Найти частные производные первого порядка для функции z = f(x, y).
![](69579_html_m766fc752.gif)
Найти частные производные второго порядка для функции z = f(x, y) и показать, что она удовлетворяет данному уравнению.
![](69579_html_m44052ef.gif)
Проверяем уравнение:
Решение верное.
Даны функция и точки А(4,1) и В(3,98;1,06). Требуется:
Вычислить точное значение в точке В;
вычислить приближенно значение функции в точке В, исходя из значения функции в токе А, и заменив приращение функции при переходе от токи А к точке В дифференциалом;
оценить относительную погрешность вычислений в процентах;
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке С(4,1,z0).
![](69579_html_2af29dfc.gif)
Будем рассматривать z(В) как частное значение функции при x = 3,98 = x1, у =1,06 = у1. За x0 принимаем число 4, за у0 –число 1.
Тогда z(x0,y0) = ;
dx = x1 – x0 =3,98-4=-0,02,
dy = y1 –y0 =1,06-1=0,06
![](69579_html_m4ea593e7.gif)
Тогда получим:
z(x0,y0) + (x0,y0)dx+ (x0,y0)dy=8+6*(-0.02)-1*0.06=7,82
Оценим погрешность: или 0,04%
Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле: z - z0 = f'x(x0,y0,z0)(x - x0) + f'y(x0,y0,z0)(y - y0)
![](69579_html_1f54f96d.gif)
– общее уравнение касательной плоскости.
Составим канонические уравнениянормали по точке и направляющему вектору :
![](69579_html_2a8d3a25.gif)
– уравнение нормали.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области D. Сделать чертеж.
;
Д: ;
![](69579_html_m2dd33511.png)
Найдём стационарные точки внутри области D.
Получили точку С ( , ) вне области D.
Найдём наибольшее и наименьшее значение функции на линиях, образующих границу области.
А) на линии у=1
![](69579_html_19a5cb34.gif)
не принадлежит области.
Б) на линии у=1-х
![](69579_html_m2efe352f.gif) ![](69579_html_1c16e0a2.gif)
Решения нет.
в) на линии х=1
![](69579_html_652f0b7e.gif)
![](69579_html_m2ff6d9ee.gif)
Найдем значения в угловых точках ![](69579_html_41177f39.gif)
Наибольшее значение находится в точке (1,1) и равно 3, наименьшее в точке (0,1) и равное -1.
Исследовать функцию на экстремум при условии .
Составляем функцию Лагранжа:
![](69579_html_e725cb2.gif)
Имеем следующие решения: ,
![](69579_html_m4854a930.gif)
Рассмотрим достаточное условие экстремума, для этого найдём производные второго порядка.
![](69579_html_2afbec11.gif)
При , значит, в этой точке условный максимум ![](69579_html_m5e2f083b.gif)
При , значит, в этой точке условный минимум ![](69579_html_3c8f9cbd.gif)
Дана функция , точка и вектор . Найти grad(z) в точке А и производную функции z в точке А по направлению вектора а.
![](69579_html_5542ff53.gif)
Тогда единичный направляющий вектор:
![](69579_html_m4874d52.gif)
Градиент равен .
Теперь находим производную по направлению:
![](69579_html_m414c1b15.gif)
Экспериментально получены пять значений искомой функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию вида , выражающую приближенно функцию . Сделать чертеж, на котором в декартовой системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции ![](69579_html_m403d8767.gif)
x
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| y
| 5,2
| 6,2
| 4,7
| 2,7
| 3,2
| Применяя метод наименьших квадратов, найдём неизвестные параметры а и b.
х
| у
| Х2
| ху
| 1
| 5,2
| 1
| 5,2
| 2
| 6,2
| 4
| 12,4
| 3
| 4,7
| 9
| 14,1
| 4
| 2,7
| 16
| 10,8
| 5
| 3,2
| 25
| 16
|
15
|
22
|
55
|
58,5
| Составляем систему уравнений:
![](69579_html_75746d15.gif)
Т.о. Y=-0,72X+6.65.
Построим график функции:
![](69579_html_m173d5e4c.png)
Вычислить двойной интеграл
![](69579_html_45121438.gif)
![](69579_html_m369c8631.png)
![](69579_html_m4468e4dc.gif) |