Лекция 5. Обобщающие характеристики статистических совокупностей. Содержание лекции
 Скачать 1.11 Mb.
|
|
ЛЕКЦИЯ 5. ОБОБЩАЮЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ СОВОКУПНОСТЕЙ МОСТОВЩИКОВА ИРИНА АЛЕКСАНДРОВНА, СТ. ПРЕП. КАФ. «ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ» 30.03.2022 1 СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ Понятие средней величины. Средняя арифметическая величина. Особенности расчета Квадратическая, кубическая, геометрическая, гармоническая средние Многомерная средняя величина Понятие вариации. Вариационный ряд. Графическое отображение вариации Показатели вариации Вариация сгруппированных данных 30.03.2022 2 ЧАСТЬ 1. ПОНЯТИЕ СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ. СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА 30.03.2022 3 ПОНЯТИЕ СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ Средняя величина – количественная характеристика общего в явлениях и процессах, характеристика статистической закономерности. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ применяются для: 1) анализа деятельности; 2) выявления взаимосвязи явлений; 3) прогнозирования; 4) оценки достигнутого уровня и т.д. Пример: 1) средний балл 4,3 за экзамен по математике у студентов экономических и технических специальностей 2) среднедушевые денежные доходы населения Челябинской области в 2021 году … руб. 3) среднегодовая стоимость ОПФ на предприятии ООО «Луч» в 2021 году составила 15,25 млн. руб. 30.03.2022 4 ПОНЯТИЕ СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ 30.03.2022 5 № Город Парк легковых автомобилей, тыс. шт. Население, тыс. чел. Обеспеченность на 1000 жителей, шт. 1 Краснодар 355,0 1022,0 347 2 Москва 3632,9 12678,1 287 3 Санкт-Петербург 1709,7 5398,1 317 4 Челябинск 331,7 1196,7 277 5 Екатеринбург 465,5 1526,4 305 … … … … … Среднее по РФ 309 Расчет средней величины позволяет выявить объективные и субъективные факторы. Сама средняя величина показателя является объективной величиной, отражает общее свойство всех объектов совокупности. Таблица 1 Обеспеченность легковыми автомобилями на 1000 жителей в крупнейших городах РФ в 2020 году СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА 30.03.2022 6 Средняя арифметическая величина – это такая средняя, которая сохраняет сумму значений признака при замене индивидуальных значений на средние. Средняя арифметическая рассчитывается в тех случаях, когда индивидуальные и общее значения связаны как слагаемые и сумма. Пример. Значения выручки за 1, 2, 3, 4 кварталы связаны с выручкой за год, как слагаемые и сумма. Следовательно для расчета среднеквартальной выручки необходимо использовать формулу средней арифметической. Выручка ООО «Луч» по кварталам в 2021 году Показатель Период 1 квартал 2 квартал 3 квартал 4 квартал Год (сумма) Выручка, тыс. руб. 25 000 32 500 42 200 26 400 126 100 Среднеквартальная выручка = Выручка 1 кв + Выручка 2 кв + Выручка 3 кв + Выручка 4 кв 4 = = 25000 + 32500 + 42200 + 26400 4 = 126100 4 = 31525 тыс. руб. СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА 30.03.2022 7 Способ расчета средней арифметической (СА) величины зависит от формы представления данных! Несгруппированные данные Сгруппированные данные Сотрудник Стаж, год Сотрудник 1 2 Сотрудник 2 3 Сотрудник 3 4 Сотрудник 4 2 Сотрудник 5 5 Сотрудник 6 3 Сотрудник 7 5 Сотрудник 8 2 Сотрудник 9 5 Сотрудник 10 5 Стаж, год Количество, чел. 1 - 2 3 3 2 4 1 5 4 Средняя арифметическая простая Средняя арифметическая взвешенная ПРОСТАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СРЕДНЯЯ. