Задачи студентам 2 курса МСФ. Студентам 2 курса мсф. Задачи для подготовки к экзамену по теоретической механике. Применение теоремы о движении центра масс

• Название: Студентам 2 курса мсф. Задачи для подготовки к экзамену по теоретической механике. Применение теоремы о движении центра масс
• Анкор: Задачи студентам 2 курса МСФ.doc
• Дата: 08.05.2017
• Размер: 475 Kb.
• Имя файла: Задачи студентам 2 курса МСФ.doc
• Тип: Документы; #7284

Студентам 2 курса МСФ.

Задачи для подготовки к экзамену по теоретической механике.
Применение теоремы о движении центра масс.

1.




Однородный прямолинейный стержень OA вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец О, в соответствии с уравнением φ=πt²/2. Установить направление главного вектора внешних сил, действующих на стержень при t=0.

2.

Механическая система состоит из тела А массы m₁, которое может перемещаться поступательно по гладкой горизонтальной плоскости, и шарнирно прикрепленного к нему невесомого стержня длины l с точечным грузом B массы m₂. В начальный момент времени система находилась в покое, а стержень OB занимал положение I. Найти перемещение тела А при повороте стержня OBв положение II.

3.

Однородный стержень АВ длины 2l опирается концом А на гладкую горизонтальную плоскость. В начальный момент угол наклона стержня к плоскости равен 60⁰. Затем стержню предоставляют возможность из состояния покоя свободно опускаться на плоскость. Найти смещение А₀А опорного конца стержня к моменту, когда угол наклона стержня к плоскости станет равным 30⁰.
4.



По проволочной направляющей вдоль диагонали вертикальной квадратной рамы массы m, стоявшей неподвижно на гладкой горизонтальной плоскости, отпущен из состояния покоя точечный груз А такой же массы. Найти реакцию упора В, препятствующего смещению рамы на опорной плоскости.
5.

На покоящейся непривязанной шлюпке массой m находятся два человека, массы которых равны m₁ и m₂. Что произойдет со шлюпкой, если первый человек переместится по направлению к корме на расстояние l₁, а второй – к носу на расстояние l₂?
6.

Однородный стержень ОА массой m = 10 кг вращается равномерно с угловой скоростью ω = 10 с^-1. Определить модуль главного вектора внешних сил, действующих на стержень, если его длина ОА = 1 м.

7.

Тело 1 массой 4 кг может двигаться по горизонтальной направляющей. На какое расстояние переместится тело 1, когда однородный стержень 2 массой 2 кг и длиной l = 0,6 м, опускаясь под действием силы тяжести, займет вертикальное положение. В начальный момент времени система находилась в покое.


Применение теоремы об изменении количества движения.

1.

Материальная точка массы m равномерно движется по окружности со скоростью v. Найти импульс S равнодействующей сил, приложенных к точке, за время прохождения четверти окружности.
2.

В данный момент времени скорость ползуна А линейки АВ эллипсографа равна v= 1м/с, а линейка составляет с осью Ox угол 30⁰. Масса линейки равна 2 кг, длина – 1 м. Пренебрегая массой ползунов и считая линейку тонким однородным стержнем, определить модуль количества движения линейки.

3.




Механическая система из 3-х материальных точек одинаковой массы m, размещенных в вершинах равностороннего треугольника, движется в плоскости рисунка. В изображенном положении скорости точек А и D перпендикулярны линии AD; v_A= v_D= v. Определить модуль и направление вектора количества движения системы в данном ее положении.

4.




Два вагона масс m₁ = 20 т и m₂ = 30 т, двигаясь навстречу друг другу по прямолинейному участку пути со скоростями v₁ = 3 м/с и v₂ = 2,5 м/с соответственно, сцепляются после соударения. Пренебрегая сопротивлениями движению, определить модуль и направление скорости сцепа.
5.

Снаряд противотанковой пушки, имеющий массу 6 кг, ударившись о лобовую броню танка, масса которого равна 30 т, под углом к ней 30⁰, рикошетирует. Найти изменение скорости танка, если скорость снаряда равна 500 м/с.


6.




