Салыстырудың негізгі қасеттері. Салыстыруды_ аны_тамалары, оны_ негізгі _асиеттері. Салыстыруды анытамалары, оны негізгі асиеттері

• Название: Салыстыруды анытамалары, оны негізгі асиеттері
• Анкор: Салыстырудың негізгі қасеттер
• Дата: 12.06.2022
• Размер: 30.67 Kb.
• Имя файла: Салыстыруды_ аны_тамалары, оны_ негізгі _асиеттері.docx
• Тип: Документы; #587269

Салыстырудың анықтамалары, оның негізгі қасиеттері

Сандар теориясының салыстырулар теориясы сияқты өзінің алгебрасы бар. Алғашында қарапайым алгебра арифметикалық амалдар үшін стенография түрде дамыған болатын. Сандар теориясының тарихына көз жүгіртетін болсақ, 1621 жылы Баше де Мезириакуның арқасында Диофанттың шығармалары қалпына келтірген. Кейін осы зерттеулерді Ферма өз қолына алып, 1640 жылы Ферманың кіші теоремасы жарыққа шықты. Бұл теоремада a^p-1 ≡ 1(mod p), мұндағы p – жай сан, a – p-ға бөлінбейтін бүтін сан екені айтылған.Ферманың теоремасын Эйлер жалпылап, мынандай түрге келтірген болатын:
≡1(mod m) (1.1.1)
мұндағы - Эйлер функциясы.

1795 жылы салыстырудың мәні мен символдық белгілеуін алғаш рет Гаусс енгізді. Оның зерттеу жұмысы 1801 жылы «Арифметикалық зерттеу» еңбегінде көрсетілген. [1,б.390]

Салыстыру теориясының әдісі техника, экономика және т.б. облыстарда кең қолданысқа ие. Енді салыстыру теориясын қарастырайық.

Анықтама 1.1.1 Егер екі бүтін a мен b сандары және олардың a-b айырмасы m-ге бөлінетін болсанемесе m a – b, онда оны төмендегідей түрде жазуға болады:
b (mod m) (1.1.2)
мұндағы a және b салыстырудың оң және сол бөлігі.

Егер де a-b айырмасы m-ге бөлінбейтін болса, онда салыстыру былай жазылады: a≢ b (mod m).

Анықтама 1.1.2. Бөлгіші m>0 болғандықтан оны салыстырудың модулі деп атайды, яғни (1.1.2) – формуламына мағынаға ие:
a – b = mk, (1.1.3)
a = mk + b (1.1.4)
мұндағы k-бүтін сан, ал m - салыстыру эталонының қызметін атқарады. Мысалы:

1) 23 , себебі 23 – 8 = 15 = 5*3

2) 47 , себебі 47 – 11 = 36 = 9*4

3) -11 , себебі -11- 5 = -16 = 8* (-2)

4) 81 , себебі 81- 0 = 81 = 27 * 3

Соңғы мысалда a саны m-ге бөлінетінін көреміз және оны былай жазуға болады: a ≡0 (mod m), яғни a – 0 = a = mk.

Салыстыру теңдіктің өзіндік қасиетіне ұқсас. Шынымен де, біз теңсіздікті 0 модульі бойынша салыстырудың типі ретінде қарастыруға болады.

Анықтама 1.1.3 Егер a≡b (mod 0) салыстырудың мағынасы модулі m = = 0 болса, онда a – b = 0, демек a = b.

Мұндай салыстыруды математикалық әдебиеттердегі теңдеулер түрінде кездестіре бермейсіз. Бірақ кейде қолданылатын өте қарапайым салыстырулар да кездеседі.

Анықтама 1.1.4 Модуль m = 1 саны болғанда, кез-келген жұп a және b бүтін сандары үшін
b (mod 1), (1.1.5)

a – b = 1, k = k. (1.1.6)
Салыстырудың қасиетіне оралсақ, модуль m бүтін сандеп есептейік.



1-сурет. Кесіндісі m-ге тең болатын сандар осі
1-сурет бойынша координат басынан бастап кесіндісі m-ге тең болатын сандар осі көрсетілген. Сонда әрбір a бүтін сан осы берілген кесіндінің біреуіне немесе бөлгендегі нүктенің біреуіне түседі. Бұл жағдайда оны былай жазамыз:
a = km + r (1.1.7)
r – 0,1,2,..., m – 1 (1.1.8)
сандардың беріледі, мұндағы k – кейбір бүтін сандар,

Бұл шамалы жалпылаудың оң сандарға бөлу болып табылады. Бұл жерде (1.1.6) формуладағы r санын а санының m-ге бөлгендегі қалдық немесе m модуль бойынша қалдығын айтады. Мысалы:

1) а = 11, m = 7, 11=7*1+4,

2) a = -11, m = 7, -11=7*(-2) + 3.

