Средние величины. средние велечины. Средней величиной
 Скачать 65.03 Kb.
|
|
Средней величиной в статистике называется обобщенная характеристика качественно однородных явлений и процессов по какому-либо варьирующему признаку, которая показывает уровень признака, отнесенный к единице совокупности. Средняя величина абстрактна, т.к. характеризует значение признака у некоторой обезличенной единицы совокупности. Сущность средней величины состоит в том, что через единичное и случайное выявляется общее и необходимое, т. е. тенденция и закономерность в развитии массовых явлений. Признаки, которые обобщают в средних величинах, присущи всем единицам совокупности. Благодаря этому средняя величина имеет большое значение для выявления закономерностей, присущих массовым явлениям и не заметных в отдельных единицах совокупности. Начиная У. Петти, средние величины стали рассматриваться в качестве основного приема статистического анализа. Общие принципы применения средних величин: 1) необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя величина; 2) при определении средней величины нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь исследуемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные; 3) средние величины должны рассчитываться по качественно однородным совокупностям, которые получают методом группировок, предполагающим расчёт системы обобщающих показателей; 4) общие средние должны подкрепляться групповыми средними. В зависимости от характера первичных данных, области применения и способа расчета в статистике различают следующие основные виды средних: 1) степенные средние (средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая, средняя квадратическая и кубическая); 2) структурные (непараметрические) средние (мода и медиана). В статистике правильную характеристику изучаемой совокупности по варьирующему признаку в каждом отдельном случае дает только вполне определенный вид средней. Вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности, а также исходя из принципа осмысленности результатов при суммировании или при взвешивании. Эти и другие принципы в статистике выражаются теорией средних. Например, средняя арифметическая и средняя гармоническая используются для характеристики среднего значения варьирующего признака у изучаемой совокупности. Средняя геометрическая применяется только при исчислении средних темпов динамики, а средняя квадратическая только при исчислении показателей вариации. Формулы расчёта средних величин представлены в таблице 3.1. Таблица 3.1 – Формулы расчёта средних величин
Обозначения:  - величины, для которых исчисляется средняя;  - средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;  - частота (повторяемость индивидуальных значений признака).Очевидно, что различные средние выводятся из общей формулы степенной средней (3.1):  , (3.1)при k = + 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = +2 - средняя квадратическая. Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называются величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность; в связи с этим каждый вариант приходится умножать на эту численность. «Весами» при этом выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней. 2) структурные (непараметрические) средние (мода и медиана). В статистике правильную характеристику изучаемой совокупности по варьирующему признаку в каждом отдельном случае дает только вполне определенный вид средней. Вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности, а также исходя из принципа осмысленности результатов при суммировании или при взвешивании. Эти и другие принципы в статистике выражаются теорией средних. Например, средняя арифметическая и средняя гармоническая используются для характеристики среднего значения варьирующего признака у изучаемой совокупности. Средняя геометрическая применяется только при исчислении средних темпов динамики, а средняя квадратическая только при исчислении показателей вариации. Формулы расчёта средних величин представлены в таблице 3.1. Таблица 3.1 – Формулы расчёта средних величин
Обозначения: - величины, для которых исчисляется средняя; - средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений; - частота (повторяемость индивидуальных значений признака).Очевидно, что различные средние выводятся из общей формулы степенной средней (3.1): , (3.1)при k = + 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = +2 - средняя квадратическая. Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называются величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность; в связи с этим каждый вариант приходится умножать на эту численность. «Весами» при этом выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней. 4. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится. 5. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней арифметической всегда равняется нулю. Можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей частотой), полученные разности сократить на общий множитель (лучше на величину интервала), а частоты выразить частностями (в процентах) и исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину. Этот способ расчета средней арифметической называется способом расчета от условного нуля. Среднюю гармоническую называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина получается при k = -1. Простая средняя гармоническая используется, когда веса значений признака одинаковы. К примеру, нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, вычисляем среднюю скорость:  В статистической практике чаще используется средняя гармоническая взвешенная – для тех случаев, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны, а в исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель. Например, при расчете средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам не известно количество реализованных единиц (речь идет о разных товарах), но известны суммы реализаций этих различных товаров. Допустим, необходимо узнать среднюю цену реализованных товаров (таблица 3.2). Таблица 3.2 – Исходные данные
