решение задачи по комбинаторике. Решение. Решение Присвоим номера ученикам 114. Пусть первые двое (1 и 2) начинают дежурить в первый день. Назначение учеников на дежурства будут повторяться. Найдем наименьший период Т

• Название: Решение Присвоим номера ученикам 114. Пусть первые двое (1 и 2) начинают дежурить в первый день. Назначение учеников на дежурства будут повторяться. Найдем наименьший период Т
• Анкор: решение задачи по комбинаторике
• Дата: 07.09.2022
• Размер: 27.78 Kb.
• Имя файла: Решение.docx
• Тип: Решение; #666340

Задача. В классе 14 человек. В каждый из 62 учебных осенних дней какие-то четверо из них назначались дежурными. Докажите, что какие-то двое ребят дежурили вместе хотя бы 5 раз.

Решение

Присвоим номера ученикам 1-14. Пусть первые двое (№1 и №2) начинают дежурить в первый день. Назначение учеников на дежурства будут повторяться. Найдем наименьший период Т.

Следовательно, через 7 дней назначение повторяется. Какие-то двое, а именно, например, ученики №1 и №2 повторно назначаются на дежурства в один день (т.е. дежурят вместе). На периоде 7 дней эти ученики могут дежурить вместе 2 дня (см. схему). Например, за 3 недели (3*7=21 день) дежурства вместе в один день для учеников №1 и №2 будет 3*2 = 6 раз.

Т.е. хотя бы 5 раз¹ они (например ученики №1 и №2) дежурят вместе в один день.

На самом деле они попадают дежурить в один день 62/7*2+2=18 раз.

Недели
1									2										8										9 (неполная)
Дни
1	2	3	4	5	6	7				8	9	10	11	12	13	14		…		50	51	52	53	54	55	56				57	58	59	60	61	62
Ученики по номерам									Ученики по номерам										Ученики по номерам										Ученики по номерам
1	5	9	13	3	7	11				1	5	9	13	3	7	11				1	5	9	13	3	7	11				1	5	9	13	3	7
2	6	10	14	4	8	12				2	6	10	14	4	8	12				2	6	10	14	4	8	12				2	6	10	14	4	8
3	7	11	1	5	9	13				3	7	11	1	5	9	13				3	7	11	1	5	9	13				3	7	11	1	5	9
4	8	12	2	6	10	14				4	8	12	2	6	10	14				4	8	12	2	6	10	14				4	8	12	2	6	10

Если в задаче требуется, именно, какие то двое ученика, а остальные 12 что бы не попадали вместе, то тогда чтобы не повторялись каждые другие пары из остальных учеников (кроме №1 и №2) мы можем в течение 3-х недель переставлять их например, так:

На места, где сейчас ученики 3,4 – выберем каждый раз из 12 учеников по 2 ( )

т.е. в течение 3-х недель на места 3, 4 мы можем разместить по – разному (по крайней мере есть больше 6 разных способов).
Если мы уже разместили на места 3,4, то остальные 15 дней заполнены так:

5	9	3	7	11	5	9	3	7	11	5	9	3	7	11
6	10	4	8	12	6	10	4	8	12	6	10	4	8	12
7	11	5	9	13	7	11	5	9	13	7	11	5	9	13
8	12	6	10	14	8	12	6	10	14	8	12	6	10	14

И, чтобы никакие двое не попали вместе, мы можем в каждом из 3-х нижних рядов взять перестановку из 15 чисел

(15! способов есть для каждой из 3-хстрок)

1^ Событие «Хотя 5 раз» означает «5 или более раз»