Решение задачи оптимизации режимов эксплуатации нефтяных добывающих скважин. 1 Постановка задачи и ее математическая формулировка

• Название: Решение задачи оптимизации режимов эксплуатации нефтяных добывающих скважин. 1 Постановка задачи и ее математическая формулировка
• Дата: 19.04.2023
• Размер: 37.52 Kb.
• Имя файла: Optimizatsia_Zadacha_1.docx
• Тип: Решение; #1075425

Решение выполнил студент группы РНМ-22-02, Зуб Д.С.

Решение задачи оптимизации режимов эксплуатации нефтяных добывающих скважин.

3.1 Постановка задачи и ее математическая формулировка

Рассматривается эксплуатация 2-х нефтяных добывающих скважин при естественном режиме работы пласта, i=1,2.

Исходными параметрами являются:

– с₁=0,05 – доля нефти в продукции 1-й скважины;

– с₂=0,95 – доля нефти в продукции 2-й скважины;

– ΔP_max1=1 МПа – максимально допустимый перепад между давлением на контуре питания залежи и забойным давлением 1-й скважины;

– ΔP_max2=1,5 МПа – максимально допустимый перепад между давлением на контуре питания залежи и забойным давлением 2-й скважины;

– R_к=5500 м – радиус контура питания залежи;

– R₁₂=R₂₁=200 м - расстояние между скважинами;

– R₁₁=R₂₂=Rc=0,1 м – радиус скважин;

– h =17 м – толщина пласта;

– k=0,15 Д – проницаемость пласта;

– µ=1 сПз – вязкость пластового флюида.

Требуется найти такие дебиты скважин по жидкости – q₁ и q₂ и забойные давления скважин – Р₁ и Р₂, которые обеспечат максимальный суммарный дебит по нефти при выполнении ограничения на величину перепадов между давлением на контуре питания залежи и забойными давлениями скважин.

Если найдены дебиты скважин, то при известном давлении на контуре питания по формулам (10) не трудно определить их забойные давления.

С учетом формул (10) математическая постановка задачи имеет вид модели линейного программирования:







q₁ ≥ 0, q₂ ≥ 0

1. 
   Решение задачи (11)-(14)
   

Определим числовые значения параметров, входящих в задачу (11)-(14):

k=0,15 Д1,510^-13 м²;

=1 сПз=0,010,1 Пас=10^-9 МПас=10^-9(606024)^-11,1610^-14 МПасут; ln(R_к/R₁₂)= ln(R_к/R₂₁)= ln(5500/200)  3,31;

ln(R_к/R₁₁)=ln(R_к/R₂₂)= ln(R_к/R_c)=ln(5500/0,1)  10,92;

2𝜋𝑘ℎ


𝜇 2𝜋𝑘ℎ

𝜇
∆𝑃_{𝑚𝑎𝑥1} = 1 ∙
∆𝑃_{𝑚𝑎𝑥2}=1,5

2𝜋 ∙ 1,510⁻¹³ ∙ 17


1,1610⁻¹⁴

2𝜋 ∙ 1,510⁻¹³ ∙ 10


1,1610⁻¹⁴
≈ 1381,22 м³/сут;
≈ 2071,83 м³/сут.

Теперь задача (11)-(14) принимает вид:

0,05𝑞₁ + 0,95𝑞₂ → max_q


(15)

10,92𝑞₁ +3,31𝑞₂ ≤ 1381,22 (16)

3,31𝑞₁ +10,92𝑞₂ ≤ 2071,83 (17)

𝑞₁ ≥ 0, 𝑞₂ ≥ 0. (18)

Дополняя задачу (15)-(18) искусственными переменными q₃ и q₄, которые также должны подчиняться условию (18), ограничения-неравенства

16. 
    и (17) можно заменить ограничениями-равенствами. После этого симплекс-методом подлежит решению задача:
    

0,05𝑞₁ + 0,95𝑞₂ → max_q

(19)

Итерация№1.

10,92𝑞₁ +3,31𝑞₂ + 𝑞₃ = 1381,22 (20)

3,31𝑞₁ +10,92𝑞₂ + 𝑞₄ = 2071,83 (21)





𝑞_𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,4 (22)

Шаг 1. Пусть свободными переменными являются q₁ и q₄, а базисными, соответственно, q₂ и q₃.

Шаг 2. Выразим базисные переменные через свободные, исходя из уравнений (20), (21):

1. 
   из уравнения (21)
   

10,92𝑞₂ = 2071,83 − 3,31𝑞₁ − 𝑞₄

𝑞₂ = 189,73 − 0,3𝑞₁ − 0,09𝑞₄; (23)

2. 
   из уравнений (20) и (23)
   

3,31𝑞₂ + 𝑞₃ = 1381,22 − 10,92𝑞₁;

𝑞₃ = 1381,22 − 10,92𝑞₁ − 3,31𝑞₂ =

= 1381,22 − 10,92𝑞₁ − 3,31⁽189,73 − 0,3𝑞₁ − 0,09𝑞₄⁾;

𝑞₃ = 753,2 − 9,93𝑞₁ + 0,3𝑞₄. (24)

Выполним проверку условий (5), т.е. проверим чему окажутся равны q₂ и q₃, если положить q₁=q₄=0: q₂=189,73  0, q₃=753,2  0. Следовательно, можно переходить к шагу 3.

Шаг 3. Выразим функцию цели (19) только через свободные, используя формулу (23):

𝜑⁽𝑞₁, 𝑞₄⁾ = 0,05𝑞₁ + 0,95𝑞₂ =

= 0,05𝑞₁ + 0,95⁽189,73 − 0,3𝑞₁ − 0,09𝑞₄⁾;

𝜑⁽𝑞₁, 𝑞₄⁾ = 180,24 - 0,235𝑞₁ − 0,086𝑞₄. (25)

Анализируя формулу (25), можно сделать вывод, что условие оптимальности выполнено: в функции цели все коэффициенты при свободных переменных не имеют строго положительных значений. Поэтому оптимальное решение задачи имеет вид: q₁=0; q₄=0; q₂=189,73 (см. (26)); q₃=753,2. Следовательно, оптимальное решение исходной задачи (15)-(18): q₁=0 м³/сут, q₂=189,73 м³/сут.