геометрія. Розглянемо перетин даних сфери і призми площина основи призми. Маэмо багатокутник основи, вписаний в деяке коло
 Скачать 371.55 Kb.
|
|
Розглянемо перетин даних сфери і призми - площина основи призми. Маэмо багатокутник основи, вписаний в деяке коло. Розглянемо перетин сфери і призми площиною бічної грані призми. Отримаємо прямокутник, вписаний в коло. Значить, бічні ребра призми перпендикулярні площині її основи. Отже, дана призма - пряма. Нехай O - центр сфери, M - центр кола, описаного навколо однієї з основ, r - її радіус, A - вершина цієї основи. Тоді З прямокутного трикутника AOM знаходимо, що Задача 1 Через центр сфери радіуса R проведені три попарно перпендикулярні площини. Знайдіть радіус сфери, що дотикається всіх цих площин і даної сфери. Нехай зазначені площини перетинаються по прямих OA, OB і OC, де O - центр даної сфери радіуса R. Будемо вважати, що OA = OB = OC = 1. Якщо Q - центр сфери радіуса x, що дотикається до даної сфери в точці P, а також що дотикається до площин AOB, AOC і BOC, причому площина AOB - в точці M, то QM ⊥ OM, і OQ = OP + QP (зовнішнє дотикання) або OQ = OP - QP (внутрішнє дотикання). Позначимо ∠QOM = α. У прямокутному трикутнику QOM маємо співвідношення QM = OQ sin α, або x = (R ± x) sin α. Таким чином, для вирішення завдання досить знайти sin α. Для цього розглянемо куб з вершиною L. його діагональ, проведена з вершини L, утворює з площинами трьох граней, що містять вершину L, кут, також рівний α. Якщо ребро куба одно c, то його діагональ дорівнює c√3. Значить, Задача 2 Площина проходить на відстані a від центру одиничної сфери. Знайдіть ребро куба, одна грань якого лежить в цій площині, а вершини протилежної грані знаходяться на сфері. Нехай вершини A, B, C і D куба ABCDA1B1C1D1 з ребром x (мал. 1) лежать в даній площині, а вершини A1, B1, C1 і D1 на даній сфері з центром O. Через точку O проведемо пряму , перпендикулярну даній площині. Нехай ця пряма перетинає площини граней ABCD і A1B1C1D1 в точках P і P1 відповідно. Оскільки точки A1, B1, C1 і D1 рівновіддалені від точки O, точка P1 - центр квадрата A1B1C1D1. Тоді P - центр квадрата ABCD. мал.1 мал.2 Задача 3 Розглянемо перетин сфери і куба площиною, що проходить через пряму OP і вершину A1. Отримаємо коло одиничного радіуса з центром в точці O і прямокутник AA1C1C, сторона AC якого лежить на хорді колда, віддаленої на відстань a від центру кола, а вершини A1 і C1 - на колі, причому AA1 = x, а A1C1 = x√2. мал.3 мал.4 За т. Піфагора , або , другий корень від’ємний. мал.5 мал.6 За т. Піфагора , або , другий корень від’ємний. мал.7 мал.8 |