хуй. Семинар 11. Интерференция от протяженно го источника света. Пространственная когерент ность. Видность картины
 Скачать 281.02 Kb.
|
|
Семинар № 11. Интерференция от протяженно- го источника света. Пространственная когерент- ность. Видность картины. Содержание Семинар № 11. Интерференция от протяженного источника света. Пространственная когерентность. Видность картины. 1 1.1 Интерференция от нескольких точечных источников 1 1.2 Интерференция протяженного источника 3 1.3 Интерференция от нескольких точечных немонохроматических источников 4 1.4 Интерференция от протяженного немонохроматического источни- ков 5 1.5 Задачи 8 1.6 Домашние задачи 9 Цель: Расчет структуры светового поля и анализ схем наблюдения интерфе- ренции от двух точечных источников света, интерференции в случае протяжен- ного источника света. Анализ функции видности. Оценка размера источника, для которого наблюдается различимая интерференционная картина, и радиуса когерентности. В предыдущем семинаре мы обсуждали интерференцию немонохроматиче- ского точечного источника. Реальные источники точечными не являются и та- кая модель не достаточно точно описывает реальные картины интерференции. В связи с этим возникает необходимость рассчитать картины, создаваемые про- тяженными источниками. 1.1 Интерференция от нескольких точечных источников Рассмотрим некоторые модели протяженного источника света. При этом бу- дем считать, что источники света монохроматические. В дальнейшем усложним модель и рассчитаем для немонохроматических протяженных источников кар- тины интерференции. Простейшая модель неточечного — это два разнесенных в пространстве то- чечных монохроматических источника одинаковой интенсивности длиной вол- ны 𝜆 некогерентными между собой. Рассчитаем распределение Интенсивности 𝐼(𝑥), которое эти источники со- здают на экране в схеме Юнга. Источники находятся на расстоянии 𝐷 друг от друга на линии параллельной линии, содержащей щели (см. рисунок 1 ). Рассто- яние между щелями равно 𝑑, а расстояние от линии, содержащей источники, до щелей 𝐿 ≫ 𝑑, 𝐷 от щелей до экрана равно 𝑙 ≫ 𝑑. 1 Рисунок 1 Найдем интерференционную картину от каждого источника. Рассмотрим источник 𝑆 1 . Найдем оптические длины для пучков проходящих через разные щели и приходящих в одну и туже точку на экране: ∆ 1 = √︃ 𝐿 2 + (︂ 𝐷 2 − 𝑑 2 )︂ 2 + √︃ 𝑙 2 + (︂ 𝑥 − 𝑑 2 )︂ 2 ≈ 𝐿 + (︂ 𝐷 2 − 𝑑 2 )︂ 2 2𝐿 + 𝑙 + (︂ 𝑥 − 𝑑 2 )︂ 2 2𝑙 ∆ 2 = √︃ 𝐿 2 + (︂ 𝐷 2 + 𝑑 2 )︂ 2 + √︃ 𝑙 2 + (︂ 𝑥 + 𝑑 2 )︂ 2 ≈ 𝐿 + (︂ 𝐷 2 + 𝑑 2 )︂ 2 2𝐿 + 𝑙 + (︂ 𝑥 + 𝑑 2 )︂ 2 2𝑙 ∆ = 𝐷𝑑 2𝐿 + 𝐷𝑥 2𝑙 Интенсивность создаваемая источником 𝑆 1 на экране будет равна 𝐼 𝑆 1 (𝑥) = 𝐼 0 (︂ 1 + cos 2𝜋 ∆ 𝜆 )︂ = 𝐼 0 (︂ 1 + cos 𝜋 𝐷 𝜆 [︂ 𝑑 𝐿 + 𝑥 𝑙 ]︂)︂ Теперь рассмотрим источник 𝑆 2 . Найдем для него оптические длины для пучков проходящих через разные щели и приходящих в одну и туже точку на экране: ∆ = − 𝐷𝑑 2𝐿 + 𝐷𝑥 2𝑙 Интенсивность картины, создаваемая источником 𝑆 2 , на экране равна: 𝐼 𝑆 2 (𝑥) = 𝐼 0 (︂ 1 + cos 2𝜋 ∆ 𝜆 )︂ = 𝐼 0 (︂ 1 + cos 𝜋 𝐷 𝜆 [︂ − 𝑑 𝐿 + 𝑥 𝑙 ]︂)︂ Вместе два некогерентных источника дадут суммарную картину интерфе- ренции (так как суммарная интенсивность равна сумме интенсивностей для каждого некогерентного источника): 𝐼(𝑥) = 𝐼 𝑆 1 (𝑥)+𝐼 𝑆 2 (𝑥) = 𝐼 0 (︂ 1 + cos 𝜋 𝐷 𝜆 [︂ 𝑑 𝐿 + 𝑥 𝑙 ]︂)︂ +𝐼 0 (︂ 1 + cos 𝜋 𝐷 𝜆 [︂ − 𝑑 𝐿 + 𝑥 𝑙 ]︂)︂ = 2 = 2𝐼 0 (︂ 1 + cos 𝜋 𝐷 𝜆 𝑑 𝐿 cos 𝜋 𝐷 𝜆 𝑥 𝑙 )︂ −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 𝑥 · (2𝐷/𝜆𝑙) 𝐼 0 𝐼 𝑆 1 𝐼 𝑆 2 𝐼 𝑆 1 + 𝐼 𝑆 2 Можно заметить, что интерференционная картина становиться абсолютно не различимой, то есть интенсивность картины не зависит от положения на экране при набеге разницы хода ровно в половину длины волны или в нечетное количество половин длин волн. Аналогично можно рассчитать интерференционные картины для большего числа источников. 1.2 Интерференция протяженного источника Рассмотрим опыт Юнга, в котором некогерентный монохроматический ис- точник света длиной волны 𝜆, шириной 𝐷 освещает щели. Найдем распределение интенсивности 𝐼(𝑥), если расстояние между щелями равно 𝑑, а расстояние от источника до щелей 𝐿 ≫ 𝑑, 𝐷 от щелей до экрана равно 𝑙 ≫ 𝑑. Интенсивность света пришедшего на экран от каждого элемента источника шириной 𝑑𝑦 пройдя через одну из щелей равна 𝑑𝐼 0 = 𝐼 0 𝐷 𝑑𝑦. В результате прохождения через обе щели возникает интерференция и света от каждого элемента источника шириной 𝑑𝑦 формирует картину интерференции с интенсивностью: 𝑑𝐼(𝑦,𝑥) = 2𝐼 0 𝑑𝑦 𝐷 (1 + cos 𝑘∆) = 2𝐼 0 𝑑𝑦 𝐷 (︁ 1 + cos 𝑘𝐷( 𝑦 𝐿 + 𝑥 𝑙 ) )︁ = = 2𝐼 0 𝑑𝑦 𝐷 (︁ 1 + cos 𝑘𝐷 𝑦 𝐿 · cos 𝑘𝐷 𝑥 𝑙 − sin 𝑘𝐷 𝑦 𝐿 · sin 𝑘𝐷 𝑥 𝑙 )︁ 3 Поскольку для некогерентных источников интенсивности складываются, то для нахождения картины интерференции нужно сложить интенсивности со- зданные каждым элементом источника шириной 𝑑𝑦. 