Байкал. 7 класс. Решения. Решение Схематично изобразим происходящее пусть серые квадраты мальчики, а белые круги девочки. Во внешнем круге стоят кавалеры
 Скачать 197.42 Kb.
|
|
I Открытая олимпиада по математике в школе 1543 7 класс. Решения. 1 За круглым столом сидят болельщики «Спартака» и «Динамо». Каждый из сидящих сказал соседу справа: «Я и мой сосед слева болеем за разные команды». Известно, что болельщики говорят правду своим и лгут чужим. Сколько их могло быть, если известно что их не больше 30 и не меньше 25? Решение: Рассмотрим каких-то трёх людей А, Б, В, сидящих подряд. Если Б и А болеют за разные команды, то Б сказал правду, а значит Б и В болеют за одинаковые команды. А если Б и А болеют за одну команду, то Б соврал, и они с В болеют за разные команды. Значит, у каждого человека один сосед болеет за ту же команду, что и он, а другой — за другую. Получается, что болельщики сидят в таком порядке: ...ССДДССДД... Чтобы круг замкнулся, число болельщиков должно делиться на 4, следовательно их 28. 2 На доске написано 512 : (256 : (128 : (64 : (32 : (16 : (8 : (4 : 2))))))) = 2. Заменив как можно меньше знаков деления на знаки умножения, сделайте это равенство верным. Решение: Можно заменить всего один знак: 512 : (256 : (128 : (64 : (32 : (16 × (8 : (4 : 2))))))) = 2. Очевидно, что это минимум. 3 На занятие по бальным танцам пришли 11 девочек и 7 мальчиков. Учитель разбил их на пары и поставил по кругу для первого танца, двум девочкам пришлось танцевать за кавалера. Чтобы партнёры менялись, учитель придумал такую схему: после каждого танца обе девочки-«кавалера» меняются ролями со своей дамой, а затем все дамы переходят к следующему по часовой стрелке кавалеру. Первый танец Маша и Таня танцевали вместе. Какое наибольшее число танцев может пройти, прежде чем они вновь станцуют друг с другом? Решение: Схематично изобразим происходящее: пусть серые квадраты — мальчики, а белые круги — девочки. Во внешнем круге стоят «кавалеры», а во внутреннем – дамы. Мальчики стоят неподвижно, а девочки перемещаются по кругу вдоль стрелок, не меняя порядка. Действительно, если девочка танцевала с мальчиком, то она просто переходит к следующему кавалеру. Если девочка танцевала в роли «дамы» с другой девочкой, то на следующем танце она заменяет ее на месте кавалера. А девочка-«кавалер» становится дамой у следующего кавалера. Если Маша и Таня танцевали друг с другом, то в этом кругу из девочек они стоят рядом (будем считать, что Таня первая, и, значит, танцевала за кавалера). В следующий раз они станцуют друг с другом, когда Таня придёт в следующий промежуток между мальчиками. Чтобы этот случилось как можно позже, Таня по дороге от одного промежутка до другого должна станцевать со всеми 7 мальчиками. Соответственно, Таня станцует с Машей, потом с 7 мальчиками, потом в роли дамы с девочкой перед собой и, наконец, опять станцует с Машей в роли кавалера. Итого, второй раз Таня станцует с Машей, самое позднее, на 10 танце. 4 Есть 40 монет, одна из них фальшивая (она легче настоящей) и чашечные весы с монетоприёмником. Перед каждым взвешиванием нужно опустить в монетоприёмник одну из монет. Если монета была настоящая, то весы покажут правдивый результат взвешивания. А если фальшивая, то они могут показать что угодно. Как найти 36 настоящих монет, чтобы расплатиться ими на рынке? (Монеты, уже опущенные в весы, обратно не вытряхиваются.) Решение: Для решения достаточно считать, что на каждом шагу мы платим настоящей монетой, и показания весов верные. Действительно, если мы на каком- то шагу заплатили фальшивой монетой, то у нас остались только настоящие, и любые 36 монет, которые мы каким-либо образом выделим, нам подойдут. Будем называть подозрительными монеты, про которые точно не ясно, настоящие ли они. Заплатим одну монету, и взвесим по 13 монет на каждой из чаш. Если какая- то из чаш перевесила, то фальшивая монета на более легкой чаше. Если же весы в равновесии, то фальшивая монета находится среди 13 оставшихся. Итак, мы выделили 13 подозрительных монет, а оставшиеся 26 точно настоящие. Заплатим одной из 13 подозрительных монет и взвесим по 4 подозрительные монеты на каждой из чаш (еще 4 отложим в сторону). Аналогично предыдущему взвешиванию, после этого только 4 монеты останутся подозрительными, а про остальные 8 станет понятно, что они настоящие. Наконец, заплатим одной из четырех подозрительных монет, взвесим по одной подозрительной монете на каждой из чаш, и найдем фальшивую и две настоящие. Итого мы нашли 26 + 8 + 2 = 36 настоящих монет. 