Расчетно-аналитическая работа по статистике. РарДляСайта. Решение Первого примут, если он пройдет все три дистанции
 Скачать 37.09 Kb.
|
|
№ 1. Пловца в команду принимают следующим образом. Сначала он должен проплыть 100 м за определенное время. Если справится, то 500 м за определенное время. Если и с этим справится, тогда километровую дистанцию за определенное время. Два спортсмена претендуют на место в команде, причем первый вовремя преодолевает соответствующие дистанции с вероятностями 0,9, 0,8 и 0,5, а второй – с вероятностями 0,8, 0,8 и 0,6 соответственно. Какова вероятность того, что в команду: а) будет принят первый из них; б) будет принят хотя бы один из них; в) будут приняты оба; 0,7 г) будет принят только один из них? Решение Первого примут, если он пройдет все три дистанции. а) P(1)=0,7*0,9*0,8=0,504. И не примут с вероятностью Q(1)=1-P(1)=0,496 Второго примут с вероятностью P(2)=0,9*0,8*0,6=0,432. И не примут с Q(2)=1-P(2)=0,568. Их обоих не примут с вероятностью Q(3)=Q(1)*Q(2)=0,496*0,568=0,282 б) Примут хоть одного с вероятностью P(3)=1-Q(3)=1-0,282=0,718 в) Примут обоих с вероятностью P(4)=P(1)*P(2)=0,504*0,432=0,218 Вероятность, что 1 примут, а 2 нет p1=P(1)*Q(2)=0,504*0,568=0,286 Вероятность, что 2 примут, а 1 нет p2=P(2)*Q(1)=0,432*0,496=0,214 г) Вероятность, что примут только одного P(5)=p1+p2=0,286+0,214=0,5 № 2. В университет из дома можно добраться тремя различными автобусами, которые отходят от разных остановок. Выходя из дома, студент оценил, что к первой остановке он успеет к приходу автобуса по расписанию с вероятностью 0,8, ко второй- с вероятностью 0,7, а к третьей – с вероятностью 0,9. Однако автобус первого маршрута может уйти раньше времени с вероятностью 0,2, второго с вероятностью 0,15 и третьего- с вероятностью 0,1. Студенту удалось сесть в автобус вовремя. С какой остановки он скорее всего уехал? Решение Вероятности сесть на автобус с каждой из остановок составит: Р(А)=P*Q=0,8*(1-0,2)=0,64 Р(В)=P*Q=0,7*(1-0,15)=0,595 Р(С)=P*Q=0,9*(1-0,1)=0,81 То есть, вероятнее всего сесть на автобус на остановке 3, поэтому студент скорее всего пошёл туда. Ответ: остановка 3. № 3. Пульт охраны связан с тремя охраняемыми объектами. Вероятность поступления сигнала с этих объектов составляет соответственно 0,2, 0,3 и 0,6. Составить закон распределения случайной величины - числа объектов, с которых поступит сигнал. Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения. Решение Введем обозначения A, B, C — события, заключающиеся в поступлении сигналов с первого, второго и третьего объектов соответственно. Тогда: P(0)=Q(A)*Q(B)*Q(C)=0,8*0,7*0,4=0,224 P(1)= 0,2*0,7*0,4+0,8*0,3*0,4+0,8*0,7*0,6=0,488 P(2)= 0,2*0,3*0,4+0,2*0,7*0,6+0,8*0,3*0,6=0,252 P(3)=P(A)*P(B)*P(C)=0,2*0,3*0,6=0,036 Получим функцию распределения  Математическое ожидание составит: М(Х)=∑X*P=0*0,224+1*0,488+2*0,252+3*0,036=1,1 Дисперсия: D(X)=M(X^2)-M(X)^2=0^2*0,224+1^2*0,488+2^2*0,252+3^2*0,036-1,1 =0,61 Среднеквадратическое отклонение:  № 4. Случайные величины Xи Y имеют биномиальные распределения с параметрами 𝑛 = 40 и 𝑝 = 0,2 для величины Xи 𝑛 = 100 и 𝑝 = 0,1 для величины Y . Найти математическое ожидание и дисперсию величины 𝑍 = 10𝑋 − 2𝑌, если известен коэффициент корреляции 𝜌(𝑋, 𝑌) = −0,7. Решение Математическое ожидание по биномиальному закону составляет: M=n*p M(Y=10𝑋 − 2𝑌)=10M(X)-2M(Y)=10*40*0,2-2*100*0,1=60 