Решение задач вычислительной математики с помощью программ Excel и Mathcad

Название	Решение задач вычислительной математики с помощью программ Excel и Mathcad
Дата	21.01.2018
Размер	0.58 Mb.
Формат файла
Имя файла	Kursovaya_rabota_po_informatike.docx
Тип	Курсовая #34752

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Информатика и программное обеспечение»

КУРСОВАЯ РАБОТА
по курсу
«Информатика»

Тема: «Решение задач вычислительной математики с помощью программ Excel и Mathcad»

Выполнил.cт гр 17-ИСТ1:

________Мищенко А. О.
Проверил:

________преп. Зимин С.Н

БРЯНСК 2017

Введение. 3

1.Задание №1. 4

1.1. Условие задачи 4

1.2. Решение в Mathcad 4

1.3. Решение в Excel 5

2.Задание №2. 9

2.1. Условие задачи №2 9

2.2.Расчет матрицы в Mathcad 9

2.3. Расчет матрицы в Excel 10

3.Задание №3. 11

3.1.Условие задачи №3 11

3.2.Решение нелинейных уравнение в Mathcad 11

3.3.Решение нелинейных уравнение в Mathcad 12

4.Задание№4. 13

4.1.Условие задачи №4 13

4.2.Решение задачи в Mathcad 13

4.3.Решение задачи №4 в Excel 17

5.Задание№5 20

5.1.Условие задачи №5 20

5.3.Решение в Excel 21

Заключение. 24

Введение.

XXI век невозможно представить без разнообразных компьютерных технологий. За последнее десятилетие важность применения которых трудно оспорить. Ни одна сфера деятельности людей не может обходиться без компьютеров.

В настоящее время для расчетов на ЭВМ используются электронные таблицы и специальные математические программы. Говоря об электронных таблицах, мы имеем в виду Excel. Математическая же программа у нас ассоциируется в основном с Mathcad. Оба эти пакета задумывались для решения финансовых, научно-технических и прочих прикладных задач.

Целью курсовой работы является сравнение Mathcad и Excel при решении схожих задач, совершенствование уже имеющихся знаний и получение новых навыков в освоении этих пакетов программ.

1.Задание №1.

1.1. Условие задачи

Дана нелинейная функция вида

. Решить уравнение F(x)=0 и найти точки экстремума F(x) с помощью программ Excel и Mathcad.

1.2. Решение в Mathcad

С помощью программы Mathcad построим график функции

. на интервале [-5;5] (рис. 1). По графику определяем приближенные значения корней уравнения

;

=7,5;

=12,5
$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок.bmp$

Рис.1.График функции f(x), построенный Mathcad

С помощью функции «root» находим точные значения корней уравнения

;

Построим график производной функции f(x). По графику определяем приближенное значение корней fs(

)=-1,5; fs(

)=1. С помощью функции «root» находим точное значение корней уравнения

(Рис. 2).

Рис.2.Нахождение корней уравнения и экстремума функции с помощью Mathcad

1.3. Решение в Excel

Выполним табулирование функции

в Excel на промежутке [-5;5] с шагом 0,2

На основе полученной таблицы табуляции строим график функции f(x) (рис. 3).

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (2).bmp$

Рис. 3.Табуляция функции и построение графика в Excel

На полученном графике определяем приближенные значения корней уравнения. Данные корни будут находиться в точках пересечения графика функции с осью абсцисс, а также их приближенные значения можно определить по таблице табуляции в строках, где значения в столбце y меняют свой знак. Получаем следующие приближенные значения корня уравнения:

;

=7,5;

=12,5. С помощью процедуры «Подбор параметра» определяем точное значение корня для приближенного значения. Получаем следующие значение корней уравнения:

;

(рис.4).

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (3).bmp$
Рис. 4.Фрагмент листа Excel с найденными корнями уравнения

Найдем в Excel экстремумы функции f(x). По графику видно, что данная функция имеет две точки экстремума (максимум) в районе х=1и (минимум) в районе х=-1,4. Скопируем данные из таблицы табуляции для поиска минимума. Для нахождения этих экстремумов, воспользуемся надстройкой «Поиск решения» и настроим ее согласно (рис.5). Отсюда видно, что

. Аналогично находим точку минимума, которая равна

.

