Моделирование экономических процессов. Письменная работа. Решение Пусть фирме необходимо произвести x

• Название: Решение Пусть фирме необходимо произвести x
• Анкор: Моделирование экономических процессов
• Дата: 20.09.2022
• Размер: 33.87 Kb.
• Имя файла: Письменная работа.docx
• Тип: Документы; #686609

Задание 1

Составить план производства продукции, обеспечив максимум прибыли, учитывая ограничения.

	Расход сырья (доли)				Прибыль от реализации единицы продукции, руб.
	Сырье 1	Сырье 2	Сырье 3	Сырье 4
Продукт 1	0,2	0,3	0,1	0,4	120
Продукт 2	0,4	0,1	0,3	0,2	150
Продукт 3	0,6	0,1	0,1	0,2	110
Наличие сырья на складе, кг	850	640	730	1000

Решение:

Пусть фирме необходимо произвести x₁ продукции 1, x₂ продукции 2 и x₃ продукции 3. Тогда x_j≥0; j =1..3.

На выпуск такого количества продукции будет затрачено

(0.2x₁ + 0.4x₂ + 0.6x₃) сырья 1

(0.3x₁ + 0.1x₂ + 0.1x₃) сырья 2

(0.1x₁ + 0.3x₂ + 0.1x₃) сырья 3

(0.4x₁ + 0.2x₂ + 0.2x₃) сырья 4

Количество затраченных ресурсов не должно превышать имеющийся запас, т.е. 850, 640, 730, 1000 кг сырья соответственно.

Суммарная прибыль от реализации всей продукции составит:

Z = 120x₁ + 150x₂ + 110x₃

и она должна быть максимальной.

Итак, математическая модель исходной задачи:

x_j > 0; j=1,2,3

0,2x₁+0,4x₂+0,6x₃≤850

0,3x₁+0,1x₂+0,1x₃≤640

0,1x₁+0,3x₂+0,1x₃≤730

0,4x₁+0,2x₂+0,2x₃≤1000

Z = 120x₁ + 150x₂ +110x₃ →max

Приведем математическую модель задачи к стандартному виду:

x_j > 0; j=1,2,3,4,5,6,7

0,2x₁+0,4x₂+0,6x₃+x₄=850

0,3x₁+0,1x₂+0,1x₃ +x₅=640

0,1x₁+0,3x₂+0,1x₃+x₆=730

0,4x₁+0,2x₂+0,2x₃+x₇=1000
Z = 120x₁ + 150x₂ + 110x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ max,

Решаем исходную задачу в симплекс – таблице:

cj	120	150	110	0	0	0	0	bi	bi/ais, ais>0
xj xi	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x4	1/5	2/5	3/5	1	0	0	0	850	2125
x5	3/10	1/10	1/10	0	1	0	0	640	6400
x6	1/10	3/10	1/10	0	0	1	0	730	7300/3
x7	2/5	1/5	1/5	0	0	0	1	1000	5000
Z	-120	-150	-110	0	0	0	0	0
x2	1/2	1	3/2	5/2	0	0	0	2125	4250
x5	1/4	0	-1/20	-1/4	1	0	0	855/2	1710
x6	-1/20	0	-7/20	-3/4	0	1	0	185/2	-
x7	3/10	0	-1/10	-1/2	0	0	1	575	5750/3
Z	-45	0	115	375	0	0	0	318750
x2	0	1	8/5	3	-2	0	0	1270
x1	1	0	-1/5	-1	4	0	0	1710
x6	0	0	-9/25	-4/5	1/5	1	0	178
x7	0	0	-1/25	-1/5	-6/5	0	1	62
Z	0	0	106	330	180	0	0	395700

Отрицательные значения в последней строке отсутствуют, следовательно, план оптимален.

Ответ:

X^*=(1710; 1270; 0)

Z_max=395700
Для получения максимальной суммарной прибыли в размере 395700 руб. необходимо изготовить 1710 единицы продукции 1 и 1270 единиц продукции 2.
Задание 2

Распределить план перевозок однотипного груза от трёх поставщиков к четырём потребителям, обеспечив минимальные затраты на перевозку.

	Тарифы по перемещению единицы груза, тыс.руб.
	Потребитель1	Потребитель2	Потребитель2	Потребитель4	Возможности поставщика
Поставщик1	7	4	9	3	400
Поставщик2	2	11	8	4	550
Поставщик 3	3	8	6	5	300
Потребности потребителя	450	250	200	350

Решение:

Проверим условие разрешимости транспортной задачи:

∑a_i=400+550+300=1250

∑b_i=450+250+200+350=1250
Т.к. ∑a_i=∑b_i, то имеем ТЗ закрытого типа.

Составим математическую модель:

x_ij > 0, i=1,2,3, j=1..4

x₁₁+x₁₂+ x₁₃+x₁₄=400

x₂₁+x₂₂+ x₂₃+x₂₄=550

x₃₁+x₃₂+ x₃₃+x₃₄=300

x₁₁+x₂₁+ x₃₁=450

x₁₂+x₂₂+ x₃₂=250

x₁₃+x₂₃+ x₃₃=200

x₁₄+x₂₄+ x₃₄=350

Z = 7x₁₁ + 4x₁₂ + 9x₁₃ + 3x₁₄ +2x₂₁ +11x₂₂ +8x₂₃ +4x₂₄ +3x₃₁ +8x₃₂ +6x₃₃ +5x₃₄  min

Найдем исходный опорный план методом наименьшей стоимости.

Поставщики	Потребители
	450			250			200			350
400		7	50		4			9	350		3
550	450	2	100		11			8			4
300		3	100		8	200		6			5

Т.о. мы получили первый опорный план: 

Проверим число базисных клеток. В общем случае их должно быть: m+n-1=6 шт., т.е. заполненных клеток должно быть 6 штук. В таблице это выполняется, значит, исходный опорный план найден верно. Найдем значение целевой функции

F(x) = 4*50 + 3*350 + 2*450 + 11*100 + 8*100 + 6*200 = 5250

Проверим полученный план на оптимальность. Для этого найдем значение потенциалов поставщиков и потребителей U_i и V_j соответственно (потенциалы находим только для базисных клеток) по формуле U_i V_j  C_ij, полагая, что U₁=0. Составим и решим следующую систему:

U₁+V₂=4; V₂=4

U₂+V₂=11; U₂=7

U₂+V₁=2; V₁=-5

U₃+V₂=8; U₃=4

U₃+V₃=6; V₃=2

U₁+V₄=3; V₄=3
Найдем оценки свободных клеток по формуле: _ij  U_i V_j  C_ij:

₁₁=0-5-7=-12 ₁₃=0+2-9=-7 ₂₃=7+2-8=1 ₂₄=7+3-4=6 ₃₁=4-5-3=-4 ₃₄=4+3-5=2

Т.к. среди оценок есть положительные, то план X₀ не оптимальный. Строим цикл пересчета для свободной клетки (2;4): 2;4  2;2  1;2  1;4. min100, 350 100

Поставщики	Потребители
	450			250			200			350
400		7	50		4			9	350		3
					[+]						[-]
550	450	2	100		11			8			4
					[-]						[+]
300		3	100		8	200		6			5

Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках, и вычитаем 100 из xij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план:

Поставщики	Потребители											Ui
	450		250		200			350
400		7	150	4		9	250		3	0
550	450	2		11		8	100		4	1
300		3	100	8	200	6			5	4
Vj	1		4		2			3

Проверим оптимальность опорного плана.

₁₁=0+1-7=-6 ₁₃=0+2-9=-7 ₂₂=1+4-11=-6 ₂₃=1+2-8=-5 ₃₁=4+1-3=2 ₃₄=4+3-5=2

Т.к. среди оценок есть положительные, то план не оптимальный. Строим цикл пересчета для свободной клетки (3;1): 3;1 → 3;2 → 1;2 → 1;4 → (2;4) → (2;1). min100, 250, 450 100

Поставщики	Потребители											Ui
	450		250		200			350
400		7	150	4		9	250		3	0
				[+]					[-]
550	450	2		11		8	100		4	1
		[-]							[+]
300		3	100	8	200	6			5	4
		[+]		[-]
Vj	1		4		2			3

Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках, и вычитаем 100 из xij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план:

Поставщики	Потребители											Ui
	450		250		200			350
400		7	250	4		9	150		3	0
550	350	2		11		8	200		4	1
300	100	3		8	200	6			5	2
Vj	1		4		4			3

Проверим оптимальность опорного плана.

₁₁=0+1-7=-6 ₁₃=0+4-9=-5 ₂₂=1+4-11=-6 ₂₃=1+4-8=-3 ₃₂=2+4-8=-2 ₃₄=2+3-5=0

Т.к. все оценки _ij­  0, то план оптимальный.



F(x) = 4*250 + 3*150 + 2*350 + 4*200 + 3*100 + 6*200 = 4450

Ответ: F(x) = 4450