Математика. Решение Вычислим определитель системы 5 1 9 15 0, значит, система имеет единственное решение. Вычислим x, y, z 1 1 9 5 1 9 x 7 1 2 15, y 3 7 2 60
![]()
|
Вариант 1.30 ЗАДАНИЕ 1 Дана система трех линейных уравнений. Найти решение двумя способами: 1) методом определителей, 2) средствами матричного исчисления. Решение системы методом определителей ![]() Решение: Вычислим определитель системы Δ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Δ= ![]() ![]() ![]() ![]() Δ≠0, значит, система имеет единственное решение. Вычислим Δx, Δy, Δz ![]() ![]() ![]() ![]() Δx = -7 -1 2 = 15, Δy = 3 -7 2 = -60 -2 -1 -3 -2 -2 -3 ![]() ![]() Δz = 3 -1 -7 = 0 -2 -1 -2 Решение системы: х = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: x = -1, y = 4, z = 0 Решение систем матричным методом ![]() ![]() Перепишем систему в виде АХ=В А = ![]() ![]() ![]() Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А: А11 = -11+1 ![]() А12 = -11+2 ![]() А13 = -11+3 ![]() А21 = -12+1 ![]() А22 = -12+2 ![]() А23 = -12+3 ![]() А31 = -13+1 ![]() А32 = -13+2 ![]() А33 = -13+3 ![]() Составим присоединенную матрицу : А* = ![]() Определитель данной матрицы уже найден: Δ= -15 Найдем обратную матрицу А-1: А-1 = ![]() А-1 = ![]() ![]() А-1 = ![]() Найдём Х: X = A-1 · B = ![]() ![]() ![]() Ответ: x = -1, y = 4, z = 0 ЗАДАНИЕ 2 Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Надо средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра AB; 2) проекцию ![]() ![]() A(3; -4; 4), B(4; 3; -4), C(6; -2; -1), D(-4; -2; 3). Решение: Сначала выполним чертѐж. ![]() Найдем координаты вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем координаты векторов ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислим проекцию ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Найдем < BAD . Для этого вычислим координаты вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() < BAD = arccos ![]() 4) Для вычисления площади грани ABC возьмем любые два вектора, которые образуют эту грань, например ![]() ![]() Координаты вектора ![]() ![]() Найдем векторное произведение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5) Координаты векторов ![]() ![]() ![]() Вычислим их смешанное произведение: ![]() ![]() ![]() ![]() Объем пирамиды равен ![]() ![]() ЗАДАНИЕ 3 Даны координаты вершин треугольника ABC . Требуется найти: 1) уравнения сторон треугольника; 2) уравнение медианы AE ; 3) длину и уравнение высоты AK ; 4) внутренние углы треугольника ABC . Сделать чертеж. А(5;1), В(-5; 4), С(5;7) Решение: Найдем уравнение стороны AB: ![]() ![]() Найдем уравнение AC: ![]() ![]() Найдем уравнение BC: ![]() ![]() 2) Найдем координаты точки E: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Запишем уравнение AE: ![]() ![]() 3) Найдем длину высоты АК: d = ![]() ![]() ![]() ![]() Придадим уравнению прямой ВС форму уравнения с угловым коэффициентом y = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнение (АК): y - ![]() ![]() ![]() y- 0 = - ![]() ![]() 4) Запишем уравнения сторон треугольника в виде уравнений прямых с угловым коэффициентом: (АС): y = 0, ![]() (АВ): y= - ![]() ![]() ![]() ![]() (ВС): y= ![]() ![]() ![]() ![]() tg ![]() ![]() tg ![]() ![]() tg ![]() ![]() ЗАДАНИЕ 4 ![]() a = - 6, b= -18, c= -10. Решение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (x -3)2 + (y -9)2 = 100 Центр окружности находится в т. C 3; 9 , радиус равен 10. Введем новые переменные x + 3 = X и y +9 = Y , тогда в новой системе координат XOY окружность примет вид X2 + Y2 = R2. Центр ее совпадает с началом координат. ![]() |