Комбинаторика. Статья августинского монаха Грегора Менделя Опыты над растительными гибридами
 Скачать 0.7 Mb.
|
|
Комбинаторика Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Комбинаторика становится наукой в 17 в. – в период, когда возникла теория вероятностей. Чтобы решать теоретико-вероятностные задачи, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям. Термин «комбинаторика» ввел Готфрид Вильгельм Лейбниц, который в 1666 опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве». В этот же период формируется терминология комбинаторики: Термин «сочетание» (combination) впервые встречается у Б. Паскаля (1653). Термины «перестановка» (permutation) и «размещение» (arrangement) употребляет уже Якоб Бернулли. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646- 1716) - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом. Дальнейшее развитие комбинаторики шло одновременно с расширением области ее применения. В биологии наиболее ярким примером этому стала формулировка Менделевских законов наследования. Статья августинского монаха Грегора Менделя «Опыты над растительными гибридами» определила рождение новой науки – генетики. Менделевская идея двоичного кодирования признака объясняется влиянием школы знаменитого физика Христиана Доплера, на кафедре которого Мендель консультировался в течение семи лет. Мендель в неявной форме высказал идею дискретности и бинарности наследственных задатков: каждый признак контролируется материнской и отцовской парой задатков (или генов, как их потом стали называть), которые через родительские половые клетки передаются гибридам и никуда не исчезают. Задатки признаков не влияют друг на друга, но расходятся при образовании половых клеток и затем свободно комбинируются у потомков (законы расщепления и комбинирования признаков). Парность задатков, парность хромосом, двойная спираль ДНК — вот логическое следствие и магистральный путь развития генетики 20 века на основе идей Менделя. _______________________________________________________________________________________ Для дальней шего изложения принципов комбинаторики, необходимо ввести понятие факториала: 1. Факториаломчисла n называется произведение всех натуральных чисел, меньше или равныx n. Факториал обозначается n! n!=1 ⋅2⋅3…(n−1)⋅n 2. Факториал нуля по определению равен 1. 0!=1 Пример: 5!=1•2 •3 •4 •5=120 5!=4! •5 Символ факториала предложил Кристиан Крамп в (1808). Понятие множества: Множество — это набор каких-либо объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества. Например: множество школьников, множество машин, множество чисел Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈ . К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D ). Записывается это так: 2 ∈ D Во многих множествах можно выделить более мелкие группы элементов, объединенные своим общим свойством. Например, во множестве натуральных чисел можно выделить подмножество четных чисел, а также подмножество нечетных чисел, или подмножество чисел не больше 100 и т. п. В терминологии теории множеств говорят, что множество k является подмножеством множества n, если каждый элемент k является в то же время и элементом множества n. : Правило суммы Задача 1. На подносе лежат 5 яблок и 3 груши. Сколькими способами можно выбрать фрукт с подноса? Решение: Яблоко можно выбрать пятью способами. Грушу – тремя. Следовательно, один из этих фруктов можно выбрать 5 + 3 = 8 способами. Задача 2. На полке стоит 10 томов Пушкина, 4 тома Лермонтова и 6 томов Гоголя. Сколькими способами можно выбрать с полки 1 книгу? Решение: 10 + 4 + 6 = 20 способами. Правило произведения В магазине есть 7 видов пиджаков, 5 видов брюк и 4 вида галстука. Сколькими способами можно купить комплект из пиджака, брюк и галстука? Решение: Предположим, что пиджак уже выбран (это можно сделать 7 способами). К пиджаку выбираем брюки 5 способами. Итого пару (пиджак, брюки) можно выбрать 7 х 5 способами. К этой паре можно купить галстук 4 способами. Следовательно, для покупки пиджака, брюк и галстука имеется 7 х 5 х 4 = 140 способов. Введем основные термины и обозначения: Если в этой формуле k = n, то число P n – это число перестановок из n элементов P n = n! (от "permutation"- перестановка). |