Функция издержек имеет вид ????(????) = ???? 0,1 ∙ ????2. Решение Определим функцию валовой выручки от продажи х ед продукции R(x) p 0 x 50x Найдем функцию прибыли

• Название: Решение Определим функцию валовой выручки от продажи х ед продукции R(x) p 0 x 50x Найдем функцию прибыли
• Анкор: Функция издержек имеет вид ????(????) = ???? 0,1 ∙ ????2
• Дата: 17.03.2021
• Размер: 42.22 Kb.
• Имя файла: TAS1.docx
• Тип: Решение; #185787

Контрольная работа
Вариант __45_________________________________________________

1. 
   Функция издержек имеет вид 𝐶(𝑥) = 𝑥 + 0,1 ∙ 𝑥2. Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.
   

Решение:
Определим функцию валовой выручки от продажи х ед. продукции:

R(x) = P₀ ∙ x = 50x

Найдем функцию прибыли:

(x) = R(x) – C(x) = 50x – (x + 0,1x²) = 49x – 0,1x²

Исследуем её на экстремум, найдем первую и вторую производные:

𝜕


(вогнутость)
Точка глобального экстремума х = 245, вогнутость показывает на то что

эта точка – глобальный максимум. Следовательно, максимизирующий прибыль объем производства равен 21 ед.

Максимальная прибыль составит:


Ответ: 6002,2

2. 
   Имеются данные (таблица) о работе системы нескольких отраслей в прошлом периоде и план выпуска конечной продукции 𝑌1 в будущем периоде, усл. ден. ед.
   

Производящие отрасли	Потребляющая отрасль 1	Потребляющая отрасль 2	Чистая продукция	План 𝑌1
1 2	80 70	120 30	300 200	350 300

Найти матрицы прямых и полных затрат, а также выпуск валовой продукции в плановом периоде, обеспечивающей выпуск конечной продукции 𝑌1.
Решение:
Найдем валовый выпуск отраслей:





Найдем матрицу прямых затрат. Ее элементы можно найти по формуле:


Подставляя числовые значения, получаем матрицу прямых затрат:

А = =

Преобразуем формулу (модель Леонтьева)

X = AX + Y

X - AX = Y

(E - A)X = Y

(E - A)(E - A)^-X

X = (E - A)^-Y

Матрица полных затрат B = (E-A)^-
E-A = - =
Вычислим определитель матрицы (E-A):
= 0,84×0,9-(-0,4 × (-0,14)) = 0,7
Алгебраические дополнения:

A₁₁ = 0,9

A₁₂ = 0,14

A₂₁ = 0,4

A₂₂ = 0,84
Определим матрицу полных затрат, находя обратную матрицу E-A:
B = = =
Найдем выпуск валовой продукции в плановом периоде по формуле:

X_n = B × 𝑌1
X_n = ×( ) = ( )


Ответ:

а) матрица прямых затрат: ;
б) матрица полных затрат: ;

в) выпуск валовой продукции: ( ).

3. 
   Потребитель имеет возможность потратить сумму 1000 (ден. ед.) на приобретение x единиц первого товара и y единиц второго товара. Задана функция полезности 𝑈(𝑥, 𝑦) и цены 𝑝1, 𝑝2 единицы соответственно первого и второго товаров. Найти значения (𝑥, 𝑦) , при которых полезность для потребителя будет наибольшей:
   

𝑈(𝑥, 𝑦) = 0,5 ∙ ln(𝑥 − 2) + 2 ∙ ln(𝑦 − 1); 𝑝1 = 0,2, 𝑝2 = 4
Линии уравнения функции полезности (С - константа):
Пусть 𝑈(𝑥, 𝑦) = С, тогда и 0,5 ∙ ln(𝑥 − 2) + 2 ∙ ln(𝑦 − 1) = С
Воспользуемся свойствами логарифмов:
ln (𝑥 − 2)^0,5 ∙ (y − 1)² = C отсюда:
(y – 1)² = где А = е^с

Таким образом линии уравнения представляют собой график функции кривой безразличия:
y = + 1
Максимальное значение А, а, следовательно, С достигается в том случае, если соответствующая кривая безразличия касается прямой (линии уровня затрат) 0,2х + 4y = 1000. Т.к. градиент в каждой точке перпендикулярен линии уровня, то из этого следует, что условие максимальности прибыли может быть сформировано так:

Grad U(x,y) ⊥ (0,2x + 4y = 1000)
Так как y = , то k₁ = ,
условный коэффициент прямой, проходящий через Grad U равен:
k₂ = =
из условия перпендикулярности прямых имеем:
k₁ = - , т. е. , отсюда:

k₂ = 20

k₁ =
Найдем оптимальное распределение потребления товаров:

, отсюда


Ответ:

4. 
   Известно, что рост числа 𝑦 = 𝑦(𝑡) жителей некоторого района описывается уравнением
   

𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0,2 ∙ 𝑦 𝑚 ∙ (𝑚 − 𝑦),

где m – максимально возможное число жителей для данного района. В начальный момент времени число жителей составляло 1 % от максимального. Через какой промежуток времени оно составит 80 % от максимального?
Решение:
Разделяя переменные в уравнении, приходим к следующему равенству:



Выполняя почленное интегрирование этого равенства, получаем:



, где


Из начальных условий находим значение постоянной С. Так как , то . А значит,
Выразим функцию t из данного равенства:


Принимая во внимание, что , получим:


Ответ:29,91

5. 
   Распределение вероятностей случайной величины Х задается интегральной функцией распределения:
   

F(x) =
Построить график функции плотности распределения вероятностей случайной величины Х. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (2;3). Найти для случайной величины Х математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
Решение:
График функции имеет вид:


Вероятность попадания случайной величины в интервал (2;3) равна:
P(2 < x < 3) = F(3) - F(2) 
Математическое ожидание равно:



Для нахождения среднего квадратичного отклонения определим дисперсию:





Среднее квадратическое отклонение равно:


Ответ: Вероятность попадания случайной величины в интервал (2;3) = ;

математическое ожидание = 5; квадратическое отклонение =