Трубка вращается с угловой скоростью ω = 10 с^-1. Относительно трубки движется шарик М массой m =0,2 кг со скоростью м/с. Определить модуль количества движения шарика в момент времени, когда расстояние ОМ = 0,4 м.

7.



Тело 1 массой 2 кг под действием пружины движется относительно тела 2 массой 8 кг по закону . Тело 2 может скользить по горизонтальным направляющим. Определить скорость тела 2 в момент времени t = 2 c, если оно начинает двигаться из состояния покоя.
8.

Материальная точка М массой m = 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью v = 4 м/c. Определить модуль импульса равнодействующей всех сил, действующих на эту точку за время ее движения из положения 1 в положение 2.


Применение теоремы об изменении кинетического момента.

1.

Цилиндрический вал массы m = 10 кг и радиуса r = 10 см вращается с частотой n = 600 об/мин относительно продольной центральной оси. С какой силой Q надо прижать тормозную колодку к валу, чтобы остановить его за t = 10 с, если коэффициент трения скольжения колодки о вал равен f = 0,4, а радиус инерции ρ= 0,3 м. Трением на опорах вала пренебречь.

2.




Груз массы m₁ подвешен на нити, обмотанной вокруг цилиндрического барабана массы m₂ и радиуса r. Пренебрегая трением и массой нити, определить угловое ускорение ε барабана.
3.




Груз М массой m₁ поднимается при помощи ворота. Масса барабана ворота равна m₂, радиус барабана R, длина рукоятки OA=l. Считая силу , приложенную перпендикулярно рукоятки барабана, постоянной по величине, определить ускорение груза М. Барабан считать однородным сплошным цилиндром. Массой рукоятки пренебречь.

4.



Однородный горизонтальный диск радиуса r и массой m₁ может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси AB. По ободу диска движется материальная точка М массой m₂ по закону . Определить угловое ускорение диска, если в начальный момент диск был неподвижен.

5.

Однородный горизонтальный диск радиусом r и массой m₁ вращается вокруг неподвижной вертикальной оси AB, проходящей через его центр О, с угловой скоростью ω₀. В некоторый момент от центра диска по его радиусу начинает двигаться материальная точка М массой m₂ с постоянной скоростью . Определить угловую скорость ω₁ диска в тот момент, когда точка дойдет до конца диска. Трением пренебречь.

6.


Система состоит из однородного горизонтального стержня длины 2l и массы m, а также двух точечных масс m, закрепленных на его концах. Система начинает вращаться из состояния покоя вокруг неподвижной вертикальной оси Оz под действием постоянного вращающего момента M_z. Определить зависимость угловой скорости от времени t.


7.



Трубка вращается вокруг вертикальной оси Oz, ее момент инерции I_z = 0,075 кг∙м². По трубке под действием внутренних сил системы движется шарик М массой m = 0,1 кг. Когда шарик находится на оси Oz, угловая скорость ω₀ = 4 с^-1. При каком расстоянии l угловая скорость равна 3 с^-1?


8.



По стержню АВ движется ползун С согласно закону

АС = 0,2+1,2 t. Ползун считать материальной точкой массы m = 1 кг. Момент инерции вала ОА со стержнем I_z = 2,5 кг∙м².

Определить угловую скорость вала в момент времени t = 1 с, если начальная угловая скорость ω = 10 с^-1.
Применение теоремы об изменении кинетической энергии.

1.

Однородный стержень длиной l и массой m, который может вращаться вокруг горизонтальной оси А, отклонен от устойчивого положения равновесия на 90⁰ и отпущен без начальной скорости. Найти угловую скорость стержня в момент, когда он будет занимать вертикальное положение. Сопротивлением воздуха и трением пренебречь.
2. Однородный цилиндр, получив начальную скорость центра, равнуюv₀, катится без скольжения вверх по наклонной плоскости. Пренебрегая трением качения и сопротивлением воздуха, определить, на какую высоту поднимется центр цилиндра.
3.

