Тема 2. .4. Дифференциальное исчисление. Тема 11. План исследования функции
 Скачать 299.77 Kb.
|
|
Тема 11. План исследования функции 1. Производные высшего порядка. 2. Интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба. 3. План исследования функции. 1. Производные высшего порядка Производная от первой производной называется второй производной (производной второго порядка), производная от второй производной - производной третьего порядка и т.д. - производной - го порядка. Найдѐм производные высших порядков для функции Функция бесконечно дифференцируема, если она имеет производные любых порядков . Например, у функции производные четных порядков равны , а производные не четных порядков равны то есть функция является бесконечно дифференцируемой. Функция непрерывно дифференцируема, если ее производная является непрерывной функцией в области определения функции 2. Интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба Функцию называют выпуклой (выпуклой вверх) на интервале , если для любых двух точек выполняется неравенство Функцию называют вогнутой (выпуклой вниз) на интервале , если для любых двух точек выполняется неравенство Графически, выпуклость и вогнутость функции на интервале выглядит следующим образом. Если через точки с координатами и провести прямую линию, то на интервале график выпуклой функции находится выше прямой, а вогнутой – ниже прямой. Точку , из области определения функции , называют точкой перегиба, если к ней примыкают два интервала, на которых функция обладает разной выпуклостью, то есть на одном функция является выпуклой, а на другом – вогнутой, или наоборот. Точку с координатами на графике функции также называют точкой перегиба. Теорема (о выпуклости). Пусть функция дважды дифференцируема на интервале , тогда: а) если при всех , то функция выпукла вниз на интервале ; б) если при всех , то функция выпукла вверх на интервале Теорема (о точках перегиба). Пусть функция дважды дифференцируема на интервалах и , а точка является точкой перегиба, тогда или значение второй производной не определено. Последние две теоремы позволяют определять тип выпуклости на интервалах и находить точки перегиба для дважды дифференцируемых функций. Для этого необходимо выполнить следующие действия: а) вычислить вторую производную ( ) f x ; б) найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует (только среди этих точек находятся точки перегиба); в) определить знак второй производной на интервалах между найденными точками в области определения функции; г) сделать выводы о промежутках выпуклости и вогнутости согласно признакам выпуклости и вогнутости: если ( ) 0 f x на (a;b), то график вогнутый на интервале , если ( ) 0 f x на (a;b), то график выпуклый на интервале ; д) сделать выводы о наличии точек перегиба согласно достаточному условию существования точек перегиба: если при переходе через подозрительную на перегиб точку вторая производная меняет знак, то в этой точке имеется перегиб графика функции. Пример. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба Решение. Вычислим вторую производную Вторая производная является линейной функцией, следовательно, она всюду определена и всюду непрерывна. Найдѐм, где вторая производная обращается в ноль, то есть решим уравнение Корнем уравнения будет число , которое разбивает область определения функции на интервалы ). Далее, определим знак второй производной на этих интервалах Делаем вывод, что на интервале функция является выпуклой вверх (выпуклая), на интервале ) – выпуклая вниз (вогнутая). Следовательно, точка является точкой перегиба. Пример. Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции Вычислим еѐ вторую производную Область определения у второй производной такая же, как и у самой функции , то есть ). А так как вторая производная нигде не обращается в нуль, то по пункту б, у функции нет точек перегиба (не из чего выбирать). Далее, по пункту в, определим знак второй производной на интервалах ) Пункт г, делаем вывод, что функция на интервалах ) является выпуклой вниз (вогнутой). В исследовании по пункту д нет надобности, так как по пункту б у функции нет точек перегиба. 3. План исследования функции 1. Найти область определения 2. Исследовать элементарные свойства функции: чѐтность, не чѐтность, периодичность. 3. Исследовать на непрерывность. 4. Исследовать поведение функции на концах области определения и вблизи точек разрыва: вычисление односторонних пределов в указанных точках. 5. Определить интервалы монотонности функции, и еѐ точки экстремума. 6. Определить интервалы выпуклости и вогнутости функции, и еѐ точки перегиба. 7. Построение графика функции: точки экстремума, точки перегиба, точки пересечения графика с осями координат (если это возможно), дополнительные точки на графике функции, а затем соединить их линией удовлетворяющей условиям, найденным в пунктах 3, 4 и 5. |