𝐼(𝑥) = 𝑦=+𝐷/2 ∫︀ 𝑦=−𝐷/2 𝑑𝐼 = 2𝐼 0 (︂ 1 + sinc 𝑘 𝑑𝐷 2𝐿 cos 𝑘𝐷 𝑥 2𝑙 )︂ = 2𝐼 0 (︂ 1 + sinc 𝜋 𝜆 𝑑𝐷 𝐿 cos 𝜋𝐷 𝜆 𝑥 𝑙 )︂ −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 𝑥 · (2𝐷/𝜆𝑙) 𝐼 𝜆 1 = 600 нм 𝜆 2 = 400 нм −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 𝑥 · (2𝐷/𝜆𝑙) 𝐼 𝐷 0 1,5𝐷 0 2𝐷 0 2,5𝐷 0 Можно заметить, что интерференционная картина пропадает, если функция sinc 𝜋 𝜆 𝑑𝐷 𝐿 = 0 или ширина источника равна 𝐷 = 2𝑛 𝐿𝜆 𝑑 , где 𝑛 — натуральное число. 1.3 Интерференция от нескольких точечных немонохро- матических источников Рассмотрим два разнесенных в пространстве точечных немонохроматиче- ских источника с прямоугольным спектром излучения (𝜔 0 ± 𝛿𝜔), одинаковой 4 интенсивности. Рассчитаем распределение Интенсивности 𝐼(𝑥), которое эти источники со- здают на экране в схеме Юнга. Источники находятся на расстоянии 𝐷 друг от друга на линии параллельной линии, содержащей щели. Расстояние меж- ду щелями равно 𝑑, а расстояние от линии, содержащей источники, до щелей 𝐿 ≫ 𝑑, 𝐷 от щелей до экрана равно 𝑙 ≫ 𝑑. Интенсивность создаваемая каждым источником 𝐼 (∆) = 2𝐼 0 [︂ 1 + sinc (︂ 𝛿𝜔 𝑐 ∆ )︂ cos (︁ 𝜔 0 𝑐 ∆ )︁ ]︂ А интерференционная картина будет результатом сложения интенсивности двух таких будет равна 𝐼 (∆) = 2𝐼 0 [︂ 1 + sinc (︂ 𝛿𝜔 𝑐 (︂ − 𝐷𝑑 2𝐿 + 𝐷𝑥 2𝑙 )︂)︂ cos (︂ 𝜔 0 𝑐 (︂ − 𝐷𝑑 2𝐿 + 𝐷𝑥 2𝑙 )︂)︂]︂ + +2𝐼 0 [︂ 1 + sinc (︂ 𝛿𝜔 𝑐 (︂ 𝐷𝑑 2𝐿 + 𝐷𝑥 2𝑙 )︂)︂ cos (︂ 𝜔 0 𝑐 (︂ 𝐷𝑑 2𝐿 + 𝐷𝑥 2𝑙 )︂)︂]︂ −6 −4 −2 0 2 4 6 0 2 4 6 𝑥 · (2𝐷/𝜆𝑙) 𝐼 /𝐼 0 Наблюдаемая интерференционная картина также заметно зависит расстоя- ния 𝐷 между точечными источниками и практически становится не различима если 𝐷 = 2𝑛 𝐿𝜆 𝑑𝐷 1.4 Интерференция от протяженного немонохроматиче- ского источников Рассмотрим опыт Юнга, в котором некогерентный немонохроматических ис- точника с прямоугольным спектром излучения (𝜔 0 ± 𝛿𝜔) шириной 𝐷 освещает щели. 5 Найдем распределение интенсивности 𝐼(𝑥), если расстояние между щелями равно 𝑑, а расстояние от источника до щелей 𝐿 ≫ 𝑑, 𝐷 от щелей до экрана равно 𝑙 ≫ 𝑑. В результате прохождения через обе щели возникает интерференция и света от каждого элемента источника шириной 𝑑𝑦 формирует картину интерференции с интенсивностью: 𝑑𝐼 (𝑦,𝑥) = 2𝐼 0 𝑑𝑦 𝐷 [︂ 1 + sinc (︂ 𝛿𝜔 𝑐 𝐷( 𝑦 𝐿 + 𝑥 𝑙 ) )︂ cos (︁ 𝜔 0 𝑐 𝐷( 𝑦 𝐿 + 𝑥 𝑙 ) )︁ ]︂ Вследствие немонохроматичности перед cos появляется множитель sinc, что заметно затрудняет дальнейшие вычисления интенсивности картины. 