Колесо І массой m₁ может катиться без скольжения в вертикальной плоскости внутри неподвижной шестерни ІІ и приводится в движение кривошипом АВ, длиной l и массой m. В начальный момент кривошип составлял угол α = 60⁰ с вертикалью и был отпущен без начальной скорости. Определить его угловую скорость в момент прохождения через равновесное положение. Кривошип считать однородным стержнем, колесо І – однородным диском. Трением пренебречь.

4. 
   Точка приложения силы (Н) движется согласно уравнениям
   

(x, y, z – в метрах; t – в секундах). Найти работу этой силы за время с.

с начала движения точки.

5.




В планетарном механизме кривошип ОА вращается с угловой скоростью ω₀. Радиусы колес . Определить кинетическую энергию колеса 3, если его масса равна


6.

Механическая система состоит из двух одинаковых колес массы m каждое и прямолинейного однородного стержня, соединяющего оси этих колес. Пренебрегая проскальзыванием колес по горизонтальной опорной плоскости и считая их однородными сплошными дисками, найти кинетическую энергию всей системы, если масса соединительного стержня равна 3m, а скорость центра одного из колес равна v.
7.

Определить кинетическую энергию механизма, состоящего из кривошипа ОА массы 3m и длины l, шатуна АВ массы m и шарнирно связанного с ним колеса массы m, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью ω и в рассматриваемый момент времени вертикален. Кривошип и шатун считать однородными тонкими стержнями; масса колеса равномерно распределена по его ободу.
8.




Найти кинетическую энергию эллипсографа, если ОА=АВ=АС=

=l, угловая скорость кривошипа ОА равна ω, масса звеньев составляет Кривошип ОА и линейку ВС считать тонкими однородными стержнями. Угол φ принять равным 45⁰.

9.




Однородное тонкое кольцо массы m и радиуса R катится без скольжения по горизонтальной плоскости, при этом центр С кольца имеет постоянную скорость . C кольцом с помощью шарнира В связан стержень АВ такой же массы m и длины l>2R. Конец А стержня перемещается по той же плоскости, что и кольцо. Определить кинетическую энергию механической системы, в положении, показанном на рисунке, когда шарнир В совпадает с наивысшей точкой кольца.
10.




Однородный круглый диск веса P и радиуса R может вращаться вокруг горизонтальной оси О в вертикальной плоскости. В начальный момент радиус ОС горизонтален и диск отпущен без начальной скорости. Пренебрегая трением, определить угловую скорость ω диска в момент, когда диск повернется на угол 30⁰.
11.


Однородный прямолинейный стержень ОА длины l, закрепленный в вертикальной плоскости с помощью шарнира О и нити АВ, составляет угол α= 30⁰ с горизонтом. Пренебрегая сопротивлениями, найти наибольшую угловую скорость стержня при обрыве нити АВ.


12.

Однородное тонкое кольцо веса P и радиуса R может вращаться вокруг горизонтальной оси О в вертикальной плоскости. В начальный момент времени линия ОС () горизонтальна и кольцо отпущен без начальной скорости. Пренебрегая трением, определить угловую скорость ω кольца в момент, когда оно повернется на угол 90⁰.
13.




Однородное тонкое кольцо радиуса R скатывается без скольжения по наклонной плоскости из состояния покоя. Центр кольца, пройдя расстояние , приобрел скорость v. Определить коэффициент трения качения f_k кольца о плоскость, если угол наклона плоскости к горизонту равен α.

14.

Ременная передача начинает движение из состояния покоя под действием постоянного момента пары сил М = 2,5 Нм. Моменты инерции шкивов относительно их осей вращения I₂ = 2I₁ = 1 кг м². Определить угловую скорость шкива 1 после трех оборотов, если радиусы шкивов R₂ = 2R₁ .
15.

Движение шкива 2 ременной передачи начинается из состояния покоя под действием постоянного момента М = 0,5 Нм.

После трех оборотов одинаковые по массе и размерам шкивы 1 и 2 имеют угловую скорость 2 с^-1. Определить момент инерции одного шкива относительно оси вращения.
Применение принципа Даламбера.

1.
Тонкий однородный стержень AB(AO=l₁, OB=l₂) массой m=1 кг вращается с постоянной угловой скоростью ω =5 с^-1 вокруг оси, перпендикулярной стержню. Определить модуль главного вектора сил инерции стержня, если размеры l₁ = 0,2 м, l₂ = 0,4 м.
2.




