Главная страница
Навигация по странице:

  • Внимание! Пока выражения не записаны под общей чертой, ни в коем случае не раскрываем скобки! Это мощнейший генератор ошибок. НЕ НАДО ЭТОГО ДЕЛАТЬ!

  • Попробуй-ка посчитай теперь, равно это выражение нулю или нет! Что не нравится Не надо было скобки раскрывать в знаменателе!

  • Решение дробно рациональных уравнений. Решение дробно-рациональных уравнений. Решение состоит из следующих этапов Надо перенести все слагаемые в левую часть уравнения, для того чтобы справа был ноль


    Скачать 2.42 Mb.
    НазваниеРешение состоит из следующих этапов Надо перенести все слагаемые в левую часть уравнения, для того чтобы справа был ноль
    АнкорРешение дробно рациональных уравнений
    Дата27.08.2022
    Размер2.42 Mb.
    Формат файлаrtf
    Имя файлаРешение дробно-рациональных уравнений.rtf
    ТипРешение
    #654626

    Решение дробно-рациональных уравнений

    Рациональные уравнения - это уравнения содержащие рациональные алгебраические дроби. Их решение состоит из следующих этапов:

    1. Надо перенести все слагаемые в левую часть уравнения, для того чтобы справа был ноль.

    2. Надо сложить все алгебраические дроби в левой части уравнения. Для этого необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Если есть недробные выражения, тогда принимаем их знаменатель за единицу.

    Для того, чтобы привести дроби к общему знаменателю, лучше разложить знаменатели на множители. Для разложения на множители можно применять следующие методы:

    а. Вынесение общего множителя за скобки.

    б. Метод группировки.

    в. Формулы сокращенного умножения.

    г. Разложение на множители с использованием формулы

    ,

    где – решения квадратного уравнения



    3. После того, как дроби в левой части уравнения приведены к общему знаменателю и сложены (вычтены), В левой части уравнения получается одна дробь, которую надо упростить. Для этого необходимо раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые.

    4. Итак в левой части уравнения должна получиться алгебраическая дробь, а справа ноль. Вспомним, что дробь равна нули, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравниваем к нулю числитель дроби. Решаем получившиеся уравнение, полученные решения по-очереди подставляем в знаменатель, если знаменатель обращается в ноль, отбрасываем такое решение, как ложное.

    Пример 1

    Решим дробно-рациональное уравнение:



    Переносим слагаемое в левую часть уравнения



    Раскладываем на множители выражения в знаменателях. Для начала посмотрим, как раскладывается на множители выражение в знаменателе первой дроби

    будем использовать формулу . Решим квадратное уравнение



    его решения . Разложим на множители выражение , используя формулу



    Знаменатель третьей дроби раскладывается на множители по формуле разности квадратов



    Наше уравнение тогда примет вид



    Для приведения дробей к общему знаменателю, домножим числитель и знаменатель первой дроби на (x+3), второй дроби на (x-3)(x+3), третьей дроби на (x+2). Получим




    Теперь все три дроби имеют одинаковый (общий) знаменатель. Складываем их.

    Внимание! Пока выражения не записаны под общей чертой, ни в коем случае не раскрываем скобки! Это мощнейший генератор ошибок. НЕ НАДО ЭТОГО ДЕЛАТЬ!



    Затем надо упростить выражение в числителе. Вот теперь можно (и нужно) раскрыть скобки в числителе





    Необходимо отметить, что в знаменателе скобки раскрывать не надо. Это бесполезная, более того вредная работа. Если раскрыть скобки в знаменателе, то это создаст проблемы в дальнейшем.

    Приводим подобные слагаемые в числителе



    Приравниваем к нулю числитель дроби



    Решаем это квадратное уравнение

    .

    Теперь надо проверить, не является ли какое-нибудь решение ложным. Для этого подставим их по-очереди в знаменатель

    Подставим вместо x



    Знаменатель не равен нулю. Значит решение истинное.

    Подставим вместо x



    Знаменатель не равен нулю. Значит это решение истинное тоже истинное.

    Ответ:

    Примечание. Обратим внимание, как легко понять, что выражение в знаменателе не равно нули. Для этого необходимо, всего лишь, чтобы каждый множитель был не равен нулю. Если бы мы переусердсвовали, и раскрыли скобки в знаменателе, то получили бы следующие проблемы



    Попробуем подставить в выражение первое решение уравнения (чтобы проверить его на истинность)



    Попробуй-ка посчитай теперь, равно это выражение нулю или нет! Что не нравится? Не надо было скобки раскрывать в знаменателе!

    Пример 2



    Переносим все влево



    У слагаемых без знаменателя записываем знаменатель 1



    Приводим к общему знаменателю



    Складываем дроби



    Раскрываем скобки в числителе



    Приводим подобные слагаемые



    Приравниваем к нулю числитель



    Решаем получившееся уравнение



    Проверим, нет ли среди полученных решений ложных.

    Проверим первое решение , подставим 5 вместо x в знаменатель дроби



    Все в порядке. При x=5 знаменатель не равен нулю, следовательно решение истинное.

    Проверим теперь второе решение , подставим 1 вместо x в знаменатель дроби



    Бац! При x=0, знаменатель дроби обращается в ноль. На ноль делить нельзя. Значит решение является ложным. Ответ: .


    написать администратору сайта