𝐼(𝑥) = +𝐷/2 ∫︁ −𝐷/2 2𝐼 0 𝑑𝑦 𝐷 [︂ 1 + sinc (︂ 𝛿𝜔 𝑐 𝐷( 𝑦 𝐿 + 𝑥 𝑙 ) )︂ cos (︁ 𝜔 0 𝑐 𝐷( 𝑦 𝐿 + 𝑥 𝑙 ) )︁ ]︂ = = 2𝐼 0 ⎛ ⎜ ⎝ 1 + 𝑆𝑖(( 𝜔 0 − 𝛿𝜔 𝑐 𝐷 𝑙 )(𝑥 + 𝑙 𝐿 𝐷 2 )) − 𝑆𝑖(( 𝜔 0 − 𝛿𝜔 𝑐 𝐷 𝑙 )(𝑥 − 𝑙 𝐿 𝐷 2 )) 2 𝜔 0 𝛿𝜔 𝑐 2 𝐷 2 𝑙 2 + + 𝑆𝑖(( 𝜔 0 + 𝛿𝜔 𝑐 𝐷 𝑙 )(𝑥 + 𝑙 𝐿 𝐷 2 )) − 𝑆𝑖(( 𝜔 0 + 𝛿𝜔 𝑐 𝐷 𝑙 )(𝑥 − 𝑙 𝐿 𝐷 2 )) 2 𝜔 0 𝛿𝜔 𝑐 2 𝐷 2 𝑙 2 ⎞ ⎟ ⎠ −6 −4 −2 0 2 4 6 0 1 2 3 4 𝑥 · (2𝐷/𝜆𝑙) 𝐼 /𝐼 0 На практике источник имеет достаточно монохроматичен (𝛿𝜔/𝜔 0 ≪ 1) и размер угловой размер источника мал, то множитель sinc (︂ 𝛿𝜔 𝑐 𝐷( 𝑦 𝐿 + 𝑥 𝑙 ) )︂ в ин- тегральном выражении практически не зависит от положения 𝑦 элементарно- го источника. Тогда можно интенсивность картины интерференции вычислить приближенно в более простом виде: 6 𝐼(𝑥) = +𝐷/2 ∫︁ −𝐷/2 2𝐼 0 𝑑𝑦 𝐷 [︂ 1 + sinc (︂ 𝛿𝜔 𝑐 𝐷( 𝑦 𝐿 + 𝑥 𝑙 ) )︂ cos (︁ 𝜔 0 𝑐 𝐷( 𝑦 𝐿 + 𝑥 𝑙 ) )︁ ]︂ ≈ ≈ 2𝐼 0 (︂ 1 + sinc (︂ 𝛿𝜔 𝑐 𝐷 𝑥 𝑙 )︂ sinc 𝜔 0 𝑐 𝑑𝐷 𝐿 cos 𝜔 0 𝑐 𝑥 𝑙 )︂ То есть интерференционная картина будет похожа на на случай интерфе- ренции точечного немонохроматического источника, при этом контрастность картины будет хуже, то есть с меньшей видностью картины ( ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ sinc 𝜔 0 𝑐 𝑑𝐷 𝐿 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ < 1). Но при этом качественно картина поменяется не сильно. Задачи такого этого честно решать не нужно, всегда в них предполагается делать приближенные качественные оценки опираясь на более простые модель- ные приближения. 7 1.5 Задачи 1. Свет от протяженного монохроматического источника 𝑆 размером 𝐷 = 1 мм падает на непрозрачный экран Э, в котором имеются два маленьких отверстия. Интерференция света, прошедшего через отверстия, наблюдается в точке 𝑃 . Рисунок 2 Источник света 𝑆 и точка 𝑃 находятся на одинаковом расстоянии 𝐿 от экра- на. Если смещать верхнее отверстие, увеличивая расстояние 𝑑 (𝑑 ≪ 𝐿), то интен- сивность в точке 𝑃 периодически убывает и возрастает. Определить расстояние 𝑑 1 между отверстиями, которому соответствует 1-й минимум интенсивности в точке 𝑃 , если амплитуда осцилляций уменьшается до нуля при 𝑑 2 = 20𝑑 1 2. Полученное при помощи линзы с фокусным расстоянием 𝑓 = 50 изображе- ние Солнца в точности совпадает с отверстием в экране, за которым расположен другой экран с двумя узкими параллельными щелями. Расстояние между ще- лями 𝑑 = 1 мм. При каком расстоянии 𝐿 между экранами можно наблюдать интерференционные полосы за экраном со щелями? Угловой диаметр Солнца 𝜙 ≈ 0,01 рад. 3. В