Методика статистической обработки. Статистическая обработка и интерпретация результатов экспериментальных исследований Определение оценок математического ожидания, дисперсии и коэффициента вариации

• Название: Статистическая обработка и интерпретация результатов экспериментальных исследований Определение оценок математического ожидания, дисперсии и коэффициента вариации
• Дата: 23.01.2019
• Размер: 155 Kb.
• Имя файла: Методика статистической обработки.doc
• Тип: Документы; #64980

Статистическая обработка и интерпретация

результатов экспериментальных исследований
Определение оценок математического ожидания, дисперсии и коэффициента вариации
В результате эксперимента получают совокупность измеренных параметров, называемую простым статистическим рядом (табл. 1).
Статистический ряд

Таблица 1

Замеренные параметры, полученные в порядке испытаний

.

Если число наблюдений n< 10, то полученный статистический ряд используют для дальнейших расчетов (выборочного среднего значения, среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации исследуемой величины), применяя известные из математической статистики зависимости:

	;	(1)
	;	(2)
	,	(3)

где ― объем наблюдений;

― среднее значение исследуемой величины;

― среднеквадратическое отклонение;

― коэффициент вариации.

При n>10 исходный ряд преобразуется в вариационный, располагая элементы в порядке возрастания для проверки однородности ряда.

Пример. Определить выборочные оценки математического ожидания, среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации прочности цементобетона на растяжение при изгибе по данным испытаний контрольных образцов.

Решение. 1. Исходный статистический ряд преобразуем в вариационный, располагая результаты в порядке возрастания.
Статистический ряд результатов испытаний

5,50	5,34	6,57	5,08	5,17	5,44	5,10	5,95	5,40	4,71
5,29	3,65	4,91	5,32	5,63	4,26	5,33	4,49	5,38	5,58
6,19	5,10	4,85	5,65	5,75

Вариационный ряд результатов испытаний

3,65	4,26	4,49	4,71	4,85	4,91	5,08	5,1	5,1	5,17
5,29	5,32	5,33	5,34	5,38	5,4	5,44	5,5	5,58	5,63
5,65	5,75	5,95	6,19	6,57

2. Вычисляем математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации прочности цементобетона на растяжение при изгибе:

;

;

.

Проверка однородности результатов экспериментальных исследований
Проверка однородности результатов экспериментальных исследований проводится с целью исключения из анализа ошибочных опытных данных, появление которых связано с погрешностями в процессе выполнения эксперимента при определении действующих усилий, замере исследуемых величин, например прогибов и относительных деформаций на поверхности аэродромных покрытий, а также с влиянием температуры и других неучтенных факторов.

Для проверки однородности результатов испытаний может быть использован критерий Груббса. Исходной (нулевой) гипотезой критерия является предположение о том, что максимальное значение вариационного ряда принадлежит той же генеральной совокупности, что и все остальные результаты испытаний. В зависимости от того, какой из крайних членов вариационного ряда является более сомнительным, вычисляют v-критерий

	;	(4)
	,	(5)

где ― критерии Груббса.

Нулевая гипотеза принимается, если выполняется условие

(6)

где ― критическое значение - критерия для принятого уровня значимости и объема испытаний (табл.2).


Критические значения

Таблица 2

n			n
	= 0,10	= 0,05		= 0,10	= 0,05
3	1,406	1,412	15	2,326	2,493
4	1,645	1,689	16	2,354	2,523
5	1,791	1,869	17	2,380	2,551
6	1,894	1,996	18	2,404	2,577
7	1,974	2,093	19	2,426	2,600
8	2,041	2,172	20	2,447	2,623
9	2,097	2,237	21	2,467	2,644
10	2,146	2,294	22	2,486	2,664
11	2,190	2,343	23	2,504	2,683
12	2,229	2,387	24	2,520	2,701
13	2,264	2,426	25	2,537	2,717
14	2,287	2,461

Проверку однородности результатов наблюдений при большом объеме выборки выполняют с помощью критерия Ирвина:

	;	(7)
	,

где- критерии Ирвина.

Вычисленные по формуле (7) параметры сопоставляют с критическими значениями (табл.3).
Критические значения

Таблица 3

	10	20	30	50	100	400	1000
0,05	1,5	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8
0,01	2,0	1,8	1,7	1,6	1,5	1,3	1,2

Если по результатам расчета выполняется условие

,

(8)

то гипотеза об однородности результатов наблюдений подтверждается, и наоборот.

Пример. Проверить однородность результатов испытаний контрольных образцов цементобетона на растяжение при изгибе, вариационный ряд которых приведен выше, при уровне значимости .

Решение. Для проверки однородности результатов испытаний применяем критерий Ирвина. По формуле (7) находим

;

.

По табл.3 определяем критическое значение критерия Ирвина. Проверяем выполнение условия (8):

	;

Поскольку неравенство (8) выполнено, то исходная гипотеза подтверждается и необходимость перерасчета вычисленных выше статистических параметров , S_xи V_xотпадает.
Определение доверительных интервалов
Доверительные интервалы для статистических параметров нормально распределенной генеральной совокупности устанавливают с использованием зависимостей:

;

(9)

для среднеквадратического отклонения

;

(10)

для коэффициента вариации

(11)

где - квантиль нормированного нормального распределения, взятый при уровне значимости (см. табл.4).
Квантили нормированного нормального распределения

Таблица 4

	0,010	0,025	0,050	0,100
	2,3263	1,9600	1,6449	1,2816