Решение Выполнить центрирование факторов

• Название: Решение Выполнить центрирование факторов
• Дата: 26.01.2023
• Размер: 24.84 Kb.
• Имя файла: MRA_var_7_12086009.docx
• Тип: Решение; #906272

Задание №5 Многофакторный регрессионный анализ
На основе заданного массива данных построить уравнение регрессии в виде линейного алгебраического полинома от двух переменных, проверить его адекватность и значимость факторов. Расчёты произвести в матричной форме.

Порядок выполнения задания.

1. Выполнить центрирование факторов

2. Составить матричное уравнение с вектором неизвестных оценок коэффициентов регрессии.

3. Найти решение матричного уравнения - оценки коэффициентов регрессии.

4. Проверить адекватность построенного уравнения регрессии экспериментальным данным по критерию Фишера при уровне значимости α = 0,05.

5. Выполнить селекцию факторов по критерию Стьюдента при таком же уровне значимости.

6. Повторно проверить адекватность уравнения регрессии после исключения незначимых факторов.

Таблица 1. Исходные данные

	1	0,5	3	2	1	-2
	1	2	2	3	0,3	0,5
	2	4,3	7,2	8	0	-3

Решение

1. 
   Выполнить центрирование факторов
   

Факторы считаются центрированными, если . Если данное условие не выполняется, то необходимо сдвинуть центр. Для этого из каждого значения необходимо вычесть их среднее арифметическое .

Рассчитаем среднее арифметическое для каждого фактора.

Таблица 2. Среднее арифметическое

№	1	2	3	4	5	6	Сумма	Среднее
	1	0,5	3	2	1	-2	5,5	0,92
	1	2	2	3	0,3	0,5	8,8	1,47
	2	4,3	7,2	8	0	-3	18,5	3,08

Таблица 3. Центрированные факторы

№	1	2	3	4	5	6	Сумма
	0,08	-0,42	2,08	1,08	0,08	-2,92	0
	-0,47	0,53	0,53	1,53	-1,17	-0,97	0
	-1,08	1,22	4,12	4,92	-3,08	-6,08	0

2. Составить матричное уравнение с вектором неизвестных оценок коэффициентов регрессии.

Уравнение множественной регрессии представляет собой зависимость объясняемой переменной Y от нескольких объясняющих переменных X:



Систему можно записать в матричном виде:



3. Найти решение матричного уравнения - оценки коэффициентов регрессии.

Согласно методу наименьших квадратов, вектор A получается из выражения:



К матрице с переменными X_j добавляем единичный столбец:

1	0,08	-0,47
1	-0,42	0,53
1	2,08	0,53
1	1,08	1,53
1	0,08	-1,17
1	-2,92	-0,97

Матрица Y

-1.08

1.22

4.12

4.92

-3.08

-6.08

Находим транспонированную матрицу

1,00	1,00	1,00	1,00	1	1
0,08	-0,42	2,08	1,08	0,08	-2,92
-0,47	0,53	0,53	1,53	-1,17	-0,97

Умножаем матрицы

=

6,00 -0,02 -0,02 -0,02 14,21 5,23 -0,02 5,23 5,43

Умножаем матрицы

=

0,02 30,79 20,37

Находим обратную матрицу

=

0,16667 0,00001 0,00060 0,00001 0,10908 -0,10506 0,00060 -0,10506 0,28525

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

Y(X) =

0,16667 0,00001 0,00060 0,00001 0,10908 -0,10506 0,00060 -0,10506 0,28525

*

0,02 30,79 20,37

=

0,0160 1,2189 2,5744

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)



4. Проверить адекватность построенного уравнения регрессии экспериментальным данным по критерию Фишера при уровне значимости α = 0,05.

Матрица A, составленная из Y и X:

1	-1.08	0.08	-0.47
1	1.22	-0.42	0.53
1	4.12	2.08	0.53
1	4.92	1.08	1.53
1	-3.08	0.08	-1.17
1	-6.08	-2.92	-0.97

Транспонированная матрица.

1	1	1	1	1	1
-1.08	1.22	4.12	4.92	-3.08	-6.08
0.08	-0.42	2.08	1.08	0.08	-2.92
-0.47	0.53	0.53	1.53	-1.17	-0.97

Матрица .

6	0.02	-0.02	-0.02
0.02	90.288	30.792	20.367
-0.02	30.792	14.208	5.233
-0.02	20.367	5.233	5.433

Полученная матрица имеет следующее соответствие:

∑n	∑y	∑x1	∑x2
∑y	∑y2	∑x1 y	∑x2 y
∑x1	∑yx1	∑x12	∑x2 x1
∑x2	∑yx2	∑x1 x2	∑x22

Для y и x1	-0,02	-0,0033	0,02	0,0033	30,7916	5,1319
Для y и x2	-0,02	-0,0033	0,02	0,0033	20,3666	3,3944
Для x1 и x2	-0,02	-0,0033	-0,02	-0,0033	5,2334	0,8722

Признаки x и y	D(x)	D(y)	s(x)	s(y)
Для y и x1	2,3681	15,0477	1,5388	3,8791
Для y и x2	0,9056	15,0477	0,9516	3,8791
Для x1 и x2	0,9056	2,3681	0,9516	1,5388

Найдем парные коэффициенты корреляции.



Матрица коэффициентов корреляции:

	y	x1	x2
y	1	0,8597	0,9196
x1	0,8597	1	0,5956
x2	0,9196	0,5956	1

Найдем









Отсюда



Критерий Фишера рассчитаем по формуле:



Табличное значение при степенях свободы k₁ = 2 и k₂ = n-m-1 = 6 - 2 - 1 = 3:



Поскольку фактическое значение F > , то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно.

5. Выполнить селекцию факторов по критерию Стьюдента при таком же уровне значимости.

Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:

Y(x)	Y-Y(x)
-1,0965	0,0165	1,1736	-0,0153
0,8685	0,3515	1,4803	0,2881	0,1123
3,9158	0,2042	16,9469	0,0496	0,0217
5,2713	-0,3513	24,1736	0,0714	0,3086
-2,8986	-0,1814	9,5069	-0,0589	0,0288
-6,0405	-0,0395	37,0069	-0,0065	0,0201
Сумма	0,0000	90,2883	0,3284	0,4915

Оценка дисперсии равна:



Несмещенная оценка дисперсии равна:



Оценка среднеквадратичного отклонения:



Найдем оценку ковариационной матрицы вектора

k(x) = 0.1078*

0,16667 0,00001 0,00060 0,00001 0,10908 -0,10506 0,00060 -0,10506 0,28525

=	0,0180 0,0000 0,0001 0,0000 0,0118 -0,0113 0,0001 -0,0113 0,0308

Дисперсии параметров модели определяются соотношением , т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали:







Значимость коэффициентов регрессии:







Статистическая значимость коэффициента регрессии  не подтверждается.


Статистическая значимость коэффициента регрессии   подтверждается.


Статистическая значимость коэффициента регрессии   подтверждается.

Коэффициенты уравнения регрессии значимы, факторы из модели не исключаются.

6. Повторно проверить адекватность уравнения регрессии после исключения незначимых факторов.

Не требуется, так как факторы из модели не исключались.