Получаем:  Если здесь использовать формулу средней арифметической, то можно получить среднюю цену, которая будет нереальна: Если при исчислении средней цены за веса принять количество товаров, то верный результат дает формула средней арифметической взвешенной. Если же в качестве весов будем применять стоимость партий, то верный результат дает средняя гармоническая. Т. е., средняя гармоническая является не особым видом средней, а скорее особым методом расчета средней арифметической. В статистике всё же принято выделять среднюю гармоническую как отдельный вид средней, т.к. с ее помощью может быть упрощена техника расчета средней арифметической и, что более важно, учтен характер имеющегося статистического материала. Правильность выбора формы средней (арифметической или гармонической) может быть проверена также дополнительным критерием: если в качестве весов выступают абсолютные величины, всякие промежуточные действия при расчете средней должны давать значимые показатели. Например, для расчета средней цены умножением цены на количество товаров получается их стоимость. А деление стоимости товаров на их цены дает количество товаров. С помощью гармонической средней в статистике также определяется средний процент выполнения плана (по данным фактического выполнения плана), средние затраты времени на выполнение операций (по данным о средних затратах времени на одну операцию и общее время работы по отдельным работникам) и т.д. Средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Средняя квадратическая применяется для измерения вариации признака в совокупности (расчета среднего квадратического отклонения). В статистике действует правило мажорантности средних: Х гарм. < Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.  Средняя величина в статистике – это… Средние величины Каждый человек в современном мире, планируя взять кредит или делая запасы овощей на зиму, периодически сталкивает с таким понятием, как «средняя величина». Давайте узнаем: что это такое, какие ее виды и классы существуют и зачем она применяется в статистике и других дисциплинах. Средняя величина – это что такое? Подобное название (СВ) носит обобщенная характеристика совокупности однородных явлений, определяемая по какому-либо одному количественному варьируемому признаку. Однако люди далекие, от столь заумных определений, понимают это понятие, как среднее количество чего-то. Например, прежде чем взять кредит, сотрудник банка обязательно попросит потенциального клиента предоставить данные о среднем доходе за год, то есть общую сумму зарабатываемых человеком средств. Она вычисляется путем суммирования заработанного за весь год и разделения на количество месяцев. Таким образом, банк сможет определить, сумеет ли его клиент отдать долг в срок. Advertisement Зачем она используется? Как правило, средние величины широко применяются для того, чтобы дать итоговую характеристику определенных общественных явлений, носящих массовый характер. Также они могут быть использованы для менее масштабных расчетов, как в случае с кредитом, в приведенном выше примере. Однако чаще всего средние величины все же применяются для глобальных целей. В качестве примера одного из них можно привести вычисление количества потребляемой гражданами электроэнергии на протяжении одного календарного месяца. На основе полученных данных в дальнейшем устанавливаются максимальные нормы для категорий населения, пользующихся льготами от государства. Также с помощью средних величин разрабатывается гарантийный срок службы тех или иных бытовых приборов, автомобилей, зданий и т. п. На основе собранных таким способом данных когда-то были разработаны современные нормы труда и отдыха. Фактически любое явление современной жизни, носящее массовый характер, тем или иным образом обязательно связано с рассматриваемым понятием. Сферы применения Данное явление широко применяется практически во всех точных науках, особенно носящих экспериментальный характер. Поиск среднего значения величины имеет огромное значение в медицине, инженерных дисциплинах, кулинарии, экономике, политике и т. п. Основываясь на данных, полученных от подобных обобщений, разрабатывают лечебные препараты, учебные программы, устанавливают минимальные прожиточные минимумы и зарплаты, строят учебные графики, производят мебель, одежду и обувь, предметы гигиены и многое другое. В математике данный термин именуется «средним значением» и применяется для осуществления решений различных примеров и задач. Наиболее простыми из них являются сложение и вычитание с обычными дробями. Ведь, как известно, для решения подобных примеров необходимо привести обе дроби к общему знаменателю. Также в царице точных наук часто применяется близкий по смыслу термин «значение среднее случайной величины». Большинству он более знаком как «математическое ожидание», чаще рассматриваемое в теории вероятности. Стоит отметить, что подобное явление также применяется и при произведении статистических вычислений. Средняя величина в статистике Однако чаще всего изучаемое понятие используется в статистике. Как известно, эта наука сама по себе специализируется на вычислении и анализе количественной характеристики массовых общественных явлений. Поэтому средняя величина в статистике используется в качестве специализированного метода достижения ее основных задач – сбора и анализа информации. Суть данного статистического метода заключается в замене индивидуальных уникальных значений рассматриваемого признака определенной уравновешенной средней величиной. В качестве примера можно привести знаменитую шутку о еде. Итак, на неком заводе по вторникам на обед его начальство обычно ест мясную запеканку, а простые рабочие – тушеную капусту. На основе этих данных можно сделать вывод, что в среднем коллектив завода по вторникам обедает голубцами. Хотя данный пример слегка утрирован, однако он иллюстрирует главный недостаток метода поиска средней величины – нивелирование индивидуальных особенностей предметов или личностей. В статистике, данные средних величин применяются не только для анализа собранной информации, но и для планирования и прогнозирования дальнейших действий. Также с его помощью производится оценка достигнутых результатов (например, выполнение плана по выращиванию и сбору урожая пшеницы за весенне-летний сезон). Как правильно рассчитать Хотя в зависимости от вида СВ существуют разные формулы ее вычисления, в общей теории статистики, как правило, применяется всего один способ расчета средней величины признака. Для этого нужно сначала сложить вместе значения всех явлений, а затем разделить получившуюся сумму на их количество. При произведении подобных вычислений стоит помнить, что средняя величина всегда имеет ту же размерность (или единицы измерения), что и отдельная единица совокупности. Условия правильного вычисления Рассмотренная выше формула весьма проста и универсальна, так что ошибиться в ней практически невозможно. Однако всегда