Главная страница
Навигация по странице:

  • Δy=f(x

  • Определение.

  • Теорема 1.

  • производная. Теоретический материал для самостоятельного изучения


    Скачать 55.28 Kb.
    НазваниеТеоретический материал для самостоятельного изучения
    Дата16.03.2022
    Размер55.28 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлапроизводная.docx
    ТипДокументы
    #400235

    Теоретический материал для самостоятельного изучения

    Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x0, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.

    Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.



    Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита "дельта"; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

    Итак, x1-x0=Δx, значит, x1=x0+Δx.

    f(x1)-f(x0)=Δy, значит, 

    Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (1)

    Нельзя истолковывать термин "приращение" как "прирост".

    Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

    Пример 1.

    Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=1,9

    Решение:

    Δx= x1−x0=1,9-2=-0,1

    Δf= f(1,9) –f(2)=1,92-22=-0,39

    Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39

    Пример 2.

    Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=2,1

    Решение:

    Δx= x1−x0=2,1-2=0,1

    Δf= f(1,9) –f(2)=2,12-22=0,41

    Ответ: Δx=0,1; Δf =0,41

    Пример 3.

    Найдем приращение Δf функции   в точке x0,если приращение аргумента равно x0.

    Решение:

    по формуле (1) находим:

    .

    Ответ:  .

    С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t0; t0+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то



    Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t0+∆t; t0]).

    Аналогично выражение   называют средней скорость изменения функции на промежутке с концами х0 и х0+∆х.

    Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.



    Обозначение: y’ или f’(x)

    Если функция f(x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

    Схема вычисления производной функции

    1. Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]:

    ∆y=y(x+∆x)-y(x)

    1. Разделить приращение функции на приращение аргумента:



    1. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.



    Пример 4.

    Вычислить производную функции y=x2

    Решение: Используем схему вычисления производной по действиям:

    1. ∆y=y(x+∆x)-y(x)= (х+∆х)²-х²= х²+2х·∆х+ ∆х²-х²= 2х·∆х+ ∆х²





    Ответ: y’=2x.

    Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t).

    Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

    Пример 5.

    Точка движется по закону s(t)=1-2t. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t=0,8 до t=1.

    Решение:

    найдем ∆t= 1-0,8=0,2

    S(0,8)= 1-2·0,8= -0,6=S(t)

    S(1)= 1-2·1= -1=S(t+∆t)

    .

    Ответ:  .

    Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

    Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

    Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е. dx ≡ Δx.


    написать администратору сайта