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (4).bmp$

Рис. 5.Настройка «Поиска решения» для задачи нахождения экстремумов

2.Задание №2.

2.1. Условие задачи №2

Даны матрицы A,B,C.

Вычислить матрицу D по формуле

.Задание выполнить в Excel и Mathcad.

2.2.Расчет матрицы в Mathcad

Расчет матрицы D средствами Mathcad показан на рис. 6.

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (5).bmp$

Рис.6. Вычисление матрицы D в Mathcad

2.3. Расчет матрицы в Excel

Вычислим значение матрицы D c помощью Excel. (рис.7).

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (6).bmp$

Рис.7. Вычисление матрицы D в Excel

3.Задание №3.

3.1.Условие задачи №3

Используя коэффициенты полученной матрицы D(задание 2) решить систему следующих нелинейных уравнений:

Задание выполнить в Excel и Mathcad.

3.2.Решение нелинейных уравнение в Mathcad

Решение системы уравнений в Mathcad приведено на рис. 8.

Рис. 8. Решение системы уравнений с помощью Mathcad

3.3.Решение нелинейных уравнение в Mathcad

Решим следующую систему линейных уравнений, используя коэффициенты из полученной матрицы D в Excel с применением последовательности операций линейной алгебры, а именно – с применением обратной матрицы (рис. 10).

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (9).bmp$

Рис. 10. Решение системы нелинейных уравнений с помощью Excel

4.Задание№4.

4.1.Условие задачи №4

С помощью программы Mathcad провести кусочно-линейную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x: 1.3, 2.6, 4.4, 5.9, 7.1, 8.75. Построить график.
С помощью программы Mathcad провести полиномиальную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x: 1.3, 2.6, 4.4, 5.9, 7.1, 8.75. Построить график. Записать уравнение полинома (коэффициенты полинома указать с точностью 10 знаков после запятой)
Провести 2 вида аппроксимации: (полиномом 3-степени и логарифмическая функции). Построить оба графика на одной координатной плоскости. В обоих случаях определить сумму квадратов отклонений для узловых точек. Данное задание выполнить как в Excel, так и в Mathcad.

Выполним это задание для следующих точек(Таблица1)

Таблица1

Заданные точки

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y	-17,88	-0,98	1,49	2,79	3,8	4,5	5,13	6,04	6,53	6,41

4.2.Решение задачи в Mathcad

Проведем кусочно-линейную интерполяцию с помощью функции «linterp» для заданных точек и определяем значение функции для указанных значений аргумента(таблица2)(рис. 11):

Таблица2

Значения функции для указанных значений аргумента

X	1,3	2,6	4,4	5,9	7,1	8,75
Y	-0,239	2,27	4,08	5,067	6,089	6,44

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (10).bmp$

Рис.11. Кусочно-линейная интерполяция в Mathcad

Проведем полиномиальную интерполяцию с помощью функции «regress». Учитывая, что задано 10 точек, то полином должен быть 9-й степени. Построим его график, на котором отметим исходные точки (рис. 12). По графику можно убедиться, что полином проходит через все заданные точки.

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (11).bmp$

Рис.12. Полиномиальная интерполяция в Mathcad

Используя функцию «polynom», определим для заданных точек значение функции (таблица3)(рис. 12):

Таблица3

Значения функции

X	1,3	2,6	4,4	5,9	7,1	8,75
Y	0,15891	2,29813	4,11037	5,05772	6,13683	6,10023

Проведем с помощью Mathcad аппроксимацию для заданных точек с помощью линейной и логарифмической функций (рис. 13). Определим сумму квадратов отклонений для узловых точек (рис. 13):

Для полинома 3-й степени эта величина равна 38.7498392943.
Для логарифмической функции эта величина равна 0.0999360355.

Можно сделать вывод, что с помощью логарифмической функции мы получаем более точное приближение.