стоит учитывать два аспекта, иначе полученные данные не будут отражать реальную ситуацию. Искомые индивидуальные значения (на основе которых вычисляются средние) всегда должны относиться к однородной совокупности, а количество их должно быть значительным. В вышеупомянутой шутке мясная запеканка и капуста – относятся к одной категории – «еда». Однако если бы нужно было узнать, сколько килограмм капусты хранится в столовой завода, учитывать данные о мясе не было бы смысла, так как в данном случае они не относились бы к рассматриваемой однородной совокупности. В любом индивидуальном случае важно брать во внимание качественное содержания признака, среднюю величину которого необходимо рассчитать. При этом важно обращать внимание на взаимосвязь между изучаемыми признаками и имеющиеся для вычислений данные. Классы СВ Найдя ответы на основные вопросы: “Средняя величина – это что такое?”, “Где применяется она?” и “Как можно вычислить ее?”, стоит узнать, какие классы и виды СВ существуют. Прежде всего это явление делится на 2 класса. Это структурные и степенные средние величины. Виды степенных СВ Каждый из вышеперечисленных классов, в свою очередь, делится на виды. У степенного класса их четыре. Средняя арифметическая величина – это наиболее распространенный вид СВ. Она являет собою среднее слагаемое, при определении коего общий объем рассматриваемого признака в совокупности данных поровну распределяется между всеми единицами данной совокупности. Этот вид делится на подвиды: простая и взвешенная арифметическая СВ. Средняя гармоническая величина – это показатель, обратный средней арифметической простой, вычисляемый из обратных значений рассматриваемого признака. Она применяется в тех случаях, когда известны индивидуальные значения признака и произведение, а данные частоты – нет. Средняя геометрическая величина чаще всего применима при анализе темпов роста экономических явлений. Она дает возможность сохранять в неизменном виде произведение индивидуальных значений данной величины, а не сумму. Также бывает простой и взвешенной. Средняя квадратическая величина используется при расчете отдельных показателе показателей, таких как коэффициент вариации, характеризующего ритмичность выпуска продукции и т. п. Также с ее помощью вычисляются средние диаметры труб, колес, средние стороны квадрата и подобных фигур. Как и все остальные виды средних СВ, среднеквадратическая бывает простой и взвешенной. Виды структурных величин Помимо средних СВ, в статистике довольно часто используются структурные виды. Они лучше подходят для расчета относительных характеристик величин варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения. Таких видов существует два. Мода. Данный вид чаще всего используется для определения наиболее популярных у покупателей размеров одежды и обуви. Как правило, мода вычисляется по такой формуле. В ней М0 – является значением моды, х0 – нижней границей интервала модального, h – величиной рассматриваемого интервала, fm – его частотой, fm-1 – частотой предшествующего модальному интервалу и fm+1 – частотой следующего. Медианой именуется значение признака, лежащее в основе ранжированного ряда и делящее его на две части, равные между собою по численному показателю. В формулах, данный вид обозначается, как Ме.В зависимости от того в каком ряду определяется данный вид структурной СВ (дискретный или интервальный вариационный), применяются различные формулы его вычисления. Advertisement Средние величины в статистике: сущность, свойства, виды. Примеры решения задач Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности, ведь значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть и случайные. Приведем примеры экономических показателей, основанных на вычислении средней величины и раскрывающих ее сущность: расчет средней заработной платы работников предприятия осуществляется делением общего фонда заработной платы на число работников; средний размер вклада в банке находят делением суммы вкладов в денежном выражении на количество вкладов; для определения средней дневной выработки одного работника необходимо объем работ (количество деталей), выполненных работником за определенный период разделить на число дней в этом периоде. Виды средних величин, используемых в статистике Рассмотрим основные виды средних величин, используемых при решении социально-эконмических и аналитических задач. Средняя арифметическая простая вычисляется по формуле: Средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным. Пример применения формулы средней арифметической простой представлен в задаче 1. Средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле: При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам. Пример применения формулы средней арифметической взвешенной представлен в задаче 2. Средняя гармоническая простая определяется по формуле: Средние гармонические используются тогда, когда по экономическому содержанию имеется информация для числителя, а для знаменателя ее необходимо предварительно определить. Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле: Данная формула используется для расчета средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов. Пример применения формулы средней гармонической взвешенной представлен в задаче 3. Средняя геометрическая простая (невзвешенная) опеределяется по формуле: Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста. Средняя квадратическая простая (невзвешенная) опеределяется по формуле: Средняя квадратическая лежит в основе вычислений ряда сводных расчетных показателей. Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана. Мода (Мо) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой (Ме) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Пример определения медианы и моды для дискретного ряда чисел представлен в задаче 1. Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины. Для интервального ряда расчет моды осуществляется по формуле: где Хо – нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту); i – величина модального интервала; f Мо – частота модального интервала; f Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному; f Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным. Для интервального ряда расчет медианы осуществляется по формуле: Хо – нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот); i – величина медианного интервала; Sme-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; f Me – частота медианного интервала. Примеры решения задач по теме «Средние |
