Ряды Фурье_практика. Рядом Фурье функции. Ряд Фурье интегрируемой функции может сходиться, причем не обязательно к функции, либо расходиться. Условия сходимости ряда Фурье были установлены немецким математиком Дирихле. Теорема 1

• Название: Рядом Фурье функции. Ряд Фурье интегрируемой функции может сходиться, причем не обязательно к функции, либо расходиться. Условия сходимости ряда Фурье были установлены немецким математиком Дирихле. Теорема 1
• Дата: 27.05.2022
• Размер: 138 Kb.
• Имя файла: Ряды Фурье_практика.doc
• Тип: Документы; #552878

Ряды Фурье.

Пусть  интегрируемая периодическая с периодом функция. Функциональный ряд вида

, (1)

где коэффициенты определяются по формулам:
, (2)

, (3)

называется рядом Фурье функции .

Ряд Фурье интегрируемой функции может сходиться, причем не обязательно к функции , либо расходиться. Условия сходимости ряда Фурье были установлены немецким математиком Дирихле.

Теорема 1. (Дирихле). Если функция на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода и при этом монотонна или имеет конечное число экстремумов на , то ряд Фурье для любых сходится к функции .

Пусть функция четная для всех . Тогда и ряд Фурье имеет вид:



где . (4)

Следовательно, четная функция разлагается в ряд Фурье по косинусам. Аналогично нечетная функция для всех разлагается в ряд Фурье по синусам:

,
где . (5)
Если  периодическая с периодом функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле на отрезке , то ее разложение в ряд Фурье имеет следующий вид:

, (6)

где

,

, . (7)

Если  четная функция, то ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы:

,

где

, . (8)

Если  нечетная функция, то ее ряд Фурье содержит только синусы:

,

где

, . (9)

Если функция задана на отрезке , то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее на отрезке произвольным способом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной на отрезке .

Пример 1. Найти разложение в ряд Фурье периодической функции с периодом 4:



Решение. Функция задана на промежутке длиной , отсюда . Находим по формулам 7 коэффициенты ряда:




Подставив найденные коэффициенты в ряд 2.26, и учитывая, что при четных значениях коэффициенты , получим



Пример 2.11. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на отрезке уравнением .

Решение. Рассматриваемая функция является четной, поэтому , и ряд Фурье имеет вид:



где вычисляется по формуле 2.24.








Получаем следующий ряд Фурье для заданной функции на отрезке :