Дисперсия: D(Y=10𝑋 − 2𝑌)=10^2*D(X)-2^2*D(Y)=100*40*0,2*(1-0,2)-2*2*100*0,1*(1-0,1)=604 Ответ: 60; 604 № 5. Случайные величины Xи Y имеют следующий совместный закон распределения: 𝑃(𝑋 = 1, 𝑌 = 1) = 0,14; 𝑃(𝑋 = 2, 𝑌 = 1) = 0,11 𝑃(𝑋 = 1, 𝑌 = 2) = 0,18; 𝑃(𝑋 = 2, 𝑌 = 2) = 0,2; 𝑃(𝑋 = 1, 𝑌 = 3) = 0,16; ; 𝑃(𝑋 = 2, 𝑌 = 3) = 0,21. Выписать одномерные законы распределения случайных величин Xи Y , вычислить математические ожидания 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑌) и дисперсии 𝐷(𝑋), 𝐷(𝑌). Найти ковариацию 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) и коэффициент корреляции 𝜌(𝑋, 𝑌). Выяснить, зависимы или нет события {𝑋 = 1} и {𝑋 ≥ 𝑌}. Составить условный закон распределения случайной величины 𝑍 = (𝑋|𝑌 ≥ 2) и найти 𝐸(𝑍) и 𝐷(𝑍). Решение Составим законы распределения: Х
Y
E(X)=1,52 E(Y)=2,12 D(X)=0,48+2*2*0,52-1,52^2=0,25 D(Y)=0,25+2*2*0,38+3*3*0,37-2,12^2=0,61 cov (X, Y) = E (X · Y) − E (X) · E (Y)=1*(1*0,14+2*0,18+3*0,16)+2*(1*0,11+2*0,2+3*0,21)-1,52*2,12=0,04 Коэффициент корреляции: p=0,04/(0,5*0,61^0,5)=0,1 Таким образом, события независимы Z
E(Z)=2*0,53+3*0,47=2,47 D(Z)= 2*2*0,53+3*3*0,47-2,47^2=0,25 № 6. Торговая фирма продала 600 телевизоров. Если телевизор оказывается неисправным, фирма забирает его у потребителя, отправляет поставщику и несет при этом расход 100 тыс. рублей. Какова вероятность того, что расходы составят более десяти миллионов рублей, если в среднем с дефектами оказывается каждый двенадцатый телевизор? Решение Ecли в среднем с дефектами оказывается каждый двенадцатый телевизор, то вероятность того, что наугад взятый телевизор – бракованный, равна р = 1/12. Всего продано n = 600 телевизоров. Ecли за каждый бракованный телевизор фирма теряет 100 тыс. рублей, то для того, чтобы расходы составили более десяти миллионов рублей, или 10 000 тыс. рублей, нужно чтобы бракованных телевизоров оказалось не меньше, чем k = 10 000 тыс.руб / 100 тыс. рублей = 100 штук. Таким образом, нужно найти вероятность того, что из 600 проданных телевизоров бракованными окажутся не менее 100 телевизоров, если вероятность брака для одного телевизора равна р = 1/12. Эта задача относится к схеме повторных независимых испытаний Бернулли. Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа: Здесь n = 600; р = 1/12 ; q = 1р=11/12 ; k1 = 100, k2 = 600 - не менее 100 из 600 телевизоров окажутся бракованными.  Ответ: 0. № 7. Известно, что время непрерывной работы электрической лампы есть случайная величина X(час.), имеющая показательный закон распределения. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины, если известно, что вероятность непрерывной работы лампы не менее 800 час составляет 0,2. Построить графики функции распределения и функции плотности распределения этой случайной величины. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что время непрерывной работы лампы отличается от среднего значения не более, чем на 20 часов. Вычислить эту же вероятность, используя функцию распределения показательного закона. Объяснить расхождение результатов. Решение Вероятность составляет:   Для показательного закона: M(x)=  Функция распределения:   Функция плотности распределения:   Неравенство Чебышева: P=1-D(x)/E^2=1-500^0,5/400=0,944 Через показательное распределение:  Незначительное расхождение объясняется малым порядком чисел, что нивелируется законом больших чисел. |