Синусоидальному закону

• Название: Синусоидальному закону
• Анкор: seminar1-6.pdf
• Дата: 19.03.2019
• Размер: 327.32 Kb.
• Имя файла: seminar1-6.pdf
• Тип: Семинар; #26121

Семинар 6
Синусоидальные величины. Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей при синусоидальном воздействии.
В установившемся режиме в линейных электрических цепях при действии ЭДС источников, изменяющихся по синусоидальному закону
( )
sin(
)
m
e
e t
E
t

  
, токи и напряжения на всех элементах электрической цепи также синусоидальные, т.е. имеют вид
( )
sin(
)
m
i
i t
I
t

  
,
( )
sin(
)
m
u
u t
U
t

  
. Компонентные уравнения определяют соотношение между током и напряжением для идеализированных элементов электрических цепей (резистивного, емкостного и индуктивного). Система уравнений, описывающая состояние электрической цепи при действии ЭДС источников, изменяющихся по синусоидальному закону, будет дифференциально-интегральной системой уравнений.
Расчет электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях значительно упрощается с применением
комплексных
чисел.
Синусоидальные ток, напряжение, ЭДС можно представить в виде
( )
sin(
)
I m
i
j
j t
m
i
m
i t
I
t
I e e





   


,
( )
sin(
)
I m
u
j
j t
m
u
m
u t
U
t
U e
e





   


,
( )
sin(
)
I m
e
j
j t
m
e
m
e t
E
t
E e
e





   


, где
 
Im

- величина мнимой части комплекса
 

. Комплексные числа
i
j
m
m
I
I e


,
u
j
m
m
U
U e


,
e
j
m
m
E
E e


называют комплексными амплитудами соответственно тока, напряжения и ЭДС, а комплексные числа
2
m
I
I

,
2
m
U
U

,
2
m
E
E

— комплексными действующими значениями тока, напряжения и ЭДС. Поскольку все токи, напряжения, ЭДС имеют одинаковую частоту
2 f
  
, то введенные комплексы однозначно описывают i(t), u(t) и e(t) цепи. Необходимо понять принципы изображения синусоидальных величин в виде комплексной амплитуды или комплекса действующего значения (векторов на комплексной плоскости) и усвоить обратный переход – от комплексной амплитуды (действующего значения) к соответствующим мгновенным значениям i(t), u(t) и e(t).
Введение вместо синусоидальных функций времени комплексов
m
I
,
m
U
,
m
E
или I , U , E позволяет алгебраизировать компонентные уравнения элементов цепи, все методы расчета линейных электрических цепей при постоянном токе могут быть применены к расчету синусоидальных токов и напряжений. Цепь в комплексной расчетной области описывается чисто алгебраическими уравнениями.
Вводятся понятия
реактивных
сопротивлений индуктивного и емкостного элемента (учитывается влияние
ЭДС самоиндукции и токов смещения на режим цепи). Эти реактивные сопротивления зависят от частоты. Введение комплексных реактивных

сопротивлений как отношений комплекса напряжения к комплексу тока позволяет учесть также сдвиг фаз между током и напряжением на реактивных элементах. Удобной иллюстрацией расчета является векторная
диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений, отражающая соотношения между комплексами тока и напряжения на любом участке цепи и позволяющая находить графическим путем напряжение между любыми точками электрической цепи без дополнительного расчета.
Задача 6.1. Записать в полярной и алгебраической форме комплексные амплитуды напряжений и токов, мгновенные значения которых:
1)
220sin(
20 ) B; 2)
15cos(
15 ) A;
3)
380sin(
100 ) B; 4)
100sin(
120 ) A;
u
t
i
t
u
t
i
t

 

 
 
 

 
Решение.
1)
220sin(
20 ) B
u
t

 
–
мгновенное значение синусоидального напряжения. Соответствующая комплексная амплитуда
20 220 220 20 206,73 75, 24 B
j
m
U
e
j



  

2)
15cos(
15 ) 15sin(
15 90 ) A
i
t
t

 

 
 
