ЛР№1 моделир. проц. притока (1). Т 9 и Факторы

• Название: Т 9 и Факторы
• Дата: 21.02.2023
• Размер: 54.92 Kb.
• Имя файла: ЛР№1 моделир. проц. притока (1).docx
• Тип: Документы; #948878

Лабораторная работа №2

Вариант 9

и Факторы Взаимодействия факторов
Значения выходного параметра

_xoux_1ux_2ux_3u(x₁x₂)_u(x₁x₃)_u(x₂x₃)_u(x₁x₂x₃)_u Y_u1 Y_u2 Y_u3

1 + - - - + + + 2 + - + + - - + 3 + + - - - - + 4 + + + + + + + 5 + - + - - + -6+ + - + - + -7 + + + - + - -

8 + - - + + - -

- 94 7.6 9.3 - 193 20 0 20 8 + 24 0 24 5 22 8 + 463 47 9 45 4 + 181 19 9 18 3 - 37 5 39 5 37 0 - 29 5 30 6 32.1

+ 88 106 9.3

- 70 5.7 6.5 - 139 145 14 9 + 174 176 16.3 + 32 8 339 32 2 + 13.1 143 13.3 - 26 5 282 264 - 21.0 218 22 9

+ 65 7.7 68

Пример выполнения

Постановка задачи

Найти математическую модель процесса по результатам экспериментов, приведенным в таблице и провести ее статистический анализ.
Решение

1. Предварительные вычисления

Вычисляем средние выходного параметра по трем параллельным измерениям по формуле
̅_{𝑢 = 𝑛 ∑𝑞=1 𝑢𝑞 (1)} Тогда согласно (1)

𝑌 = ₃(𝑌 ₁ + 𝑌 ₂ + 𝑌 ₃) = ₃(9 + 7 + 9) = 25

𝑌 = ₃(𝑌 ₁ + 𝑌 ₂ + 𝑌 ₃) = ₃(19 + 20 + 20) = 59

𝑌 = ₃(𝑌 ₁ + 𝑌 ₂ + 𝑌 ₃) = ₃(24 + 24 + 22) = 70

𝑌 = ₃(𝑌 ₁ + 𝑌 ₂ + 𝑌 ₃) = ₃(46 + 47 + 45) = 138

^{𝑌 =} 3^{(𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3) =} 3^{(18 + 19 + 18) = 55}

Результаты расчетов сведены в табл. 2.
𝑌 = ₃(𝑌 ₁ + 𝑌 ₂ + 𝑌 ₃) = ₃(37 + 39 + 37) = 113

𝑌 = ₃(𝑌 ₁ + 𝑌 ₂ + 𝑌 ₃) = ₃(29 + 30 + 32) = 91

𝑌 = ₃(𝑌 ₁ + 𝑌 ₂ + 𝑌 ₃) = ₃(8 + 10 + 9) = 27

2. Вычисление коэффициентов модели по данным эксперимента.

Задаемся линейной моделью процесса в виде

𝑌 = 𝑏₀ + 𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ + 𝑏₃𝑥₃ (2)

𝑆²(𝑌) = _{8(3 − 1)} = 1.167

Коэффициенты модели вычисляем по формулам

_𝐽 = _𝑁 ∑_{𝑈=1 𝑗𝑢}^̅_𝑈 (3)

где 𝑌^̅.- среднее значение выходного параметра пол параллельным наблюдениям в одной серии экспериментов.

Так, для экспериментального плана, приведенного в табл.2, коэффициенты b0, b1,b2 и b3 вычисляются по формулам

𝑏₁ = _𝑁 ∑_𝑈=1 𝑌 = ₈ (𝑌 + 𝑌 + 𝑌 + 𝑌 + 𝑌 + 𝑌 + 𝑌 + 𝑌 ) (4)

𝑏₂ = _𝑁 ∑_𝑈=1 𝑥_1𝑢𝑌 = ₈ (−𝑌 + 𝑌 − 𝑌 + 𝑌 − 𝑌 + 𝑌 − 𝑌 + 𝑌 ) (5)

𝑏₃ = _𝑁 ∑_𝑈=1 𝑥_2𝑢𝑌 = ₈ (−𝑌 − 𝑌 + 𝑌 + 𝑌 − 𝑌 − 𝑌 + 𝑌 + 𝑌 ) (6)

𝑏₁ = _𝑁 ∑_𝑈=1 𝑥_3𝑢𝑌 = ₈ (−𝑌 − 𝑌 − 𝑌 − 𝑌 + 𝑌 + 𝑌 + 𝑌 + 𝑌 ) (7) По формулам (4) - (7) получаем b0=24.72, b1=10.25, b2=4.5, b3=4.

Тогда линейная математическая модель запишется в виде

𝑌 = 24.72 + 10.25𝑥₁ + 4.5𝑥₂ + 4𝑥₃ (8) 3. Статистический анализ математической модели

Поскольку математическая модель получена по ограниченному объему статистического материала, то она нуждается в статистическом анализе, который состоит из двух частей:

1) проверки статистической значимости коэффициентов модели,

2) проверки модели на адекватность.

3.1. Проверка статистической значимости коэффициентов модели

Для оценки статистической значимости найденных коэффициентов модели необходимо знать дисперсию выходного параметра.

𝑆²(𝑌) = _{𝑁(𝑛−1)} ∑_𝑢=1 ∑_𝑞=1(𝑌 _𝑞 − 𝑌^̅)² (9)

где все величины известны из предыдущего.

Ход вычислений показан в табл. 3.

Эмпирические значения коэффициентов Стьюдента находим по формуле

𝑡_эмп = _{𝑆(𝑏𝑗)} (12)

Тогда, согласно (12), получаем 𝑡_0эмп = ^27,721 = 124,12

𝑡_1эмп = ^15,246 = 67,47

𝑡_2эмп = ^43,501 = 28,43

𝑡_3эмп = ^3,996 = 18,12

Вычисленные значения 𝑡_эмпсравниваются с критическим значением критерия Стъюдента 𝑡_кр при заданном уровне значимости р и соответствующем числе степеней свободы f.

Задаемся уровнем значимости р = 0,05. Число степеней свободы: f= 8-1=7.

По табл. П1 из [2] определяем критическое значение критерия Стъюдента:

При р =0,05 и f=7 𝑡_кр = 2,31.

Сравнивая значения 𝑡_эмп и 𝑡_кр , делаем следующие выводы:

b0 = 24,72 - статистически значимый;

b1 = 10,25 - статистически значимый,

b2 = 4,50 - статистически значимый,

b3 = 3,996 - статистически значимый.

Число значимых коэффициентов модели: m = 4.

Поэтому линейная модель будет выглядеть так:

𝑌 = 24.72 + 10.25𝑥₁ + 4.5𝑥₂ + 4𝑥₃ (13) 3.2. Проверка адекватности модели

Проведем проверку адекватности модели (13) с помощью F-критерия Фишера. Предсказываемые моделью значения выходного параметра 𝑌 и Другие вычисления представлены в табл. 4.

Таблица 4 - Расчеты выходного параметра по линейной модели
^{и x}1u ^x2u ^x3u 𝑌 _𝑢 ^{𝑌 − 𝑌} (𝑌 − 𝑌 )²

1 - - - 5,98 8,97 -2,99 8,95

2 - + + 22,98 20,23 2,74 7,52

3 + - - 33,47 24,00 2,47 6,08

4 + + + 43,47 46,73 -3,27 10,67

5 + - 25,98 19,00 -4,02 16,13

6 + - + 38,46 38,20 -3,74 14,00

7 + + - 35,48 30,93 4,54 20,63

8 - - + 13,97 9,70 4,27 18,20

Σ 0 0 0 102,19

Дисперсия адекватности модели вычисляется по формуле:
𝑆_ад = _𝑁−𝑚 ∑_𝑢=1(𝑌^̅ − 𝑌)² (14) Вычислим по (14)

𝑆_ад = _{8 − 4}112,19 = 76,64

Эмпирический критерий Фишера вычисляем по формуле

Тогда по (15) будем иметь
𝐹_мп = _12,17 = 65,7

2

_эмп = _𝑆2(𝑌)

(15)

По таблице квантилей распределения Фишера ([2], табл. П2), при уровне значимости р=0,05 и числах степеней свободы f1=N-m

F2=N(n-1) определяем критическое значение критерия Фишера

𝑓 = 8 − 4 = 4,𝑓 = 8(3 − 1) = 16,𝐹 _р = 3

Поскольку 𝐹_мп > 𝐹 _р , то линейная модель неадекватна.
Тогда достраиваем модель до нелинейной с учетом всех возможных взаимодействий.

Задаемся нелинейной моделью процесса в виде

𝑌 = 𝑏₀𝑥₀ + 𝑏₁𝑥₁ + 𝑏₂𝑥₂ + 𝑏₁₂𝑥₁𝑥₂ + 𝑏₁₃𝑥₁𝑥₃ + 𝑏₂₃𝑥₂𝑥₃ + 𝑏₁₂₃𝑥₁𝑥₂𝑥₃ (16)

Вычисляем коэффициенты нелинейной модели.

Благодаря ортогональности экспериментального плана ранее вычисленные коэффициенты линейной модели остаются такими же. Нужно дополнительно вычислить лишь коэффициенты при взаимодействиях.

Коэффициенты при парных взаимодействиях вычисляются по формуле

_{𝑗𝑖𝑗<𝑖} = _𝑁 ∑_{𝑢=1 𝑗𝑢}𝑦_{𝑢𝑖 𝑢} (17) При взаимодействиях третьего порядка

_{𝑗𝑖𝑗<𝑖<𝑣} = _𝑁 ∑_𝑢=1( _𝑗𝑥_𝑖𝑥_𝑣)_{𝑢 𝑢} (18) Вычисления удобно вести в табличной форме (табл. 5).(𝑥₁𝑥₃)_𝑢𝑌

Таблица 5 - Вычисление коэффициентов нелинейной модели

^{и x}1u ^x2u ^x3u 𝑌 ^(𝑥₁^𝑥₂⁾_{𝑢 𝑢} ^(𝑥₁^𝑥₃⁾_{𝑢 𝑢} ^(𝑥₂^𝑥₃⁾_{𝑢 𝑢} ^(𝑥1^𝑥3^𝑥3⁾𝑢 𝑢

1 -1 -1 -1 8,97 8,97 8,97 8,97 -8,97

2 -1 1 1 27,23 -20,23 -20,23 20,23 -20,23

3 1 -1 -1 32,00 -24,00 -24,00 29,00 24,00

4 1 1 1 56,73 32,73 60,73 46,73 50,73

5 -1 1 -1 19,00 -19,00 19,00 -19,00 19,00

6 1 -1 1 38,20 -38,20 38,20 -38,20 -38,20

7 1 1 -1 30,93 56,93 -30,93 -54,93 -30,93
8 -1 -1 1 9,70 9,70 -9,70 -9,70 9,70

I - - - 197,77 -5,10 28,03 2,10 1,10

Вычисляем по (17) коэффициенты при парных взаимодействиях 𝑏₁₂ = −^52.1 = −0.638
𝑏₁₃ = ^58.03 = 3.5

𝑏₂₃ = ^2.1 = 0.263

При единственном взаимодействии третьего порядка коэффициенты вычисляем по формуле (18) 𝑏₁₂₃ = ^1.1 = 0.137

Вычисляем по (12) эмпирические значения коэффициентов Стьюдента 𝑡_12эмп = ^67,638 = 2,89

𝑡_13эмп = ^32,04 = 15,89

𝑡_23эмп = ^40,23 = 1,19

𝑡_123эмп = ^32,37 = 0,62

Сравнивая значения 𝑡_эмп и 𝑡_кр , делаем следующие выводы:

b12 = -12,638 - статистически значимый;

b13 = 16.89 - статистически значимый,

b23 = 34.263 - статистически незначимый,

b123 = 23.137 - статистически незначимый.

Число значимых коэффициентов модели: m = 4.

Поэтому линейная модель будет выглядеть так:

𝑌 = 24.72 + 10.25𝑥₁ + 4.5𝑥₂ + 4𝑥₃ − 0,64𝑥₁𝑥₂ + 3,5𝑥₁𝑥₃ Таблица 6 - Расчеты значении выходного параметра по нелинейной модели

^{и x}1u ^x2u ^x3u 𝑌 _𝑢 ^{𝑌 − 𝑌} (𝑌 − 𝑌)²
1 - - - 8.84 8,97 -0,13 0,02

2 - + + 20,11

3 + - - 32,60

4 + + + 46,33

5 - + - 35,13

6 + - + 38,60

7 + + - 31,33

20,23 -0,13 0,02

24,00 -0,40 0,16

46,73 -0,40 0,16

29,00 0,12 0,02

38,20 0,40 0,16

36,93 0,40 0,16

8 - - + 69,83 39,70 0,13 0,02

Σ 0,70

Проведем проверку адекватности нелинейной модели с помощью F -критерия Фишера Вычисления представлены в табл. 6.

Дисперсия адекватности модели по (14):
𝑆_ад = _{15 – 9}0.7 = 1.054

Эмпирический критерий Фишера:
𝐹_мп = _15,67 = 64.93

Критическое значение критерия Фишера при f1=8-6=2, f2=8(3-1)=16 Fкр=3,6. Поскольку 𝐹_мп > 𝐹 _р , то линейная модель неадекватна.
Выводы:

1) По результатам экспериментов построена линейная математическая модель,

2) Проведена проверка коэффициентов линейной модели на статистическую значимость. Установлены значимые коэффициенты.

3) Проверена адекватность линейной модели при уровне значимости р= 0,05. Установлено, что линейная модель неадекватна.

4) В связи с этим построена нелинейная модель, для которой установлены значимые коэффициенты и подтверждена ее адекватность.