интерференционной схеме (см. рис. 3 ) используется квазимонохромати- ческий (𝜆 = 0,5 мкм; 𝛿𝜆 = 2,8 нм) протяженный источник света 𝑆. Рисунок 3 Отражающее зеркало З расположено симметрично относительно источника 𝑆 и точки О на экране Э. Найти: 1) ширину Λ интерференционных полос на экране; 2) количество 𝑁 наблюдаемых полос; 3) область локализации ∆𝑥 полос на экране; 4) максимальный 𝑚 𝑚𝑎𝑥 и минимальный 𝑚 𝑚𝑖𝑛 порядки интерферен- ционных полос; 5) допустимый размер 𝐷 источника. 8 4. В интерференционной схеме с бипризмой Френеля (преломляющий угол 𝛼 = 20 ′ , показатель преломления 𝑛 = 1,5) экран и источник света (𝜆 = 600 нм; 𝛿𝜆 = 20 нм) находятся на одинаковых расстояниях от бипризмы. 1) Оценить число 𝑁 интерференционных полос на экране. 2) На каком расстоянии ∆𝑥 от центра интерференционной картины интерференционные полосы размывают- ся? 3) Каков допустимый размер 𝐷 источника, при котором можно наблюдать все интерференционные полосы? 5. (Сивухин 224.) Какому условию должны удовлетворять размеры источ- ника света, чтобы могли наблюдаться интерференционные полосы в установке с 1) зеркалами Френеля, 2) зеркалом Ллойда? Различные светящиеся точки источника излучают некогерентно. 1.6 Домашние задачи 6. В интерференционной схеме с бипризмой Френеля (преломляющий угол 𝛼 = 20 ′ , показатель преломления 𝑛 = 1,5) экран и источник света (𝜆 = 600 нм; 𝛿𝜆 = 20 нм) находятся на одинаковых расстояниях от бипризмы. 1) Оценить число 𝑁 интерференционных полос на экране. 2) На каком расстоянии 𝛿𝑥 от центра интерференционной картины интер- ференционные полосы размываются? 3) Каков допустимый размер 𝐷 источника, при котором можно наблюдать все интерференционные полосы? Ответ: 1) 𝑁 ≈ 60; 2) ∆𝑥 ≈ 6 мм; 3) 𝐷 6 0,2 мм. 7. Из тонкой собирающей линзы диаметром 50 см вырезана центральная полоска шириной 5 мм, после чего обе половины линзы сдвинуты до соприкос- новения. Источник света с длиной волны 500 нм находится на оси системы в фокальной плоскости линзы. 1) На каком расстоянии 𝑟 от билинзы следует расположить экран, чтобы на нем наблюдать максимально возможное число интерференционных полос? Определить ширину Λ интерференционных полос и их число 𝑁 . 2) Оценить допустимую немонохроматичность 𝛿𝜆 источника света, чтобы можно было наблюдать все полосы. 3) Оценить допустимый размер 𝐷 источника света. Ответ: 1) 𝑟 ≈ 1 м, Λ ≈ 0,05 мм, 𝑁 ≈ 200; 2) 𝛿𝜆 6 5 нм; 3) 𝐷 6 25 мкм. 9 |