Решение систем алгебраических линейных уравнений Метод обратной матрицы решения систем алгебраических линейных уравнений
 Скачать 487.79 Kb.
|
|
Лекция 3 Решение систем алгебраических линейных уравнений Метод обратной матрицы решения систем алгебраических линейных уравнений (СЛАУ). Основные понятия теории СЛАУ. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц СЛАУ. Метод Гаусса. Фундаментальная система решений однородной системы. Теорема Кронекера Капелли. Однородные системы. Условие существования ненулевого решения. Структура общего решения совместной неоднородной системы Литература [1] Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика, Т.1, Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Дрофа, 2003. § 4. [2] Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. СПб.: Лань, 2015.Гл. 5 § 3-5. [3] Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. СПб.: «Лань», 2009. Гл. 7 § 4. Обратная матрица Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы. Если при умножении квадратных матриц A и B в любом порядке получается единичная матрица ( E A B B A ), то матрицаBназывается обратной матрицей для квадратной матрицы A, а матрица A - обратная для матрицы B Обозначается обратная матрица 1 A , то есть E A A A A 1 1 Очевидна аналогия с числами: для числа 2 число ½ есть обратное, так как 1 2 / 1 2 . Именно поэтому матрица, обратная к А, обозначается 1 A . Теорема. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу 1 A , необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был не равен нулю. Правило нахождения обратной матрицы 1 A 1) Смотрим, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы не существует; если квадратная, то переходим к пункту 1. 2) Вычисляем определитель матрицы A : если он не равен нулю, то обратная матрица существует: 1 0 A A Если определитель равен нулю, то обратной матрицы нет. 3) Для каждого элемента матрицы ij a вычисляем его алгебраическое дополнение ij A . 4) Составляем матрицу из алгебраических дополнений, которая затем транспонируем: nn n n T nn n n T ij A A A A A A A A A 1 1 11 1 1 11 5) Каждый элемент матрицы T ij A делим на определитель A : 1 1 11 1 A A A A A A A A A nn n n Получаем матрицу, обратную данной. Нахождение обратной матрицы для матриц второго порядка Пример 1. Дана матрица 2 4 1 3 A Найти обратную матрицу. Решение. , 0 10 4 1 3 2 3 1 4 2 A , 1 1 1 , 3 3 1 2 1 12 1 1 11 A A , 2 2 1 , 4 4 1 2 2 22 1 2 21 A A , 2 1 4 3 2 4 1 3 T 10 2 10 1 10 4 10 3 10 2 10 1 10 4 10 3 1 A Проверка. Убедимся, что найдена действительно обратная матрица. Найдем произведение матриц A и 1 A 1 6 4 8 8 3 4 2 4 1 0 10 10 10 10 10 10 1 3 1 2 0 1 3 3 4 6 10 10 10 10 10 10 A A I Свойства обратной матрицы 1. 1 1 1 ) ( A B B A , где А и В – невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка. 2. A A 1 1 ) ( 3. T T A A ) ( ) ( 1 1 . 4. A A det 1 ) det( 1 Метод обратной матрицы Для применения метода обратной матрицы следует представить систему линейных алгебраических уравнений в матричной форме: A X B Здесь А – матрица системы СЛУ, Х – столбец неизвестных, В – столбец правых частей. Умножая это выражение справа на 1 A получаем 1 1 , A A X A B откуда 1 X A B Пример 2. Решить систему методом обратной матрицы Решение: Запишем систему в матричной форме: , A X B Найдем обратную матрицу, предварительно убедившись, что определитель матрицы системы отличесяот 0, т.е. 1 A существует. Найдем обратную матрицу Проводим матричное умножение Ответ: 5 1 1 X Произвольные системы линейных уравнений Рассмотрим производные системы линейных уравнений, в которых число уравнений и неизвестных может не совпадать. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: m n mn m n n n n b x a x a b x a x a b x a x a 1 1 2 2 1 21 1 1 1 11 , , где ij a - коэффициенты, j b - постоянные. Для системы линейных уравнений матрица mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 называется матрицей системы, а матрица 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m m mn a a a b a a a b A b a a a называется расширенной матрицей системы. Если все свободные члены равны нулю 0 1 n b b , то система называется однородной. Однородная системы всегда имеет нулевое решение Элементарные преобразования над уравнениями системы К элементарным преобразованиям над уравнениями системы относятся: 1. Умножение уравнения на число, не равное нулю. 2. Прибавление к одному уравнению другого уравнения. 3. Перестановка уравнений местами. 4. Отбрасывание одного из одинаковых уравнений. 