(1.1.6) формуладағы бөлуді салыстыру ретінде жазуға болады:
a≡ r (mod m) (1.1.9)
Осылайша, әрбір сан модуль m бойынша өз қалдығымен салыстырымды. Жоғарыдағы келтірілген мысалда 11 ≡ 4(mod 7), -11 ≡ 3 (mod 7). Осы (1.1.8) формулада екі қалдық m модуль бойынша салыстырымды емес. Себебі кез-келген екі сандардың айырмасы m-нен кіші. Сондықтан да екі санның қалдықтары әр түрлі.

Теорема1.1.1 Салыстыру a≡b (mod m) орындалады сонда тек сонда ғана егер a және b сандарын m-ге бөлгенде бірдей қалдық қалса.

Дәлелдеуі:

1) a b (mod m) берілсін. a және b мынандай түрінде болсын:

a = +

b = +

және

0≤

Бұдан

a –b = m +

Бірақ m ⎹ a – b, демек m⎹ - m < < m, мұндағы m-нен кіші сандар арасындағы ғана -ге бөлінетіні тек 0, сондықтан – = 0, = шығады.

2) a және b сандарыm - ге бөлінгенде қалдықтары тең болсын, ондa a = =m +n және b = m + n. Бұдан , m a – b, яғни a b (mod m) болады.[2,б.384]

Осыдан төменегі анықтамалар шығады.

Анықтама 1.1.5 Бұл a және b сандардың бөліндісінен шыққан қалдық -ге тең болса, онда a≡b (mod m) m модуль бойынша салыстырымды деп аталады.

Анықтама 1.1.6 a≡b (mod m) салыстыруы a және b бүтін оң сандар үшін орындалады сонда тек сонда ғана, егер a және b сандары бірдей соңғы цифрын m негізінде қабылдаса.

Мысалы: 37 ≡ 87 (mod 10), себебі ондық сандар жүйесіндегі осы екі сандардың соңғы цифры бірдей.

Алгебра курсынан теңдеуді қосуға, азайтуға, көбейтуге болатынын білеміз. Дәл сондай ережені салыстыруға да қолдануға болады.

Анықтама 1.1.7 Айталық, екі салыстыру берілсін:
a≡b (mod m),c≡d (mod m), (1.1.10)
a = b + mk, c = d + ml (1.1.11)
Мына (1.1.11) теңдеуді қосатын болсақ, онда a + c = b+ d + m(k + l) немесе
a+c≡b+d (mod m) (1.1.12)
мұндағы k және l – бүтін сандар. Басқаша айтқанда, екі салыстыруды қосуға болады.

Анықтама 1.1.8 Бір салыстыруды екіншісінен азайтуға болады:
a - c b – d (mod m) (1.1.13)
Мысалы: 11≡ -5 (mod 8) және 7≡ -9 (mod 8) салыстыруларын қосуға да, азайтуға да болады: 11+7≡ -5-9 (mod 8) және 11-7≡ -5++9 (mod 8) =>18≡ -14 (mod 8) және 4≡ 4 (mod 8). Осы екі салыстырулар орынды.

Анықтама 1.1.9 Екі салыстыруларды көбейтуге де болады.

Берілген (1.1.10) және (1.1.11) –ден ac≡bd+m(kd+bl+mkl), демек
ac bd (mod m) (1.1.14)
Мысалы: 11≡ -5 (mod 8) және 7 ≡ - 9 (mod 8) салыстыруларды көбейтетін болсақ, онда 77 ≡ 45 (mod 8) шығады.

Анықтама 1.1.10 a≡b(mod m) салыстыруды кез-келген c бүтін санға көбейтуге болады:
ac bc (mod m) (1.1.15)
Дәлелдеуі. Егер салыстыру a ≡ b(mod m) болса, онда a – b айырмасы m-ге бөінетін болса және c(a – b)-да m-ге бөлінсе немесе

m a b, m с(a b), m сa сb,

онда

сa ≡сb (mod m)

болады. [3,б.176]

Теорема 1.1.2 Егер ca ≡cb (mod m) және (c, m)=1 болса, салыстыру a ≡ b (mod m) болады.