Определить главный момент сил инерции однородного диска радиуса r = 0,2 м массой m= 2 кг относительно оси вращения О, смещенной на расстояние e= 0,1 м от центра масс С. Диск вращается равноускоренно с угловым ускорением ε = 10 с^-2.

3.



Строительную деталь массой m= 600 кг поднимают с ускорением w =1,5 м/c². Определить силу натяжения наклонных ветвей подъемных канатов.

4.

Два одинаковых тела с массой 1 кг каждый соединены между собой нитью и движутся по горизонтальной плоскости под действием силы F=40 Н. Коэффициент трения скольжения тел по плоскости f= 0,1. Определить натяжение нити.


5.

Два тела с одинаковыми массами m₁ = m₂ = 1 кг соединены стержнем и движутся по горизонтальной направляющей под действием сил F₁ = 3 кН и F₂ = 12 кН. Коэффициент трения скольжения тел по плоскости f= 0,2. Определить усилие в стержне.
6.

Однородный стержень длиной l = 0,6 м начинает вращаться в горизонтальной плоскости из состояния покоя под действием пары сил с моментом М = 40 Нм. Определить модуль силы реакции шарнира в начальный момент движения.
7.

Три одинаковых груза массы mкаждый связаны нерастяжимыми гибкими нитями по схеме, приведенной на рисунке. Пренебрегая трением, а также массой блока и нитей, определить усилие в нити, соединяющей первый и второй грузы.


8.

Груз М₁массой m₁ находится на шероховатой горизонтальной плоскости. К нему прикреплена нерастяжимая нить, перекинутая через идеальный блок А, на другом конце которой прикреплен груз М₂массой m₂. Пренебрегая массой блока и нити, определить коэффициент трения f груза М₁ о плоскость, если грузы движутся с ускорением, равным по величинеw.
Применение принципа возможный перемещений.

1.

На клин 3 действует сила F = 100 Н. Определить с какой силой толкатель 2 прижимает деталь 1 к опорной плоскости в положении равновесия, если угол α =11⁰.

2.
К шатуну АВ шарнирного параллелограмма ОАВС приложена горизонтальная сила F= 50 Н. Определить модуль момента М пары сил, которую необходимо приложить к кривошипу ОА длиной 10 см, для того, чтобы уравновесить механизм.
3.



Определить модуль силы F₁, которую необходимо приложить к кривошипу АВ, для того, чтобы механизм находился в равновесии, если сила F₂ = 100 Н и расстояние ОА = 2 ОВ.
4.

Определить модуль момента М пары сил, который необходимо приложить к шкиву 3 для равномерного подъема груза 1 весом 900 Н. Радиусы шкивов см.

5.




К коромыслу О₁А четырехзвенного механизма приложен вращающий момент М₁. Определить момент М₂, передаваемый на коромысло О₂В, в положении механизма, изображенном на рисунке, если О₁А = 6 см, О₁О₂ = см, О₂В = см,

Применение общего уравнения динамики.
1.



Пара сил с постоянным моментом М =0,8 Нм приводит в движение механизм, расположенный в горизонтальной плоскости. Кривошипы 1 и 2 – однородные стержни длиной l = 0,2 м и массой m₁ =m₂ = 1 кг, масса m₃ = 2 кг. Определить угловое ускорение кривошипа 1.

2.



Тела 1 и 2 – однородные диски, массы и радиусы которых одинаковы. Определить ускорение тела 3, если его масса m₃ = m₁ = m₂.


3.



Определить ускорение центра С оси катка 1, если тела 1 и 2 – однородные сплошные цилиндры с одинаковыми массами и радиусами.


4.




Определить угловое ускорение барабана 1 , если к нему приложена пара сил с постоянным моментом М = 0,2 Нм, массы тел m₁ = m₂ = 1 кг, моменты инерции относительно центральных осей I₁ = I₂ = 0,02 кг м², радиусы r₁= r₂= 0,2 м.

5.