–
мгновенное значение синусоидального тока.
Переход к комплексной амплитуде:
75 15 15 75 3,882 14, 489 A
j
m
I
e
j


   

3)
380sin(
100 )
380sin(
100 180 ) B
u
t
t
 
 

 


–
мгновенное значение синусоидального напряжения. Соответствующая комплексная амплитуда
( 80 )
380 380 80 65,986 374, 227 B
j
m
U
e
j
 


  

4)
100sin(
120 )
i
t

 
– мгновенное значение синусоидального тока.
Переход к комплексной амплитуде:
( 120 )
100 15 120 7,5 12,99 A
j
m
I
e
j



 
  

Задача 6.2. Даны комплексные амплитуды. Записать соответствующие мгновенные значения токов и напряжений:
1) 4 3 B; 2) 0, 7 A;
3) 40 330 B; 4) 1,5 A;
j
j

 


Решение. 1)
4 3 5 36,5 B
m
U
j
 
 

Мгновенное значение напряжения
5sin(
36,5 ) B
u
t

 
2)
0,7 0,7 90 A
m
I
j


 
Мгновенное значение тока
0,7sin(
90 ) A
i
t

 
3)
40 330 B
m
U
 

Мгновенное значение напряжения
40sin(
330 )
40sin(
30 ) B
u
t
t

 

 
4)
1,5 1,5 180 A
m
I
 



Мгновенное значение тока
1,5sin(
180 )
1,5sin
A
i
t
t

 
 


Задача
6.3.
Мгновенные значения токов
1 6sin(
30 ) A
i
t

 
,
2 6sin(
120 ) A
i
t

 
. Определить
3
( )
i t
, показания приборов.
Решение. По первому закону Кирхгофа
3 1
2
( )
( )
( )
i t
i t
i t


. Расчет во временной области весьма затруднителен. Используем комплексный метод.
Комплексные амплитуды заданных мгновенных значений тока
1
( )
i t
и
2
( )
i t
:
1 6 30 5,196 3 A
m
I
j
   

,
2 6 120 3
5,196 A
m
I
j
 
   
Комплексная амплитуда искомого тока:
3 1
2
(5,196 3) ( 3 5,196)
8,196 2,196 8, 48 15 A
m
m
m
I
I
I
j
j
j




  



 
Мгновенное значение искомого тока
3 8, 48sin(
15 ) A
i
t

 
. Амперметр показывает действующее значение синусоидального тока, следовательно,
А
1
:
1 1
6 4, 24 A
2 2
m
I
I



, А
2
:
2 2
6 4, 24 A
2 2
m
I
I



,
А
3
:
3 3
8, 48 6 A
2 2
m
I
I



Задача 6.4. Для тока
( ) 10sin(314
) A
i t
t

 
известно при t=0 мгновенное значение i(0)=8,66 А. Найти показания приборов. Как изменятся показания приборов, если частота синусоидального тока увеличится в два раза?
1) R= 10 Ом
2) L=10 мГн
3) C= 100 мкФ
Решение. Начальная фаза и амплитуда определяют мгновенное значение тока при t=0:
(0) 10sin
6,88 A
i

 
,
60
  
. Амперметры А
1
, А
2
и А
3
показывают действующее значение синусоидального тока
10 7, 07 A
2 2
m
I
I



(определяется только амплитудой тока). Для определения показаний вольтметров необходимо определить амплитуду напряжения на резисторе, индуктивном и емкостном элементе.

1)
( )
( ) 100sin(314 60 ) B
R
u t
Ri t
t


 
. Действующее значение напряжения на резисторе V
1
:
10 7, 07 70, 7 B
2 2
m
m
U
I
U
R
RI



 

2)
3
d ( )
( )
100 10 314 10cos(314 60 )
31, 4sin(314 150 ) B
d
L
i t
u t
L
t
t
t






  


Действующее значение напряжения на индуктивном элементе
V
2
:
3,14 7, 07 22, 2 B
2 2
m
m
L
U
I
U
L
X I

 




3)
6 1
1
( )
( )d
( 10cos(314 60 ))
318, 47sin(314 30 ) B
100 10 314
C
u t
i t t
t
t
C



