунке жирными точками показана цена меди на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни в октябре 2010 года. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали – цена меди в долларах США за тонну. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену меди за данный период. Ответ дайте в долларах США за тонну. Р ![]() ешение. Самая нижняя точка графика соответствует отметке 8085. Ответ: 8085. 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен квадрат. Найдите радиус вписанной в него окружности. Решение. Р ![]() Нетрудно посчитать по клеточкам, что длина квадрата равна 8 клеток, значит радиус равен 4. Ответ 4. 4. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнет игру с мячом не более одного раза. Решение. Обозначим через «1» случай, когда команда «Сапфир» начнет игру с мячом, и через «0» – противоположное событие. Тогда для команды в трёх матчах возможно 23 = 8 различных исходов: 000, 001, 010, 100, 101, 110, 011, 111. Среди восьми исходов условию задачи удовлетворяют только четыре, а именно 000, 001, 010, 100. Значит, искомая вероятность равна ![]() Ответ: 0,5. 5. Найдите корень уравнения ![]() Решение. ОДЗ: ![]() ![]() ![]() Ответ: –4. 6 ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. ![]() Ответ: 0,6. 7 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Специально отмечены точки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: 1,5. 8 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Указанный многогранник занимает ровно половину объема исходного параллелепипеда. Действительно, плоскость ![]() ![]() Поэтому ![]() Ответ: 60. 9. Найдите значение выражения ![]() Решение. ![]() Ответ: 11. 10. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: ![]() где t – время (в мин.), ![]() ![]() ![]() Решение. Решим неравенство: ![]() ![]() Итак, после 4 минут работы нагревательный элемент достигнет температуры 1800 К, поэтому его следует отключить. Ответ: 4. 11. Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа – со скоростью 45 км/ч, а за тем два часа – со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Решение. ![]() Ответ: 55. 12. Найдите наименьшее значение функции ![]() на отрезке ![]() Решение. На указанном отрезке функция ![]() ![]() Ответ: –35. 13. а) Решите уравнение ![]() б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ![]() Решение. ![]() Замена ![]() ![]() ![]() Возвращаемся к старой переменной ![]() ![]() Отбор корней: ![]() Ответ: а) 1/2, 2; б) 1/2. 14. Сечением прямоугольного параллелепипеда ![]() ![]() а) Докажите, что грань ABCD – квадрат. б) Найдите угол между плоскостями α и ![]() ![]() ![]() Р ![]() а) Диагонали ромба перпендикулярны, проекциями этих диагоналей на плоскость ABCD являются диагонали прямоугольника ABCD, которые также должны быть перпендикулярны. Значит ABCD – квадрат. б) Из доказанного следует, что треугольники BCN, BAM, ![]() ![]() ![]() ![]() Проведем перпендикуляр из M к плоскости ![]() Из треугольника BKN с катетами 3 и 4 находим высоту ![]() По построению ![]() ![]() Ответ: а) ч.т.д.; б) ![]() 15. Решите неравенство ![]() Решение. Пусть ![]() ![]() Возвращаемся к старой переменной. Исходное неравенство равносильно совокупности: ![]() ![]() Ответ: ![]() 16. В треугольнике ABC точки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() а) Докажите, что точки ![]() ![]() ![]() б) Найдите ![]() ![]() Решение. а) ![]() ![]() И ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Значит около четырехугольника ![]() б) По теореме синусов находим: ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() По теореме косинусов для треугольника ![]() ![]() ![]() Ответ: а) ч.т.д.; б) 1. 17. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() НЕПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ. Выражение для суммы на счёте: ![]() Считаем производную, ищем точку максимума: ![]() По условию, максимум достигается в конце 21 года, поэтому составим двойное неравенство: ![]() НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ: ![]() ПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ. За год ценные бумаги увеличиваются в цене в ![]() Видно, что относительное увеличение стоимости замедляется с каждым годом. Продавать бумаги и класть деньги в банк имеет смысл в том случае, когда в банке прирост за год (а, значит, и за все последующие годы) станет больше. По условию, продавать бумаги нужно в конце 21-го года, значит, за 21-ый год прирост стоимости ценных бумаг еще больше банковского процента, а в 22-м году – уже нет. Записываем: 21-ый год: ![]() 22-й год: ![]() ![]() ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ: ![]() 18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств ![]() ![]() Решение. Рассмотрим семейства следующих графиков: ![]() Неравенство ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из аналогичных рассуждений для ![]() ![]() Неравенство ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пересекая полученные неравенства, получаем ответ. Ответ: ![]() 19. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре? Решение. а) Да, например 6, 7, 8, 9, 10. б) Нет. Если попытаться добавить число к набору 6, 7, 8, 9, 10, которое будет меньше 6, то произведение этого числа и 6 будет меньше 40. А если к этому же набору прибавить число, большее 10, то произведение этого числа и 10 будет больше 100. в) 35. Докажем, что четыре подходящих числа 7, 8, 9, 11 обладают наибольшей суммой среди всех подходящих четверок чисел. Этот набор можно изменить, заменив 7 на 6 – сумма будет меньше. Также можно заменить 11 на 10 – снова получим уменьшение. А вот заменять число из данного набора на число, которое будет больше 11 нельзя: произведение этого числа и 10 будет больше 100. Поэтому данная четверка обладает наибольшей суммой. Ответ: а) да; б) нет; в) 35. 4ege.ru |