Справочник по геометрии планиметрия Томск2003 т реугольники прямоугольный треугольник
 Скачать 294.75 Kb.
|
|
МОУ Лицей при ТПУ СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ Планиметрия Томск–2003 1. Т РЕУГОЛЬНИКИ 1.1. Прямоугольный треугольник 1.1.1. Метрические соотношения a, b — катеты, с — гипотенуза, h — высота, AH = BH = , b c a c 1) 2 2 2 c b a = + 2) 2 b a c c h ⋅ = 3) 2 b c c b ⋅ = 4) 2 a c c a ⋅ = 5) c ab h = 1.1.2. Площадь 2 ab S = 1.1.3. Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей m c R = = 2 (m — медиана, проведенная из вершины прямого угла). 2 c b a r − + = 1.1.4. Соотношения между сторонами и углами ctg , tg , cos , sin a b A b a A c b A c a A = = = = 2 1.2. Произвольный треугольник 1.2.1. Медиана треугольника 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести. 2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих тре- угольника. 2 1 S S = 3. Три медианы треугольника делят его на шесть равновели- ких треугольников. 6 5 4 3 2 1 S S S S S S = = = = = 1.2.2. Средняя линия треугольника 1. || AB MN 2. 2 1 AB MN = 3. Средняя линия делит попо- лам любой отрезок, соеди- няющий вершину треуголь- ника с какой-либо точкой основания (CK = KP). 1.2.3. Биссектриса треугольника 1) BD — биссектриса ΔABC. Биссектриса делит основание на части, пропорциональные боко- вым сторонам BC AB DC AD = 2) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вписанной окружности. 3 1.2.4. Высоты треугольника Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром. 1.2.5. Определение вида треугольника по его сторонам Пусть с — наибольшая из трех сторон треугольника. Если то треугольник остроугольный. , 2 2 2 b a c + < Если то треугольник прямоугольный. , 2 2 2 b a c + = Если то треугольник тупоугольный. , 2 2 2 b a c + > 1.2.6. Площадь 1) 2 1 c ch S = 2) sin 2 1 C ab S = 3) , ) )( )( ( c p b p a p p S − − − = где p — полупериметр (формула Герона). 4) R abc S 4 = (R — радиус описанной окружности). 5) S = pr (p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности). 1.2.7. Формулы для вычисления радиусов R и r , 4 , sin 2 p S r S abc R A a R = = = 1.2.8. Соотношения между сторонами и углами A bc c b a cos 2 2 2 2 − + = (теорема косинусов). R C c B b A a 2 sin sin sin = = = (теорема синусов). 4 2. Ч ЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 2.1. Выпуклый четырехугольник 2.1.1. Площадь , sin 2 1 2 1 ϕ = d d S где — диагонали, ϕ — угол между ними. 2 1 , d d S = pr, если в четырехугольник можно вписать окружность (p — полупериметр, r — ради- ус вписанной окружности). 2.1.2. Вписанная окружность В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Центром вписанной окружности служит точка пересечения биссектрис. 2.1.3. Описанная окружность Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 °. Центром описанной окружности служит точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам четырехугольника через их середины. 2.2. Параллелограмм 2.2.1. Соотношение между сторонами и диагоналями ). ( 2 2 2 2 2 2 1 b a d d + = + 2.2.2. Площадь , sin 2 1 , sin , 2 1 ϕ = = = d d S A ab S ah S 2 1 2 1 ромб d d S = 5 2.3. Трапеция 2.3.1. Средняя линия 1) Параллельна основаниям. 2) Равна полусумме оснований. 3) Делит пополам любой отрезок, заключенный между основа- ниями. 2.3.2. Площадь , 2 h b a S + = где a, b — основания, h — высота. S = pr, если в трапецию можно вписать окружность радиуса r. , sin 2 1 2 1 ϕ = d d S где — диагонали, ϕ — угол между ними. 2 1 , d d 3. П РАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ a — сторона правильного многоугольника, R — радиус опи- санной окружности, r — радиус вписанной окружности, S — площадь. Вид правильного многоугольника R r S Равносторонний треугольник 3 a 3 2 a 4 3 2 a 2 3 a m = Квадрат 2 a 2 a 2 a 2 a d = Правильный шестиугольник a 2 3 a 2 3 3 2 a , 2 sin 2 α = R a n где α — центральный угол, α = 360 n ° , 2 1 Pr S = где n a P n = 6 4. О КРУЖНОСТЬ И КРУГ 4.1. Два свойства касательных 1) Касательная к окружности пер- пендикулярна радиусу, проведен- ному в точку касания. 2) Если из точки М проведены к окружности две касательные и А, В — точки касания, то а) МА = МВ, б) центр окружности лежит на бис- сектрисе угла АМВ. 4.2. Измерение углов, связанных с окружностью 4.2.1. Определения Вписанный угол — угол, образованный двумя хордами АВ и АС, выходящими из точки А на окружности. Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами ОВ и ОС (О — центр окружности). 4.2.2. Вычисление углов Центральный угол ВОС измеряется ду- гой ВС, на которую он опирается. Вписанный угол ВАС измеряется поло- виной дуги ВС, на которую он опирается. 4.3. Длина окружности, площадь круга 4.4. Длина дуги, площадь сектора Длина окружности l = 2 πr. Площадь круга 2 R S π = , α = R l AB , 2 1 2 α = R S AOB где α — центральный угол, выраженный в ра- дианах, рад 180 1 π = ° 7 |