Система состоит из подвижного и неподвижного блоков одинаковой массы m и радиуса r и связывающего эти блоки нерастяжимого невесомого каната. Пренебрегая трением, определить, какой вращающий момент М_вр необходимо приложить к неподвижному блоку, чтобы обеспечить подъем подвижного блока с заданным ускорением w. Блоки считать однородными круглыми дисками.


6.

На трех сплошных однородных валах, к каждому из которых приложен вращающий момент М, находится балка массой m₂. Определить ускорение балки, если масса каждого вала равна m₁, а радиус равен r, считая, что между валами и балкой скольжение отсутствует. Трением в осях пренебречь.


7.

Два сплошных однородных вала 1 и 2 массамиm₁ иm₂ вращаются без трения около параллельных осей при помощи бесконечного ремня так, что скольжение отсутствует. К первому валу приложен вращающий момент М, а на второй вал наматывается трос, к концу которого привязан груз массойm₃. Определить ускорение груза. Радиус вала 1 равен r.


8.




Момент инерции жестко скрепленных между собой шкивов, насаженных на общую ось, равен I =0,3 кг м², а их радиусы r₁ = 0,2 м; r₂ = 0,1 м. Груз массы m₁ = 1 кг падает отвесно и сообщает вращение шкивам; при этом второй груз такой же массы скользит по шероховатой горизонтальной плоскости. Определить коэффициент трения скольжения f этого груза по плоскости, если ускорение падающего груза w₁ = 0,1 g.


Применение уравнений Лагранжа второго рода.

1.

Физический маятник состоит из однородного прямолинейного стержня ОА длины L и закрепленного на свободном конце точечного груза А. Пренебрегая сопротивлениями, определить обобщенную силу Q_φ, соответствующую углу φ отклонения маятника от положения его устойчивого равновесия, если веса стержня и груза одинаковы и равны Р.

2.

Колесо веса Р радиуса r катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания под действием горизонтальной силы , приложенной к центру С этого колеса. Выбирая в качестве обобщенной координаты угол поворота φ колеса, определить обобщенную силуQ_φ, если коэффициент трения качения равен δ.

3.




Эпициклический механизм состоит из неподвижного зубчатого колеса 1, кривошипа ОА массы 3m и длины l и подвижного колеса 2 массы m. Выбирая в качестве обобщенной координаты угол поворота φ кривошипа ОА, определить коэффициент инерции механизма. Колесо 2 считать однородным сплошным диском.

4.
Тележка скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α. Масса тележки без колес равна М, масса всех колес - m. Считая колеса однородными сплошными дисками, определить ускорение тележки. Трением качения, а также трением в осях пренебречь. Для решения использовать уравнения Лагранжа второго рода.
5.




Однородный стержень длиной l = 3 м и массой m = 30 кг вращается в вертикальной плоскости. Определить обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате φ, в момент времени, когда угол φ = 45°.


6.




К цилиндру радиуса R, который вращается под действием пары сил с моментом М = 20 Нм, прижимается тормозная колодка силой F = 100 Н. Определить обобщенную силу, соответствующую углу φ поворота тела. Коэффициент трения скольжения колодки о цилиндр f = 0,1.

7.




Тело 1 массой m = 30 кг и цилиндр 2 радиуса R = 0,25 м соединены нерастяжимым тросом. Определить обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате x, если коэффициент трения скольжения между телом 1 и поверхностью f = 0,2, а к цилиндру приложена пара сил с моментом М = 25 Нм.
8.




Груз массой m = 6 кг подвешен на пружине, при деформации которой возникает восстанавливающая сила F = -300 y. Определить координату y, при которой обобщенная сила Q_y равна нулю. Точка А является концом пружины в недеформированном состоянии.

9.




Определить угловое ускорение катка 2, катящегося без скольжения, если на блок 1 действует пара сил с моментом М = 0,6 Нм. Каток 2 считать однородным цилиндром массы m = 4 кг. Радиусы тел 1 и 2 равны r = 0,5 м.

Материальная точка М массой m = 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью v = 4 м/c. Определить модуль импульса равнодействующей всех сил, действующих на эту точку за время ее движения из положения 1 в положение 2.