Мат анализ теоремы ферма роля…. Теоремы о среднем для производных
 Скачать 180.55 Kb.
|
|
Теоремы о среднем для производных. Теорема 1 (Ферма). Если функция 𝑓(𝑥) дифференцируема на интервале (𝑎, 𝑏) и достигает экс- тремума в точке 𝑥 0 ∈ (𝑎, 𝑏) , то ее производная в этой точке 𝑥 0 равна нулю. Теорема 2 (Ролля). Если функция 𝑓(𝑥): 1) непрерывна на отрезке [𝑎, 𝑏]; 2) дифференцируема на интервале (𝑎, 𝑏); 3) принимает на концах отрезка одинаковые значения: 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏); Тогда на данном интервале существует хотя бы одна такая точка 𝑥 0 , что 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0 Теорема 3 (Лагранжа). Если функция 𝑓(𝑥): 1) непрерывна на отрезке [𝑎, 𝑏]; 2) дифференцируема на интервале (𝑎, 𝑏); Тогда найдется такая точка 𝑥 0 из интервала (𝑎, 𝑏), что 𝑓 (𝑏) − 𝑓 (𝑎) 𝑏 − 𝑎 = 𝑓 ′ (𝑥 0 ) (1) Теорема 4 (Коши). Если функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥): 1) непрерывны на отрезке [𝑎, 𝑏]; 2) дифференцируемы на интервале (𝑎; 𝑏); 3) 𝑔 ′ (𝑥) ̸= 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) ; Тогда существует на интервале (𝑎, 𝑏) такая точка 𝑥 0 , что 𝑓 (𝑏) − 𝑓 (𝑎) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) = 𝑓 ′ (𝑥 0 ) 𝑔 ′ (𝑥 0 ) (2) Задачи. 1. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) (3) 2. Объяснить, почему не верна формула Коши для функций: 𝑓 (𝑥) = 𝑥 2 и 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 (4) на сегменте [−1, 1]. 3. Пусть 𝑓 (𝑥) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3 − 𝑥 2 2 , при 0 ≥ 𝑥 ≥ 1, 1 𝑥 , при 1 < 𝑥 < +∞ (5) Определить промежуточное значение 𝑥 0 формулы конечных приращений для функции 𝑓(𝑥) на сегменте [0, 2]. 4. Доказать, что если функция 𝑓(𝑥) дифференцируема, но не ограничена на конечном интервале (𝑎, 𝑏) , то ее производная 𝑓 ′ (𝑥) также не ограничена на интервале (𝑎, 𝑏). Доказать, что обратная теорема не верна построением контрпримера. 5. Доказать, что если функция 𝑓(𝑥) имеет в конечном или бесконечном интервале (𝑎, 𝑏) ограни- ченную производную 𝑓 ′ (𝑥) , то 𝑓(𝑥) равномерно непрерывна на (𝑎, 𝑏). 1 |