5. Отбрасывание уравнения вида 0 x 0 x 0 x 0 n 2 1 Элементарные преобразования не изменяют совместности системы. Поэтому они могут существенно упростить процесс нахождения решения системы. Система линейных уравнений с помощью элементарных преобразований приводится к равносильной системе, из которой легко находится решение системы или делается вывод о несовместности системы. Метод Гаусса Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований над уравнениями системы. В отличие от метода Крамера и метода обратной матрицы, метод Гаусса применяется к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Первый шаг метода Гаусса - исключение 1 x из всех уравнений, кроме первого. Предположим, что коэффициент при 1 x в первом уравнении не равен нулю ( 0 11 a ). Оставляя неизменным первое уравнение (оно будет ведущим), выполним элементарные преобразования так, чтобы коэффициенты при 1 x в других уравнениях обратились в нули: А) умножим 1-ое уравнение на 21 a , а 2-е уравнение – на 11 a , тогда коэффициенты при 1 x в 1-ом и во 2-ом уравнении станут одинаковыми. Затем вычтем из 2-ого уравнения 1-ое и запишем результат вместо 2-го уравнения (в нем 1 x будет отсутствовать); Б) умножим 1-ое уравнение на 31 a , а 3-е уравнение – на 11 a , тогда коэффициенты при 1 x в 1-ом и в 3-ом уравнении станут одинаковыми. Затем вычтем из 3-го уравнения 1-ое уравнение. Запишем результат вместо 3-го уравнения (в нем 1 x будет отсутствовать). И так далее. Получим: 11 1 1 1 21 1 2 2 31 1 3 3 , , , n n n n n n a x a x b a x a x b a x a x b Получим систему вида 3 3 2 32 2 2 2 22 1 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a b x a x a x a n n n n n n Второй шаг метода Гаусса - исключение 2 x из уравнений, следующих за вторым уравнением. Далее повторяем эти же действия для 2- го ведущего уравнения системы. Затем – для 3-его. И так далее. Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных Гаусса 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1, 4 2 5 9, 3 2. x x x x x x x x x Решение Шаг 1. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1, 4 2 5 9, 3 2. x x x x x x x x x 1 13 13 10 1 2 2 3 2 3 2 3 2 1 x x x x x x x Шаг 2. 1 2 3 2 3 2 3 2 2 1, 10 13 13, 1, x x x x x x x 1 2 3 2 3 3 2 2 1, 10 13 13, 23 23, x x x x x x В процессе элементарных преобразований с каждой неизвестной СЛУ приведена к треугольному виду. Шаг 3. Значения неизвестных находятся поочередно из последнего уравнения, предпоследнего и т.д. до первого уравнения. Указанное действие называется обратным ходом Гаусса. 1 ; 1 1 2 0 2 ; 0 ; 13 1 13 10 ; 1 23 23 1 1 2 2 3 x x x x x Система имеет единственное решение 1 ; 0 ; 1 X Вывод. Если в процессе элементарных преобразований СЛУ приведена к треугольному виду, то такая СЛУ имеет единственное решение. Признак бесконечного множества решений СЛУ Если СЛУ приведена к трапецеидальному виду (например, то система трапецеидального вида имеет бесконечное множество решений. Для нахождения общего решения нужно: 1. Выбрать базисные неизвестные k x x x , , , 2 1 , число которых равно числу уравнений в трапецеидальной системе. Коэффициенты при базисных неизвестных в трапецеидальной системе образуют , , 3 4 34 3 33 2 4 24 3 23 2 22 1 4 14 3 13 2 12 1 11 b x a x a b x a x a x a b x a x a x a x a определитель, не равный нулю. Тогда свободные неизвестные – это остальные неизвестные , , 1 n k x x (Заметим, что базисные неизвестные выбираются не единственным способом.). 2. В трапецеидальной системе перенести в правую часть уравнений слагаемые со свободными неизвестными. Тогда в левой части получится выражение треугольного вида. 3. Найти выражения базисных неизвестных через свободные неизвестные с помощью обратного хода Гаусса. 4. Записать общее решение системы. Если необходимо, из общего решения можно найти частные решения, придавая свободным неизвестным произвольные значения и вычисляя базисные неизвестные. Пример 4. Решить систему уравнений методом исключения неизвестных. Решение Составим расширенную матрицу A , которая состоит из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Элементарные преобразования, проводимые над уравнениями, соответствуют элементарным преобразованиям над строками расширенной матрицы. 1 2 1 1 0 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 1 3 4 1 1 1 1 1 4 1 A 1 2 1 1 0 0 5 5 0 1 0 5 5 0 1 0 5 5 0 1 0 1 2 3 1 1 2 1 1 0 0 5 5 0 1 0 1 2 3 1 1 2 1 1 0 0 5 5 0 1 0 0 5 15 4 1 4 2 , 1 4 3 , 1 3 2 3 , 1 2 3 2 , 0 2 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Неизвестные 3 2 1 , , x x x будут базисными, т.к. определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, не равен нулю: 0 25 5 0 0 5 5 0 1 2 1 . Тогда 4 x - свободная неизвестная. Перенесем слагаемые с 4 x в правую часть уравнений: , 15 4 5 , 1 5 5 , 2 4 3 3 2 4 3 2 1 x x x x x x x x Применим обратный ход Гаусса. Выразим из последнего уравнения базисную неизвестную 3 x : 4 4 3 3 5 4 15 4 5 1 x x x Из предпоследнего уравнения найдем базисную неизвестную 2 x : 3 5 3 3 5 4 5 1 5 1 5 1 5 1 4 4 3 2 x x x x Из первого уравнения найдем базисную неизвестную 1 x : 2 5 2 6 5 6 3 5 4 4 4 4 4 1 x x x x x Запишем общее решение системы: 4 4 4 4 4 3 2 1 ; 3 5 4 ; 3 5 3 ; 2 5 2 ; ; ; x x x x x x x x X , где R x 4 Найдем несколько частных решений, придавая свободной неизвестной 4 x произвольные значения. Пусть 0 4 x , тогда 5 4 ; 5 3 ; 5 2 3 2 1 x x x , тогда частное решение 0 ; 5 4 ; 5 3 ; 5 2 1 X Пусть 5 1 4 x , тогда 5 1 3 ; 0 2 ; 0 1 x x x , тогда частное решение 5 1 ; 5 1 ; 0 ; 0 2 X |