Главная страница
Навигация по странице:

  • Признак делимости на составное число

  • Обязательные задания

  • Дополнительные задания

    		•

    Тема Признаки делимости суммы, разности, произведения на число. Тема Признаки делимости


    Скачать 21.22 Kb.
    НазваниеТема Признаки делимости
    Дата10.06.2020
    Размер21.22 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаТема Признаки делимости суммы, разности, произведения на число.docx
    ТипДокументы
    #129278

    Тема Признаки делимости.

    Рекомендации:

    повторить основные понятия делимости натуральных чисел (признаки делимости на составное число; признаки делимости суммы, разности, произведения на число), изучить рекомендованную преподавателем литературу, проанализировать различные подходы к решению практических задач.

    Признак делимости на составное число: Для того чтобы число а делилось на составное число b = р · q, где р и q – взаимно простые числа, необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на р и делилось на q.

    Типовые задания:

    Пример 1. Не выполняя деления, покажите, что число 360 кратно 60.

    Решение.

    Чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 15 и 4. Так как 15 = 3 · 5, то необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3, 4 и 5. Используя признаки делимости, устанавливаем, что 360 кратно 3, 360 кратно 4 и 360 кратно 5, следовательно 360 кратно 60.

    Пример 2.  Не производя вычислений, установите, делятся ли на 4 выражения:

    а) 132 + 360 + 536; б) 540 – 332; в) 2512·127.

    Решение.

    а) так как на 4 делится каждое слагаемое, то сумма  132 + 360 + 536 делится на 4;

    б) так как уменьшаемое 540 делится на 4 и вычитаемое 332 делится на 4, то и разность 540 – 332 делится на 4;

    в) так как число 2512 делится на 4, то и произведение 2512·127 делится на 4.

    Пример 3. Укажите, какие из следующих утверждений ложные.

    а) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.

    б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.

    в) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.

    г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.

    Решение.

    а) Ложное. Пример: 7+3 = 10;  7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.

    б) Ложное. Пример: 6  10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся.

    в) Ложное. Пример: 6  10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.

    г) Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.

    Пример 4. Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел n и  n + 1 делится на 2.

    Решение.

    Чтобы показать, что произведение n·(n + 1) делится на 2, надо рассмотреть две возможности:

    1) n делится на 2, т.е. n = 2k. Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: 2k·(2k + 1). Это произведение делится на 2, так как первый множитель в нем делится на 2;

    2) n не делится на 2, т.е. n = 2k + 1. Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: (2k + 1)·(2k + 2). Это произведение делится на 2, так как второй множитель делится на 2.

    Пример 5. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел  n, n + 1, n + 2 делится на 3.

    Решение.

    Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2) делится на 3, надо рассмотреть три возможности:

    1) n делится на 3, т.е. n = 3k. Тогда n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: 3k·(3k + 1)·(3k + 2). Это произведение делится на 3, так как первый множитель в нем делится на 3;

    2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1. Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3k + 1)·(3k + 2)·(3k + 3). Это произведение делится на 3, т.к. третий множитель делится на 3;

    3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3k + 2)·(3k + 3)·(3k + 4). Это произведение делится на 3, т.к. второй множитель в нем делится на 3.

    Пример 6.

    а) Делится ли на 2 сумма чисел 142 + 18 + 1990 + 1014?
    в) Делится ли на 5 произведение чисел 105 · 48 · 93 · 54?

    Для решения этих задач можно найти записанные сумму и произведение и посмотреть по признакам делимости на 2 и на 5. Но подобные задачи можно решать значительно проще, используя свойства делимости суммы и произведения.

    Свойство 1. Если каждое слагаемое суммы чисел делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.

    Например, используя это свойство, можно, не выполняя сложение, определить, что сумма чисел 142 + 18 + 1990 + 1014 будет делиться на 2, так как каждое слагаемое делится на 2.

    Не следует, однако, думать, что если каждое слагаемое суммы не делится на какое-то число, то и сумма не делится на это число. Например, сумма 37 + 19 делится на 4, хотя ни 37, ни 19 не являются кратными числа 4.