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА 30.03.2022 8 1. Для несгруппированных данных рассчитывается простая арифметическая средняя ഥ𝒙 = σ 𝒙 𝒊 𝒏 , где 𝑥 𝑖 – индивидуальное значение признака; n – количество единиц статистической совокупности. Пример: Выручка ООО «Луч» по кварталам в 2021 году Показатель Период 1 квартал 2 квартал 3 квартал 4 квартал Год (сумма) Выручка, тыс. руб. 25 000 32 500 42 200 26 400 126 100 Среднеквартальная выручка = Выручка 1 кв + Выручка 2 кв + Выручка 3 кв + Выручка 4 кв 4 = = 25000 + 32500 + 42200 + 26400 4 = 126100 4 = 31525 тыс. руб. ПРОСТАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СРЕДНЯЯ. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА 30.03.2022 9 Принципы простой средней арифметической : • СА простая рассчитывается в случае, если осредняются абсолютные признаки. • СА может быть дробным числом , даже если индивидуальные значения признака принимают целочисленные значения. • Одно и то же значение признака может встречаться у нескольких единиц совокупности. Сотрудник Стаж, год Сотрудник 1 2 Сотрудник 2 3 Сотрудник 3 4 Сотрудник 4 2 Сотрудник 5 5 Сотрудник 6 3 Сотрудник 7 5 Сотрудник 8 2 Сотрудник 9 5 Сотрудник 10 5 𝒙 = 𝟐 + 𝟑 + 𝟒 + 𝟐 + 𝟓 + 𝟑 + 𝟓 + 𝟐 + 𝟔 + 𝟕 𝟏𝟎 = 𝟑𝟔 𝟏𝟎 = 𝟑, 𝟔 года Распределение сотрудников предприятия по стажу Расчет простой арифметической средней для несгруппированного ряда СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ВЗВЕШЕННАЯ. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА 30.03.2022 10 Средняя арифметическая взвешенная рассчитывается: 1) для дискретного ряда , в котором каждому значению признака x j соответствует определенное количество единиц совокупности f j , характеризуемых этим значением. Для сгруппированных данных всегда рассчитывается взвешенная величина, где в качестве веса используется частота встречаемости данного значения признака в статистической совокупности. 𝒙 = 𝟐 × 𝟑 + 𝟑 × 𝟐 + 𝟒 × 𝟏 + 𝟓 × 𝟒 𝟑 + 𝟐 + 𝟏 + 𝟒 = 𝟔 + 𝟔 + 𝟒 + 𝟐𝟎 𝟏𝟎 = 𝟑𝟔 𝟏𝟎 = 𝟑, 𝟔 года Распределение сотрудников предприятия по стажу (сгруппированные данные) Расчет средней арифметической взвешенной для дискретного сгруппированного ряда Стаж, год Количество, чел. 1 - 2 3 3 2 4 1 5 4 ഥ𝒙 = σ 𝒙 𝒋 𝒇 𝒋 σ 𝒇 𝒋 , где 𝑥 𝑗 – значение признака; 𝑓 𝑗 – количество единиц статистической совокупности со значением признака 𝑥 𝑗 . СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ВЗВЕШЕННАЯ. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА 30.03.2022 11 2) для интервального ряда , в котором заданы диапазоны изменения признака и относительные частоты попадания признака в данный интервал. Частоты относятся не к отдельному значению признака, как в дискретных рядах, а ко всему интервалу, поскольку признак может принимать любые значения (непрерывная вариация) *Если значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете СА величины в качестве значения признака принимают середины этих интервалов! Величины открытых интервалов условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним. 𝒙 = 𝟑 + 𝟐 𝟐 × 𝟑 + 𝟒 + 𝟑 𝟐 × 𝟐 + 𝟓 + 𝟒 𝟐 × 𝟓 𝟑 + 𝟐 + 𝟓 = 𝟐, 𝟓 × 𝟑 + 𝟑, 𝟓 × 𝟐 + 𝟒, 𝟓 × 𝟓 𝟏𝟎 = 𝟑𝟕 𝟏𝟎 = 𝟑, 𝟕 года Распределение сотрудников предприятия по стажу (сгруппированные данные) Расчет средней арифметической взвешенной для интервального сгруппированного ряда Стаж, год Количество, чел. до 2 - 2 – 3 3 3 – 4 2 Свыше 4 5 ഥ𝒙 = σ 𝒙 ′ 𝒋 𝒇 𝒋 σ 𝒇 𝒋 , где 𝑥′ 𝑗 – центр интервала (полусумма границ интервала); 𝑓 𝑗 – количество единиц в j-ом интервале. СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ВЗВЕШЕННАЯ. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА 30.03.2022 12 * Название «вес» означает, что разные значения признака имеют «неодинаковую важность» при расчете средней величины. * Использовать СА простую величину можно тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство! ПРАВИЛО. При расчете средней арифметической из относительных величин рассчитывается взвешенная средняя, при этом весом выбирается доля единиц с данным значением в общей совокупности. Показатель Сумма (f i ), тыс. руб. Доля (w i ) Стоимость (x i ), % Собственный капитал предприятия 2 200 0,3666 18 Заемный капитал предприятия 3 800 0,6333 10 Итого капитал предприятия (σ 𝑓 𝑖 ) 6 000 1 - Средневзвешенная стоимость капитала (𝑊𝐴𝐶𝐶) = 18 × 2200 + 10 × 3800 2200 + 3800 = = % СК × Доля СК + % ЗК × Доля ЗК = 18 × 0,3666 + 10 × 0,6333 = 6,5988 + 6,333 = 12,93% 𝑥 = 𝑥 𝑖 × 𝑤 𝑖 𝑤 𝑖 = 𝑓 𝑖 σ 𝑓 𝑖 СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ВЗВЕШЕННАЯ. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА 30.03.2022 13 Пример: В районе два хозяйства выращивают овощи: коллективное и фермерское. Урожайность, соответственно, 10 и 20 центнеров с гектара, гектаров, соответственно, 98 и 2. Если в данном примере рассчитать простую среднюю, получится средняя 15 центнеров с гектара ((10+20)/2). Но разве такая величина отражает объективно среднюю урожайность, если на 98 га из 100 урожайность 10 ц/га, и только на 2 – 20 ц/га? Конечно, нет. Поэтому, при расчете следует учитывать и площадь, к которой относится каждое значение урожайности, используя показатели площади в качестве веса, т.е. считать взвешенную среднюю величину. А именно: Вот это величина уже действительно объективно характеризует среднюю урожайность в районе! Наименование хозяйства Урожайность, ц/га Площадь, га Коллективное 10 98 Фермерское 20 2 ҧ𝑥 = σ 𝑥 𝑗 𝑓 𝑗 σ 𝑓 𝑗 = 10×98+20×2 100 = 10,2 ц/га, ПРОВЕРКА ПРАВИЛЬНОСТИ РАСЧЕТА СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ 30.03.2022 14 !!! Правильность расчета средней величины поможет установить проверка : 1) границ существования показателя (значение средней величины должно укладываться в диапазон значений показателя) 2) полученных единицы измерения (средняя величина должна измеряться в тех же единицах измерения) 3) сохранения единицы осреднения (при замене индивидуальных значений на средние) ЧАСТЬ 2. КВАДРАТИЧЕСКАЯ, КУБИЧЕСКАЯ, ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ, ГАРМОНИЧЕСКАЯ СРЕДНИЕ 30.03.2022 15 ВИДЫ СРЕДНИХ: СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ 30.03.2022 16 Средняя квадратическая величина – это такая средняя, которая сохраняет неизменной сумму квадратов значений признака при замене индивидуальных значений на средние. 𝑥 кв = σ 𝑥 𝑖 2 𝑛 𝑥 кв = σ 𝑥 𝑗 2 𝑓 𝑗 σ 𝑓 𝑗 Средняя квадратическая простая Средняя квадратическая взвешенная Средняя квадратическая величина часто применяется на практике, особенно в вариационном анализе, а также при оценке рисков (среднее квадратическое отклонение) ВИДЫ СРЕДНИХ: СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ 30.03.2022 17 Пример. Имеются 3 участка земли со сторонами 100, 200, 300 метров соответственно. Определить среднюю длину стороны участка. СА непригодна, так как средняя длина стороны участка получится (100+200+300)/3 = 200 метров , тогда общая площадь участков с такой стороной: 3*200 2 кв.