5 В стране несколько городов, в каждом живёт сколько-то жителей. Между двумя городами есть дорога, если количества жителей в этих городах имеют общий делитель, больший 1. Оказалось, что сумма величин, обратных к количествам жителей во всех городах, равна 1. Докажите, что из каждого города можно добраться по дорогам до любого другого. Решение: Предположим противное: пусть города можно поделить на две группы, между которыми нет никаких дорог. Пусть в городах первой группы 𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . , 𝑎 𝑛 жителей, а в городах второй группы 𝑏 1 , 𝑏 2 , . . . , 𝑏 𝑚 жителей. Из условия следует, что НОД(𝑎 𝑖 , 𝑏 𝑗 ) = 1 для любых 𝑖, 𝑗. Следовательно, произведения 𝑎 1 𝑎 2 . . . 𝑎 𝑛 и 𝑏 1 𝑏 2 . . . 𝑏 𝑚 взаимно просты. Обозначим 1 𝑎 1 + 1 𝑎 2 + · · · + 1 𝑎 𝑛 = 𝑥 𝐴 ; 1 𝑏 1 + 1 𝑏 2 + · · · + 1 𝑏 𝑛 = 𝑦 𝐵 , где дроби 𝑥 𝐴 и 𝑦 𝐵 несократимые. Число 𝐴 — это делитель 𝑎 1 𝑎 2 . . . 𝑎 𝑛 , а число 𝐵 — делитель 𝑏 1 𝑏 2 . . . 𝑏 𝑚 . Значит, 𝐴 и 𝐵 тоже взаимно просты. По условию, 𝑥 𝐴 + 𝑦 𝐵 = 𝑥𝐵 + 𝑦𝐴 𝐴𝐵 = 1, значит 𝐴𝐵 = 𝑥𝐵 + 𝑦𝐴 и 𝑥𝐵 = 𝐴𝐵 − 𝑦𝐴. Поскольку 𝑥 и 𝐵 взаимно просты с 𝐴, то левая половина равенства не делится на 𝐴, а правая — делится, противоречие. 6 У Стёпы есть кубик с ребром 5 см. Он захотел оклеить его бумагой и попросил младшую сестру Полину вырезать ему из клетчатой бумаги (сторона клеточки равна 1 см) шесть квадратов площади 25 см 2 . Полина немного перепутала задание и вырезала шесть квадратов площади 20 см 2 и ещё шесть квадратов площади 5 см 2 . Сможет ли теперь Стёпа оклеить свой куб? (Квадраты можно перегибать через ребро куба, но нельзя разрезать на части.) Решение: Сможет. Вот один из примеров, как из Полининых квадратов можно склеить развертку куба. Показать, что площадь маленького квадрата равна 5, можно, разбив его на 4 треугольника и квадрат площади 1. Большой квадрат разбивается на 4 маленьких, поэтому его площадь равна 20. 7 Есть металлическая решетка в виде квадрата 5 × 5. Назовем уголком два металлических прута единичной длины, соединённых под прямым углом. Сколькими способами можно разрезать решетку на уголки так, чтобы вершины всех уголков находились в разных точках? На рисунке слева показан пример, как можно разрезать на уголки решётку 2 × 2, а справа — как нельзя. Решение: Посмотрим на нижний ряд уголков. Сначала там идет несколько (возможно 0) уголков, смотрящих вправо, а потом идут уголки, смотрящие влево. Назовем место перехода от правых уголков к левым провалом. Всего есть 6 вариантов, как может быть устроена нижняя строка (в зависимости от местоположения провала). Теперь посмотрим на вторую строку снизу. Там тоже несколько уголков смотрят вправо, потом идет провал, а потом оставшиеся уголки смотрят влево. Заметим, что провал не может располагаться точно над предыдущим: Зато может располагаться в любом другом месте: Уголки до провала смотрят вправо, уголки после провала смотрят влево. Уголок над провалом в нижней строке смотрит вниз, а остальные смотрят вверх. Соответственно, для каждого варианта нижней строки есть 5 вариантов расположения уголков во второй снизу строке. Теперь посмотрим на третью снизу строку. Там происходит все то же самое: несколько уголков, смотрящих вправо, провал, несколько уголков, смотрящих влево. Причем провал не может располагаться над одним из двух предыдущих провалов: а в любом другом месте может: Уголки до провала смотрят вправо, уголки после провала — влево, уголки, расположенные над одним из предыдущих провалов смотрят вниз, а остальные уголки смотрят вверх. Итак, у нас есть 4 варианта для третьей снизу строки. И так далее: для следующей строки есть 3 варианта, а потом 2. Для верхней строки есть единственный вариант: провал расположен в том единственном столбце, где раньше провалов не было. Все уголки расположены над предыдущими провалами и поэтому смотрят вниз (и, таким образом, не выходят за край доски). Получается 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 6! = 720 вариантов разбиения. |