Дәлелдеуі. Егер сa ≡ сm болса және m⎹ сa – сb, m⎹ с(a – b) болады, бірақ онда (с, m) = 1 шарты m⎹ a – b береді, немесе a ≡ b(mod m) болады. Егер сa≡сb (mod m) және (с,m)≠ 1 болса, онда мүмкін a ≡ b (mod m) не a ≢ b (mod m).

Мысалы: 1) 3∙17≡3∙3 (mod 7) және 17 ≡ 3 (mod 7),

2) 3∙10≡3∙2 (mod 9), бірақ 10 ≢ 2 (mod 9).

Теорема 1.1.3 Егер a ≡ b (mod m) және d - кез келген натурал сан болса, онда

da ≡db (mod cm).

Дәлелдеуі. Егер a ≡ b (mod m) болса, онда m⎹ a – b, km⎹ da-db, da ≡ db (mod cm)

Теорема 1.1.4 Егер da ≡ db (mod cm), мұнда с, d - кез келген натурал сан, онда

a ≡b(mod m).

Дәлелдеуі. Егер da ≡ db (mod cm), онда dm⎹ da –db, dm⎹ d(a – b), dнатурал сан немесе d ≠0 онда m⎹ a –b яғни, a ≡b(mod m).

Мысалы: 1) 11≡ -5 (mod 8) және 7 ≡ - 9 (mod 8) салыстыруларды 3-ке көбейтсек:

33 ≡ -15 (mod 8),

35 ≡ - 27 (mod 8).

(1.1.15) салыстырудың ортақ көбейткішке қысқартсақ, дұрыс салыстыру ала аламыз ба деген сұрақ туындайды. Міне, бұл жерде салыстыру теңдеуден өзгеше.

2) 22≡ -2(mod 8) салыстыруды ортақ көбейткішке 2-ге бөлетін болсақ, біздің салыстыруымыз 11≡ -1(mod 8) түрге келуші еді, бірақ бұл дұрыс емес.

3) Салыстырудың қасиеті бойынша берілген 60 ≡ 9 (mod 17) екі жағын 3-ке бөлеміз: 20 ≡ 3 (mod 17).

4) 8 ≡ 4 (mod 4), бірақ 2 ≢ 1 (mod 4), яғни a ≡ b салыстырудың орны әртүрлі бірнеше модульдері бар болса, онда осы модульдердің ең кіші ортақ көбейткішіне тең модуль бойынша орынға ие.

Анықтама 1.1.11 Егер ac ≡ bd(mod m), онда a ≡ b(mod m), мұндағы m және c – өзара жай сандар.

Дәлелдеуі: Бірінші салыстырудың мағынасы ac-bc = (a-b)c = mk, егер D(m,c) =1, бұдан a – b айырмасы m-ге бөлінеді.

Мысалы, 4 ≡ 48(mod 11) салыстыруын 4-ке қысқартуға болады, себебі D(11,4). Сондықтан 1≡12(mod 11).

Салыстырудың ең қарапайым 3 қасиеттері бар:

1) рефлексивті қасиет:
a ≡ a (mod m), (1.1.16)
яғни а – а = m – 0.

Дәлелдеуі. а және а сандарын m- ге бөлгенде бірдей қалдық қалады.

2) симметриялы қасиет: a≡ b (mod m) формуласында
b≡a (mod m) (1.1.17)
мағынасын береді, себебі b – a = - (a – b) = - m*k. [4,б.176]

Дәлелдеуі. Егер b және а сандарының m-ге бөлгенде қалдықтары бірдей болса, демек а және b сандары m - ге бөлінгенде қалдықтары тең болады.

3) транзиттік қасиет: a≡ b (mod m) және
b≡ c (mod m), (1.1.18)
себебі a – b = m*k мен b – c = m*s мағыналарын береді, онда (a – b) + (b – c) = = m (k + s) = a – c, бұдан a ≡ c (mod m) шығады.

Дәлелдеуі. b және c-ны m - ге бөлгенде қалдықтар бірдей болса және a және b-ны m - ге бөлгендегі қалдықтар бірдей болса, онда а мен с –ны m-ге бөлгенде бірдей қалдықтар қалады.Айталық, 13 ≡ 35 (mod 11) және 35 ≡ -9 (mod 11). Бұдан 13 ≡ -9 (mod 11).