м = 120 000 кв.м. (не верно!!!) !!! Фактическая площадь участков: 100 2 + 200 2 + 300 2 = 140 000 кв.м. Применим формулу средней квадратической: Проверка: 216,025 2 + 216,025 2 + 216,025 2 = 140 000 кв.м. 𝑥 кв = σ 𝑥 𝑖 2 𝑛 = 100 2 + 200 2 + 300 2 3 = 216,025 кв. м. ВИДЫ СРЕДНИХ: СРЕДНЯЯ КУБИЧЕСКАЯ 30.03.2022 18 Средняя кубическая величина – это такая средняя, которая сохраняет неизменной сумму кубов значений признака при замене индивидуальных значений на средние. Средняя кубическая простая Средняя кубическая взвешенная Средняя кубическая величина применяется в статистике при расчете показателей асимметрии и эксцесса. На практике используется для расчета среднего объема предметов по их диаметрам. 𝑥 куб = 3 σ 𝑥 𝑖 3 𝑛 𝑥 куб = 3 σ 𝑥 𝑗 3 𝑓 𝑗 σ 𝑓 𝑗 ВИДЫ СРЕДНИХ: СРЕДНЯЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ 30.03.2022 19 Средняя геометрическая величина – это такая средняя, которая сохраняет неизменным произведение значений признака при замене индивидуальных значений на средние. Рассчитывается в тех случаях, когда индивидуальные значения связаны с общим, как сомножители и произведение: 𝑥 геом = 𝑛 𝑥 1 × 𝑥 2 × ⋯ × 𝑥 𝑛 Средняя геометрическая величина применяется в статистике при расчете средних темпов роста Год 2020 2021 2022 Стоимость продукции, руб. 400 800 2400 Темп роста, % … 200 300 Коэффициент роста … 2 3 Как определить средний темп роста (коэффициент роста) стоимости? ВИДЫ СРЕДНИХ: СРЕДНЯЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ 30.03.2022 20 𝑥 геом = 𝑛 𝑥 1 × 𝑥 2 × ⋯ × 𝑥 𝑛 = 2 2 × 3 = 2,4495 Год 2020 2021 2022 Стоимость продукции, руб. 400 800 2400 Темп роста, % … 200 300 Коэффициент роста … 2 3 *СА непригодна, так как средний коэффициент роста в таком случае составит (2+3)/2=2,5, При таком коэффициенте роста цена в 2022 году должна быть: 400 × 2,5 × 2,5 = 𝟐𝟓𝟎𝟎 руб. Эта цифра не отражает реальную динамику стоимости (реально стоимость увеличилась в 6 раз (600%), а не в 6,25 раза) Очевидно, что индивидуальные значения признака (2 и 3) связаны с общим значением (6), как сомножители и произведение: 2 × 3 = 6 (увеличение в 6 раз) Следовательно среднюю можно рассчитать только как геометрическую: Проверим: 400 × 2,4495 × 2,4495 = 2400 руб. ВИДЫ СРЕДНИХ: СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ 30.03.2022 21 Средняя гармоническая величина – это такая средняя, которая сохраняет неизменной сумму значений, обратных значениям признака при замене индивидуальных значений на средние. 𝑥 гарм = 𝑛 σ 1 𝑥 𝑖 Средняя гармоническая величина применяется в экономике при расчете средних значений коэффициентов, в частности при определении среднего коэффициента оборачиваемости оборотных средств Средняя гармоническая простая Средняя гармоническая взвешенная 𝑥 гарм = σ 𝑓 𝑗 σ 𝑓 𝑗 𝑥 𝑗 ВИДЫ СРЕДНИХ: СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОСТАЯ 30.03.2022 22 Пример: 4 швеи заняты пошивом головных уборов одной модели. Первая тратит на изготовление одного убора – 30 минут, вторая – 40 минут, третья – 50 минут, четвертая – 60 минут. Каковы средние затраты времени одной швеи предприятия на пошив головного убора, если каждая работает по 10 часов в день? *Можно ли применить СА простую величину? Средние затраты времени (по СА) = (30+40+50+60) / 4 = 45 мин *Тогда количество отшиваемых головных уборов составит: 1 швея – 20, 2 швея – 15, 3 швея – 12, 4 швея – 10. В таком случае их общее время работы составит: (20+15+12+10)*45мин = 57*45мин = 2565 