производная. Теоретический материал для самостоятельного изучения
Скачать 55.28 Kb.
|
Теоретический материал для самостоятельного изучения Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x0, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции. Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции. Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита "дельта"; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf. Итак, x1-x0=Δx, значит, x1=x0+Δx. f(x1)-f(x0)=Δy, значит, Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (1) Нельзя истолковывать термин "приращение" как "прирост". Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля Пример 1. Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=1,9 Решение: Δx= x1−x0=1,9-2=-0,1 Δf= f(1,9) –f(2)=1,92-22=-0,39 Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39 Пример 2. Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=2,1 Решение: Δx= x1−x0=2,1-2=0,1 Δf= f(1,9) –f(2)=2,12-22=0,41 Ответ: Δx=0,1; Δf =0,41 Пример 3. Найдем приращение Δf функции в точке x0,если приращение аргумента равно x0. Решение: по формуле (1) находим: . Ответ: . С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t0; t0+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t0+∆t; t0]). Аналогично выражение называют средней скорость изменения функции на промежутке с концами х0 и х0+∆х. Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначение: y’ или f’(x) Если функция f(x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Схема вычисления производной функции Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]: ∆y=y(x+∆x)-y(x) Разделить приращение функции на приращение аргумента: Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Пример 4. Вычислить производную функции y=x2 Решение: Используем схему вычисления производной по действиям: ∆y=y(x+∆x)-y(x)= (х+∆х)²-х²= х²+2х·∆х+ ∆х²-х²= 2х·∆х+ ∆х² Ответ: y’=2x. Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t). Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени. Пример 5. Точка движется по закону s(t)=1-2t. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t=0,8 до t=1. Решение: найдем ∆t= 1-0,8=0,2 S(0,8)= 1-2·0,8= -0,6=S(t) S(1)= 1-2·1= -1=S(t+∆t) . Ответ: . Необходимое и достаточное условие дифференцируемости Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке. Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е. dx ≡ Δx.0> |