 
  
 



Действующее значение напряжения на емкостном элементе
V
3
:
1 31,847 7, 07 225,87 B
2 2
m
m
C
U
I
U
X I
C







При изменении частоты синусоидального тока показания амперметров и
V
1
не изменятся, показание V
2
увеличится в два раза, показание V
3
уменьшится в два раза.
Задача 6.5. Неидеальная катушка подключается сначала к источнику постоянного напряжения 100 В, а затем к источнику синусоидального напряжения частотой 50 Гц с действующим значением 100 В. В первом случае ток равен 5 А, во втором 4 А.
Определить индуктивное сопротивление и индуктивность катушки.
Активное сопротивление катушки считать равным ее сопротивлению постоянному току.
Решение. Схема с источником постоянного напряжения, т.к.
0
L
di
u
L
dt


имеет вид:
Следовательно, активное сопротивление катушки
100 20 Ом
5
E
R
I



Схема с источником синусоидального напряжения
100 2 sin
u
t


(
рад
2 314 с
f
   
)
в комплексной области имеет вид:

Комплексы напряжения, тока и сопротивления:
100 0 B,
U


4
i
I
 
,
(
)
L
u
i
U
Z
R
jX
Z
I

 
    
Следовательно,
2 2
100 25 Ом
4
L
U
Z
R
X
I





Индуктивное сопротивление катушки
15 Ом
L
X
L
  
, индуктивность
47,8 мГн
L
X
L



Задача 6.7. Определить показания приборов в цепи, если известно показание первого амперметра I
1
= 1 A и заданы параметры: R
1
= 100 Ом,
R
2
= 200 Ом, L = 0,276 Гн, частота f = 100 Гц.
Решение. Комплексная расчетная схема:
Комплексное сопротивление катушки на заданной частоте:
2 173 Ом
L
X
L
fL
    
Пусть
1 1 0
I
  
A, тогда
1
(
) 1 (100 173)
200 60 B
ab
L
U
I
R
jX
j
 

 


 
Показание вольтметра 200 В.
2 2
200 60 1 60 A
200
ab
U
I
R
 


  
, амперметр А
2
покажет значение 1 А.
1 2
1 1 60 1 0,5 0,866 1,73 30 A
I
I
I
j
       


 
, амперметр А покажет значение 1,73 А.

Задача 6.6. В цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора емкостью С = 1 мкФ и катушки с индуктивностью L = 20 мГн и сопротивлением R = 50 Ом, ток
4
( )
0,5cos10 A
i t
t

Найти мгновенные значения напряжений на конденсаторе, катушке и всей цепи. Построить топографическую диаграмму.
Решение. Так как
4 4
( )
0,5cos10 0,5sin(10 90 ) A
i t
t
t


 
, комплексная амплитуда тока
0,5 90 0,5 A
m
I
j

  
. Реактивные сопротивления катушки и конденсатора на заданной частоте
4 3
10 20 10 200 Ом
L
X
L

  



,
4 6
1 1
100 Ом
10 10
С
X
С






. Комплексная схема:
Комплексное сопротивление цепи:
50 200 100 50 100 111,8 63, 4 Ом
m
L
C
m
U
Z
R
jX
jX
j
j
j
I

 









Комплексные амплитуды: напряжения на входе
111,8 63, 4 0,5 90 55,9 153, 4 B
m
m
U
Z I
 



  


, напряжения на катушке
(
)
(50 200) 0,5 90 206,16 76 0,5 90 103,8 166 B,
mК
L
m
U
R
jX
I
j






  
 
  



напряжения на конденсаторе
100 90 0,5 90 50 0 B
mС
C
m
U
jX
I
 


  
   
Мгновенные значения: напряжения на входе
4
( )
55,9sin(10 153, 4 ) B
u t
t



, напряжения на катушке
4
( ) 103,8sin(10 166 ) B
К
u t
t



, напряжения на конденсаторе
4
( )
50sin10 B
C
u t
t

. Топографическая диаграмма: