Дәріс 10; 10 апта. Таырып. Аныталан интеграл. Аныталан интегралды асиеттері. НьютонЛейбниц формуласы. Аныталан интегралды есептеу бліктеп интегралдау жне айнымалыны алмастыру тсілдері Аныталан интегралды анытамасы мен асиеттері
 Скачать 178.96 Kb.
|
|
10-тақырып. Анықталған интеграл. Анықталған интегралдың қасиеттері. Ньютон-Лейбниц формуласы. Анықталған интегралды есептеу; бөліктеп интегралдау және айнымалыны алмастыру тәсілдері Анықталған интегралдың анықтамасы мен қасиеттері  аралығында анықталған  функциясы берілсін. аралығын кез келген жолмен n облыстарға бөлейік.  Әрбір  аралықтан кез келген бір  нүктеден таңдап алып, осы нүктелердегі функциядың мәндерін сәйкес   мәндеріне көбейтіп қосайық.  Осы қосынды функцияның аралығында интегралдық қосындысы деп аталады.Егер интегралдық қосындының  шегі бар және ол шек аралығын n жай облыстарға қалай бөлгенімізге де, әрбір жай облыстан  нүктелерін қалай алғанымызға да байланысты болмаса, одна осы шек функциясының аралығында анықталған интегралы деп аталады және  түрінде белгілейді, мұндағы  –төменгі,  –жоғарғы шегі,  – айнымалы шама, –интегралдау аралығы.Егер функциясы аралығында үзіліссіз болса, онда осы аралықта интегралданады.Анықталған интегралдың қасиеттері: 1) Анықталған интеграл функциясының түріне және интегралдың шектеріне байланысты болады, бірақ интегралдау айнымалысына байланысты болмайды. Сондықтан оны әртүрлі әріппен белгілеуге болады, яғни 2) Функциялардың алгебралық қосындысының анықталған интегралы олардың анықталған интегралдарының алгебралық қосындысына тең болады, яғни  3) Тұрақты көбейткішті интеграл таңбасының алдына шығаруға болады, яғни  4) Егер сегментінде  теңсіздігі орындалса, онда  Салдар. Егер сегментінде  теңсіздігі орындалса, онда  5) егер -де  болса, онда  6) Егер функциясы сегментінде үзіліссіз болса, онда  теңдігі орындалатындай осы аралықтан ең болмаса бір  нүктесі табылады.7) Егер  , онда  ; 8)  ; 9)  Анықталған интегралды есептеу. Ньютон – Лейбниц формуласы Егер функциясы  аралығында үзіліссіз болса, онда  функциясы функциясының алғашқы функциясы болады, яғни   Егер  функциясы функциясының алғашқы функциясы болса, онда  С мәнін анықтау үшін осы теңдікке  мәнін қоямыз, сонда  осыдан  Сондықтан  Егер  деп алсақ, онда Ньютон – Лейбниц формуласын аламыз. Егер  белгелеуін енгізсек, онда  1-мысал.  2-мысал.  Анықталған интегралда айнымалыны алмастыру Егер функциясы  аралығында үзіліссіз және  функциясы өзінің  туындысымен  аралығында үзіліссіз, мұнда  және  сонымен қатар  функциясы аралығында анықталған және үзіліссіз болса, онда 3-мысал.  интегралын табыңыз.Шешуі: Айнымалыны алмастырып, сонан соң Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша есептейміз:   4-мысал. Егер  жұп функция болса, онда  теңдігін дәлелдеу керек. Дәлелдеу.   Осыдан  5-мысал. Егер тақ функция болса, онда  теңдігін дәлелдеу керек. Дәлелдеу. Осыдан  Бөліктеп интегралдау формуласы Егер  және  функциялары және олардың туындылары кесіндісінде үзіліссіз болса,онда анықталған интеграл үшін бөліктеп интегралдау формуласы тура болады: 6-мысал.  интегралын табыңыз.Шешуі: Бөліктеп интегралдау формуласын қолданып, сонан соң Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша есептейміз:  7-мысал.  интегралын табыңыз.Шешуі: Бөліктеп интегралдау формуласын қолданамыз:    |