Тема Теоретикомножественный смысл частного
 Скачать 41.5 Kb.
|
|
Тема 6.8. Теоретико-множественный смысл частного План: I. Теоретико-множественный смысл частного целых неотрицательных чисел. II. Теоретико-множественный смысл правил деления суммы на число и числа на сумму. III. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в», «меньше в». IV. Теоретико-множественный смысл деления с остатком. I. Теоретико-множественный смысл частного целых неотрицательных чисел С теоретико-множественной точки зрения деление чисел – операция обратная умножению и связывается с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются задачи двух видов: - деление на равные части (нахождение числа элементов в каждом подмножестве разбиения), - деление по содержанию (отыскание числа таких подмножеств). Если а = n (A) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если: b – число элементов в каждом подмножестве, то частное а : b – число таких подмножеств; b – число подмножеств, то частное а : b – число элементов в каждом подмножестве. В соответствии с этим обосновывается выбор арифметического действия для решения: а) Мама дала Пете 15 орехов. Он раздал поровну своим друзьям – Диме и Сереже, а также себе. Сколько орехов получил каждый мальчик? В задаче рассматривается множество, в котором 15 элементов - орехов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества, т.к мальчиков трое. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число можно найти с помощью деления: 15 : 3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи: каждый мальчик получил по 5 орехов. б) Доктор раздал 12 таблеток витаминов по 3 каждому ребенку. Сколько таблеток витаминов получил каждый из детей? Множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти с помощью деления: 12 : 3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи: таблетки получили четыре ребенка. II. Теоретико-множественный смысл правил деления суммы на число и числа на сумму В математике при различных вычислениях пользуются правилами деления суммы на число и числа на сумму. Дадим теоретико-множественное обоснование этим правилам. Правило деления суммы на число: Если частные а : с иb : с существуют, то (а + b) : с = а : с+ b : с. Пусть а = n (A), b = n (B) иA ∩ B= Ø. Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение. Если при этом множество А состоит из а : с подмножеств, а множество В – изb : с подмножеств, то А U В состоит из а : с+ b : с подмножеств. Это и значит, что (а + b) : с = а : с+ b : с. III. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в», «меньше в» С теоретико-множественной точки зрения рассматриваются и отношения «больше в», «меньше в», которые рассматриваются в текстовых задачах. В аксиоматической теории определение этих отношений вытекает из определения натуральных чисел: если а : b = c, то можно говорить, что «а больше b в с раз» или что «b меньше а в с раз». И чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее разделить на меньшее. Если а = n (A), b = n (B) и известно, что «а меньше b в с раз», то поскольку а < b , то в множестве В можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству А , но так как «а меньше b в с раз», то множество В можно разбить на с подмножеств, равночисленных множеству А. Так как с – это число подмножеств в разбиении множества В, содержащего b элементов, а в каждом подмножестве – а элементов, то с = b : а. а) У Дениса было 3 тетрадей в клетку, а в линию в 4 раза больше. Сколько тетрадей было у Дениса? В задаче речь идет о двух множествах: множестве тетрадей в клетку (А) и множестве тетрадей в линию (В). Известно, что n (A) = 3 и что в множестве В элементов в 4 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, т.е. n (B). Т.к. в множестве В элементов в 4 раза больше, чем в множестве А, то множество В можно разбить на 4 подмножества, равномощных множеству А. Поскольку в каждом подмножестве содержится по три элемента, то всего в множестве В будет содержатся четыре раза по 3 элемента: 3 + 3 + 3 + 3 или 3 × 4 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: тетрадей в линию у Дениса 12. А  В б) У Дениса 10 солдатиков, а у Толи в 2 раза меньше. Сколько солдатиков у Толи? В задаче речь идет о двух множествах: множестве солдатиков у Дениса (А) и множестве солдатиков у Толи (В). Известно, что n (A) = 10 и что в множестве В элементов в 2 раза меньше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, т.е. n (B). Т.к. в множестве А элементов в 2 раза больше, чем в множестве А, т.к. сказано, что в множестве В элементов меньше. То множество А можно разбить на 2 равночисленных подмножества, равномощных множеству В. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число можно найти с помощью деления: 10 : 2. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи: у Толи 5 солдатиков.    А В |