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (12).bmp$

Рис.13. Аппроксимация точек в Mathcad

Построим на одной координатной плоскости графики аппроксимирующих функций (Рис.14).

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (13).bmp$ Рис.14.Графики аппроксимирующих функций

4.3.Решение задачи №4 в Excel

Проведем аппроксимацию точек с помощью Excel. Для этого сначала заполним исходную таблицу точек и отметим эти точки на графике (рис. 15).

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (15).bmp$

Рис. 15. Исходные точки для аппроксимации на графике

Вызовем контекстное меню для одной из точек на графике и выберем пункт «Добавить линию тренда…». Для начала проведем аппроксимацию с помощью полинома 3-й степени. Для этого в открывшемся диалоговом окне «Линия тренда» выберем «Полиномиальная» и укажем степень «2».

Аналогично добавим линию тренда на основе логарифмической функции. В настройках линий тренда выставим галочку «показывать уравнение на диаграмме». Результат представлен на (Рис.16). Получили следующие аппроксимирующие функции.

Для полинома 3-й степени:

y = 0,1317x³ - 2,243x² + 12,092x - 15,385

Для логарифмической функции:

y = 3,6089ln(x) - 1,1751

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (16).bmp$

Рис.16 Получение графиков аппроксимации
Определим сумму квадратов отклонений для полученных функций в узловых точках (Рис.17Error: Reference source not found). Получим:

Для линейной функции эта величина равна 38,74993153
Для логарифмической функции эта величина равна 0,312560792

Следовательно, аппроксимация набора данных логарифмической функции более точна, чем линейной функцией.

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (18).bmp$

Рис. 17 Расчет суммы квадратов отклонений для аппроксимирующих функций

5.Задание№5

5.1.Условие задачи №5

Найти экстремум функции двух переменных

в Excel и Mathcad. Построить график двумерной поверхности в Excel и Mathcad.

5.2.Решение в Mathcad

Построим график функции в Mathcad (Рис.18)

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (19).bmp$

Рис.18 Построение поверхности в Mathcad

По графику определяем, что функция z имеет только один экстремум – точку минимума.

Воспользуемся блоком решения Mathcad и функцией Minimize. За начальное приближение точки минимума возьмем

Получили решение

(Рис.19).

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (21).bmp$

Рис.19 Минимизация функции в Mathcad

5.3.Решение в Excel

Сначала проведем табуляцию функции с шагом 1 на интервале по x[-8;8] и y[-10;10] (Рис.20).

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (22).bmp$

Рис.20 Табулирование функции 2-х переменных в Excel

На основе полученной таблицы строим поверхность (Рис.21).

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (23).bmp$

Рис.21 График функции 2-х переменных в Excel

С помощью надстройки «Поиск решения» найдем точку минимума. Для этого настроим соответствующее диалоговое окно следующим образом (рис. 22). В результате выполнения получим искомую точку минимума: (Рис. 22).

$c:\users\dns_shop\desktop\новый рисунок (25).bmp$

Рис. 22 Настройка «Поиска решения» для нахождения миниума

Заключение.

Excel и Mathcad позволяют рационально решать инженерные задачи, поставленные перед пользователем. В результате проведенной работы можно сделать вывод о преимуществе Mathcad над Excel при решении математических задач, которые были приведены в курсовой работе.

Mathcad является достаточно точной и математически продуманной программой. Большое количество адресов ячеек, которые приходится записывать при вводе формул, в Excel является одним из минусов этого пакета. Ведь в случае ошибки в записи формулы найти ее будет крайне трудно. В то время как Mathcad имеет простой пользовательский интерфейс, который позволяет решать задачи, опираясь лишь на простые математические знания.

Выполненная курсовая работа позволила закрепить уже имеющиеся знания об Excel и Mathcad, а также позволила узнать больше о возможностях этих пакетов программ. Кроме того, на основе практических знаний появилась возможность сказать о достоинствах и недостатках используемых, при решении задач, программ. В частности, средствами Excel нельзя выполнить линейную интерполяцию. Напротив, в математической программе MathCad, можно с легкостью выполнить линейную интерполяцию.