теория вероятностей. теор вер. С учётом изложенного выше на поставленные в задаче вопросы можно ответить следующим образом по условию, Р(А)0,5
![]()
|
Задача 1 Малое предприятие имеет два цеха – А и В. Каждому установлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех А свой план выполняет с вероятностью 0,5. Вероятность выполнения плана цехом В при условии, что цех А выполнит свой план, равна 0,4. Известно также, что с вероятностью 0,1 может сложиться ситуация, когда ни один из цехов свой план не выполнит. Если оба цеха выполнят свои планы в предстоящий месяц, то предприятие увеличит свой счёт в банке на 5 единиц; если оба не выполнят- снимет со счёта 4 единицы; если цех А выполнит, а цех В не выполнит – увеличит счёт только на 2 единицы; если же цех А не выполнит, а цех В выполнит - сократит свой счёт на 1 единицу. Требуется: определить вероятность выполнения плана цехом В; выяснить, зависит ли выполнение плана цехом А от того, выполнит или не выполнит свой план цех В; найти вероятность того, что предприятию придётся снимать деньги со счёта в банке; определить, на сколько и в какую сторону (увеличения - уменьшения) изменится в среднем счёт предприятия в банке по результатам работы в предстоящем месяце (ожидаемое изменение счёта в банке). Решение: Указанные в задаче события полезно представить графически с помощью диаграммы Эйлера-Венна: О ![]() чевидно, что события ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Правые части этих равенств представляют собой суммы опять-таки несовместных событий. С учётом изложенного выше на поставленные в задаче вопросы можно ответить следующим образом: по условию, Р(А)=0,5; ![]() ![]() ![]() Тогда из Р(АВ)=0,1 и ![]() ![]() ![]() Предприятию придется снимать деньги в банке при условии, что оба банка не выполнят план , и вероятность этого события равна ![]() ![]() Тогда вероятность снятия денег со счета равна ![]() Определим, на сколько и в какую сторону (увеличения - уменьшения) изменится в среднем счёт предприятия в банке по результатам работы в предстоящем месяце (ожидаемое изменение счёта в банке). 5-4+2-1=2 ед. – по результатам работы предприятие получит на счет дополнительно 2 единицы. Задача 2 Оптовая база заключает договоры с магазинами на снабжение товарами. Известно, что от каждого магазина заявка на обслуживание на очередной день может поступить на базу с вероятностью 0,4, причём независимо от других магазинов. ![]() Требуется: определить минимальное количество магазинов ( ![]() ![]() при найденном в пункте 1) значении ![]() наиболее вероятное число заявок ( ![]() вероятность поступления не менее ![]() математическое ожидание и дисперсию числа заявок на обслуживание на очередной день. Решение: Анализ условия задачи позволяет сделать вывод о том, что в основу её решения можно положить формулу Бернулли ![]() при ![]() Минимальный объём ![]() ![]() ![]() ![]() Получим: ![]() Отсюда ![]() Случайная величина Х- число наступлений события А в серии из 6 испытаний, является дискретной с возможными значениями 0; 1; 2;…; ![]() ![]() Записанная формула выражает закон распределения вероятностей случайной величины Х. Как известно, этот закон называют биномиальным. Вероятность того, что в данной серии испытаний событие А наступит хотя бы один раз, определим по формуле ![]() Получим: ![]() Для определения вероятности того, что событие А наступит не менее 5 раз, воспользуемся формулой ![]() Вычислим вероятности, стоящие в этом равенстве справа: ![]() В итоге ![]() Наиболее вероятное значение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда ![]() ![]() Для случайной величины Х , распределённой по биномиальному закону с параметрами ![]() ![]() ![]() При ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 3 В автосалоне ежедневно выставляются на продажу автомобили двух марок – А и В. В течение дня продаётся Х машин марки А и Y машин марки В, причём независимо от того, сколько их было продано в предыдущие дни. Машина марки А стоит 5 ед., машина марки В – 7 ед. Закон распределения вероятностей системы (Х,Y) задан таблицей
Требуется: определить, какая марка машин пользуется в автосалоне наибольшим спросом; выяснить, зависит ли число проданных автомашин марки А от числа проданных автомашин марки В; найти ожидаемую (среднюю) дневную выручку автосалона; оценить (с помощью дисперсии) возможные отклонения дневной выручки относительно среднего значения. Пояснение: считать, что если P(X >Y) > P(Y >X), то машины марки А ![]() Определим, какие марки автомобилей пользуются наибольшим спросом: P(X >Y)=0,05+0,04+0,10=0,19 P(Y >X)=0,07+0,22+0,02=0,31 Условие P(X >Y) > P(Y >X) не выполняется, значит, машины марки В ![]() Найдём частные распределения вероятностей системы (Х,Y). Возможные значения случайных величин Х и Y прямо указаны в таблице 1, а вероятности этих значений легко вычисляются по формулам ![]() ![]() В итоге получаем ряд распределения случайной величины Х:
и ряд распределения случайной величины Y:
Используя полученные данные, определяем числовые характеристики случайных величин Х и Y: ![]() ![]() Для выяснения вопроса о том, зависимы или нет случайные величины Х и Y, поступим следующим образом. Последовательно, ориентируясь на клетки таблицы 1, вычислим соответствующие произведения ![]() ![]() ![]() ![]() Итак, для клетки (1,1): ![]() ![]() Корреляционный момент ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() и данные таблицы 1. Получим ![]() ![]() Коэффициент корреляции ![]() ![]() ![]() ![]() В пункте 1) было установлено, что ![]() С учётом того, что ![]() ![]() Задача 4 Торговая фирма располагает разветвлённой сетью филиалов и есть основания считать, что её суммарная дневная выручка Х является нормально распределённой случайной величиной. Наблюдённые значения этой величины по 100 рабочим дням представлены в виде следующего интервального ряда:
Требуется: построить гистограмму относительных частот; определить несмещённые оценки для неизвестных математического ожидания ![]() ![]() найти 95-процентные доверительные интервалы для ![]() ![]() Решение: 1 Построим гистограмму относительных частот Для этого определим середины интервалов
![]() 2 Определим несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания ![]() ![]() 3 Доверительный интервал для неизвестного ![]() ![]() ![]() ![]() Так как выборка взята из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением, то величина ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В итоге ![]() ![]() ![]() ![]() и по каждой реализации найти доверительный интервал, то в среднем 95% найденных интервалов накроют неизвестное ![]() ![]() Задача 5 По результатам 18 замеров времени Х изготовления детали определены выборочное среднее ![]() ![]() ![]() ![]() Пояснение: Основную гипотезу ![]() ![]() ![]() ![]() Так как выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с известным ![]() ![]() – стандартное нормальное распределение. Заметим, что это имеет место при условии справедливости нулевой гипотезы ![]() По виду ![]() ![]() Левую критическую точку ![]() ![]() ![]() по таблице приложения 2 в [2] найдём ![]() ![]() ![]() Вычислим наблюдаемое значение критерия ![]() ![]() Так как ![]() ![]() |