Численные методы. Лабораторная. решение нелинейных уравнений.. Решение не линейных уравнений

• Название: Решение не линейных уравнений
• Анкор: Численные методы. Лабораторная. решение нелинейных уравнений
• Дата: 13.12.2022
• Размер: 110.1 Kb.
• Имя файла: laba3.docx
• Тип: Лабораторная работа; #842040

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования
ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра: Высшей и прикладной математики

Лабораторная работа № 2
Дисциплина: Численные методы и прикладное программирование
Тема: Решение не линейных уравнений

Выполнил: Соловьев Д.А.

Группа 3/57

Проверил: Кокурина Г.Н.

Иваново 2022 г

Способ хорд

Теоретическая часть

Данный способ можно свести к следующему алгоритму:

1. 
   Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри каждого отрезка [x₁;x₂] функция монотонная, а на его концах значения функции (x₁) и (x₂) разных знаков. Так как функция (x) непрерывна на отрезке [x₁;x₂], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной точке между x₁ и x₂.
   
2. 
   Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y = (x), соответствующие абсциссам x₁ и x₂. Абсцисса a₁ точки пересечения этой хорды с осью ОХ и будет приближенным значением корня. Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки A(x₁;(x₁)) и B(x₂; (x₂)), в каноническом виде:
   

;

Учитывая, что y = 0 при x = a₁, выразим из данного уравнения a₁:

3. 
   Чтобы получить более точное значение корня, определяем (а₁). Если на данном отрезке мы имеем (x₁)<0, (x₂)>0 и (a₁)<0, то повторяем тот же прием, применяя формулу (1) к отрезку [a₁;x₂]. Если (x₁)>0, (x₂)<0 и (a₁)>0, то применяем эту формулу к отрезку [x₁;a₁]. Повторяя этот прием несколько раз, мы будем получать все более точные значения корня а₂, а₃ и т.д.
   

Метод касательных

Чтобы численно решить уравнение   методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме:  , где   — сжимающее отображение.

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения   должно выполняться условие  . Решение данного уравнения ищут в виде  , тогда:



В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню  , и что заданная функция непрерывна  , окончательная формула для  такова:



С учётом этого функция   определяется выражением:



Эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение^[1], и алгоритм нахождения численного решения уравнения   сводится к итерационной процедуре вычисления:


Пусть имеется уравнение х³-3х²+12х-9=0
Метод касательных
Найдем корни уравнения:

x3-3·x2+12·x-9 = 0


ε = 0.0001
Используем для этого Метод Ньютона.
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня x_n-1. Тогда n-ое приближение x_n мы можем получить следующим образом. Положим:
x_n = x_n-1 + h_n-1
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке x_n-1, получим:
f(x_n) = f(x_n-1+h_n-1) = f(x_n-1) + f’(x_n-1)h_n-1=0
Отсюда следует:

Подставим h_n-1 в формулу, получим:

Метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
Находим первую производную:
dF/dx = 12
Находим вторую производную:
d²F/dx² = 0
Решение.
F(-10)=-109; F(10)=91
Поскольку F(-10)*F(10)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [-10;10].
Вычисляем значения функций в точке a = -10
f(-10) = -109
f''(-10) =
Критерий остановки итераций.
|f(x_k)| < εm₁
или

где M₂ = max|f "(x)|, m₁ = min|f'(x)|.
Поскольку f(a)•f''(a) < 0, то x₀ = b = 10
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f'(x)
1	10	91	12	7.5833
2	2.4167	15.1667	12	1.2639
3	1.1528	2.5278	12	0.2106
4	0.9421	0.4213	12	0.03511
5	0.907	0.07022	12	0.00585
6	0.9012	0.0117	12	0.000975
7	0.9002	0.00195	12	0.000163
8	0.9	0.000325	12	2.7E-5

Ответ: x = 0.9 - 0.000325 / 12 = 0.90000541790504; F(x) = 5.4E-5
Параметр сходимости.
Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная с коэффициентом
α = M₂/2m₁, где M₂ = max|f "(x)|, m₁ = min|f'(x)|.Метод хорд.


Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a,b], в предположении, что f(a)f(b)<0.
Уравнение хорды:

В точке x=x₁, y=0, в результате получим первое приближение корня

Проверяем условия:
1. f(x1)f(b)<0,
2. f(x1)f(a)<0.
Если выполняется условие (1), то в формуле точку a заменяем на x₁, получим:

Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения:

Пусть f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x₁. Здесь выполняется f(x₁)f(a)<0. Затем вводим b₁=x₁ (в формуле точку b заменяем на x₁), получим:

Продолжая процесс, придем к формуле:

Останов процесса:
|x_n – x_n-1|< ε, ξ = x_n.
Находим первую производную:
dF/dx = 12
Находим вторую производную:
d²F/dx² = 0
Решение.
F(-10)=-169; F(10)=151
Поскольку F(-10)*F(10)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [-10;10].
Вычисляем значения функций в точке a = -10
f(-10) = -169
f''(-10) =
Поскольку f(a)•f''(a) < 0, то x₀ = b = 10
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(b-x)/(f(b)-f(x))
1	-10	-169	-10.5625
2	0.5625	0	0

Ответ: x = 0.563-(0) = 0.5625; F(x) = 0
Параметр сходимости.
Сходимость метода хорд линейная с коэффициентом:
α = 1 - m₁/M₁, где m₁ = min|f'(x)|; M₁ = max|f'(x)|

Найдем корни уравнения:

ctg(1.01·x)-x² = 0


ε = 0.0001

Метод хорд

Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a,b], в предположении, что f(a)f(b)<0.
Уравнение хорды:

В точке x=x₁, y=0, в результате получим первое приближение корня

Проверяем условия:
1. f(x1)f(b)<0,
2. f(x1)f(a)<0.
Если выполняется условие (1), то в формуле точку a заменяем на x₁, получим:

Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения:

Пусть f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x₁. Здесь выполняется f(x₁)f(a)<0. Затем вводим b₁=x₁ (в формуле точку b заменяем на x₁), получим:

Продолжая процесс, придем к формуле:

Останов процесса:
|x_n – x_n-1|< ε, ξ = x_n.
Находим первую производную:
dF/dx = 12
Находим вторую производную:
d²F/dx² = 0
Решение.
Поскольку F(-10)*F(10)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [-10;10].
Вычисляем значения функций в точке a = -10
f(-10) = -109
f''(-10) =
Поскольку f(a)•f''(a) < 0, то x₀ = b = 10
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x	F(x)	h = F(x)*(b-x)/(f(b)-f(x))
1	-10	-109	-10.9
2	0.9	0	0

Ответ: x = 0.9-(0) = 0.9; F(x) = 0
Параметр сходимости.
Сходимость метода хорд линейная с коэффициентом:
α = 1 - m₁/M₁, где m₁ = min|f'(x)|; M₁ = max|f'(x)|



ctg(1,01x)-x^2=0

Используем для этого Комбинированный метод.
Пусть f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют знаки на [a,b]. Объединяя метод хорд и метод Ньютона, можно ускорить сходимость итерационного процесса поиска корня.
В результате мы получаем комбинированный метод, на каждом шаге которого находим значение обоих границ интервалов, внутри которых содержится корень.
Также как и в методе хорд, рассмотрим следующие ситуации:
1. Если f’’(b₀)f(b₀)>0 (то есть b_n - неподвижен) то:


2) Если f’’(a₀)f(a₀)>0 (a_n - неподвижен), то:


Находим первую производную:
dF/dx = -2•x-1.01•cot(1.01•x)²-1.01
Находим вторую производную:
d²F/dx² = 2.04•(cot(1.01•x)²+1)•cot(1.01•x)-2