    Свойство 2. Если каждое слагаемое суммы, кроме одного, делится на некоторое число, а одно не делится, то и вся сумма не делится на это число.

    Например, используя это свойство, можно, не выполняя сложение, определить, что сумма чисел 142 + 18 + 1990 + 1015 не будет делиться на 2, так как первые три слагаемых делятся на 2, а одно слагаемое (четвертое) не делится на 2.

    При этом, если два и более слагаемых не делятся на некоторое число, то про делимость суммы на это число нельзя сделать однозначный вывод.

    Например, рассмотрим суммы: 23 + 17 + 15 и 13 + 7 + 19 + 3. В обоих случаях все слагаемые на 2 не делятся, однако первая сумма не делится на 2, а вторая - делится.

    Свойство 3. Если в произведении чисел хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число.

    Например, не выполняя умножения, можно утверждать, что произведение 105 · 48 · 93 · 54 делится на 5, так как число 105 делится на 5.

    Обязательные задания:

    1. Не выполняя вычислений, установите делится ли значение выражения на 4:

    284+1440+113

    284+1440+792224

    284+1441+113+164.

    2. Докажите или опровергните следующие утверждения:

    а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.

    б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

    3. Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел n,  n + 1, n + 2, n + 3 делится на 4.

    3. Какие цифры можно поставить вместо, чтобы число делилось на 6:

    241, 436.

    4.  При каких значениях переменной  произведение:

                а) 7 ∙ а  делится на 7,

                б) 17 ∙ b делится на  b.

    5. Вместо * поставить такие цифры, чтобы все выражение делилось на 3

    123* + 2*76 + 3*56*5

    6. Вместо * поставить такие цифры, чтобы все выражение делилось на 2

    3*92* + 2*76* + 3*56*5*

    7. Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

    8. Вычеркните в числе 191284734 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

    К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

    9. Найдите цифры а и b числа 72а3b, если известно, что это число делится на 45.

    10. Не выполняя умножения и деления уголком, установите, какие из следующих произведений делятся на 30: а)10520; б)47125; в)85337.

    11. Не выполняя сложения или вычитания, установите, значения каких выражений делятся на 36:

    а) 72+180+252; б) 612-432; в) 180+252+100; г)180+250+200.

    12. Вычеркните в числе 51488704 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

    13. Вычеркните в числе 58521304 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

    14. Вычеркните в числе 58521314 две цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

    15. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.

    16. Приведите пример трёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: 1) сумма цифр числа А делится на 6; 2) сумма цифр числа А+3 также делится на 6; 3) число А больше 350 и меньше 400. В ответе укажите ровно одно такое число.  19. Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: 1) сумма цифр числа А делится на 8; 2) сумма цифр числа А+2 также делится на 8; 3) число А меньше 3000. В ответе укажите ровно одно такое число.

    Дополнительные задания

    1. Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не яв­ляется делителем числа 70.

    2. Известно, что число 24 - делитель числа 96, а число 96 – делитель числа 672. Докажите, что число 24 делитель числа 672, не выполняя деления.

    3. Запишите множество делителей числа: а) 24; б)13; в)1.

    4. Докажите или опровергните следующие утверждения:

    а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.

    б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

    в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

    г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то и сумма не делится на это число.

    1. Не выполняя сложения, установите, делится ли значение выраже­ния на 4:

    а) 284+ 1440 + 113; в)284+ 1441 + 113;

    б) 284 + 1440 + 792224; г)284 + 1441 + 113 + 164.

    1. Не выполняя вычитания, установите, делится ли разность на 9.

    а) 360 - 144; б) 946 - 540; в) 30 240 - 97.

    1. Из множества чисел 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 выпишите те, которые делятся на 12.

    2. Делятся ли на 18 числа 1548 и 942?

    3. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число.

    4. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого больше 25, но меньше 30. В ответе укажите ровно одно такое число.  

    5. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число.

    6. Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

    7. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число.

    написать администратору сайта