КГ Т6 (1). Тема Фрактальные изображения
 Скачать 479.95 Kb.
|
|
Тема 6. Фрактальные изображения Понятия фракталы, фрактальная геометрия и фрактальная графика, по- явившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и ком- пьютерных художников. Слово «фрактал» образовано от латинского «fractus» и в переводе означает «состояние из фрагментов». Фрактал можно определить как объект довольно сложной формы, полученный в результате выполнения простого итерационного цикла. Одним из его основных свойств является само подобие, т.е. отдельные элементы похожи по форме на весь фрактал в целом. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале. Фракталы приходят на помощь, если требуется с помощью не- скольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы В настоящее время алгоритмы, используемые для генерации изображений фрактальной графики, находят применение и в традиционных видах компью- терной графики: растровой и векторной. Например, в CorelDRAW эти алгорит- мы используются для создания текстурных заливок. В относительно недавно появившейся на рынке программного обеспечения растровой программе PhotoDraw 2000 фирмы Microsoft кроме стандартных градиентных заливок кон- туров можно сгенерировать фрактальный узор и воспользоваться им в качестве заливки. С точки зрения машинной графики фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически благодаря фрактальной геометрии найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, конечные образы которых весьма похожи на природные объекты. Геометрические фракталы – наиболее наглядные фракталы. В двухмер- ном случае их получают с помощью изображения некоторой ломаной прямой (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на лома- ную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного по- вторения этой процедуры, получается геометрический фрактал. Рассмотрим один из таких фрактальных объектов – триадную кривую Кох. Построение данного фрактала начинается с отрезка единичной длины – это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один от- резок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рисунке через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия – каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Для изображения каждого последующего поколения, все звенья предыду- щего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. Алгебраические фракталы – самая крупная группа фракталов, получаемая их с помощью моделей нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итера- ционный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся про- цесс, аттрактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой обла- стью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассмат- риваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цве- тами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерацион- ного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрак- тальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Рассмотрим алгоритм построения фрактала Мандельброта. Для создания этого фрактала для каждой точки его изображения необхо- димо выполнить цикл итераций по формуле: Z k+1 = Z k 2 + Z 0 k = 0, 1, ..., n Z k = X k + iY k где Z k – комплексные числа, X 0 и Y 0 – координаты точки изображения. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z k не выйдет за пре- делы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например, 200-500) Z k сойдется к какой- нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z k оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки (если Z k остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, то итераци- онный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет). Стохастические фракталы – фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его па- раметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несим- метричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастиче- ские фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверх- ности моря. Существуют и другие классификации фракталов, например, деление фрак- талов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерми- нированные (стохастические). |