мин = 42,75 ч ( неверно , поскольку общее время работы в день 10*4 = 40 ч!!! ) Какой тогда нужно заложить принцип при распределении признака между единицами совокупности? ВИДЫ СРЕДНИХ: СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОСТАЯ 30.03.2022 23 Пример: 4 швеи заняты пошивом головных уборов одной модели. Первая тратит на изготовление одного убора – 30 минут, вторая – 40 минут, третья – 50 минут, четвертая – 60 минут. Каковы средние затраты времени одного работника предприятия на пошив головного убора, если каждая швея работает по 10 часов в день? Средние затраты времени на отшив одного убора = Общее количество времени Общее количество головных уборов 𝑥 гарм = 60 × 10 + 60 × 10 + 60 × 10 + 60 × 10 60 × 10 30 + 60 × 10 40 + 60 × 10 50 + 60 × 10 60 = 1 + 1 + 1 + 1 1 30 + 1 40 + 1 50 + 1 60 = 42, 105 мин. Проверим: 42, 105 × 600 30 + 600 40 + 600 50 + 600 60 = 42,105 × 20 + 15 + 12 + 10 = 42,105 мин × 57 уборов = 2400 мин. 𝑥 гарм = 𝑛 σ 1 𝑥 𝑖 Средняя гармоническая простая ВИДЫ СРЕДНИХ: СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ ВЗВЕШЕННАЯ 30.03.2022 24 Пример: Водитель проехал на автомобиле 200 км со скоростью 100 км/ч и 300 км со скоростью 60 км/ч. Какой была средняя скорость автомобиля на всем пути? Какой смысл должен быть заложен в среднюю? В чем она должна измеряться? Средняя скорость на всем пути (𝑣) = Общий путь (общее количество километров, 𝑆) Общее затраченное время (общее количество часов, 𝑡) Проверим: 71,43 км ч × 7 часов = 500 км 𝑣 = 𝑆 1 + 𝑆 2 𝑆 1 𝑣 1 + 𝑆 2 𝑣 2 = 200 + 300 200 100 + 300 60 = 500 км 7 ч = 71,43 км/ч 𝑥 гарм = σ 𝑓 𝑗 σ 𝑓 𝑗 𝑥 𝑗 Средняя гармоническая взвешенная ПОНЯТИЕ СТЕПЕННОЙ СРЕДНЕЙ 30.03.2022 25 Рассмотренные виды средних величин принадлежат к общему типу степенных средних. *Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени k: 𝑥 прост = 𝑘 σ 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑘 𝑛 Степенная средняя простая Степенная средняя взвешенная 𝑥 взвеш = 𝑘 σ 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑘 ×𝑓 𝑖 σ 𝑖=1 𝑛 𝑓 𝑖 Вид средней величины Значение степенного показателя k Средняя гармоническая величина k = -1 Средняя геометрическая величина k = 0 Средняя арифметическая величина k = 1 Средняя квадратическая величина k = 2 Средняя кубическая величина k = 3 Значение степенного показателя k для разных видов средних СООТНОШЕНИЕ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН 30.03.2022 26 *Чем выше показатель степени k, тем больше значение средней величины Вид средней величины Значение степенного показателя k Средняя гармоническая величина k = -1 Средняя геометрическая величина k = 0 Средняя арифметическая величина k = 1 Средняя квадратическая величина k = 2 Средняя кубическая величина k = 3 Правило мажорантности средних: Для средних величин, рассчитанных по одному и тому же набору исходных данных выполняется соотношение куб кв a геом гарм х х х х х * Это правило используют при проверке расчетов в статистическом анализе, в частности, в вариационном анализе. СООТНОШЕНИЕ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН 30.03.2022 27 Пример: Студент получил по результатам двух контрольных мероприятий (дисциплина «Статистика») оценки 2 и 5. Как определить средний балл за освоение дисциплины? СООТНОШЕНИЕ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН 30.03.2022 28 *Способ 1 «Пессимистический» *Способ 2 «Успокоительный» *Способ 3 «Оптимистический» = 4,05 !!! Какой балл поставить за освоение дисциплины? |