ЕГЭ. Теория игр. Поиск выигрышной стратегии
 Скачать 0.76 Mb.
|
|
Задание 19. Перед игроками лежат 1 семёрка, 3 восьмёрки и 2 девятки. С какой карты Петя должен начать игру, чтобы гарантированно выиграть? В качестве ответа запишите числовое значение этой карты. Задание 20. Перед игроками лежат 1 пятёрка, 2 шестёрки, 3 семёрки, 1 восьмёрка, 3 девятки, 2 десятки. С каких карт Петя должен начать игру, чтобы гарантированно выиграть? В качестве ответа запишите наименьшее и наибольшее числовые значения этих карт. Задание 21 Известно, что в начальном наборе были четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки, но не более четырёх каждого вида. Сколько существует вариантов наборов таких карт, что Ваня сможет победить при любой игре Пети? (PRO100 ЕГЭ) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче в два раза или добавить в кучу два камня. Так же за всю игру можно только один раз сделать суперход – ход, после которого количество камней в куче не изменится, а очередь хода перейдёт к сопернику. То есть суперход может сделать один раз либо Ваня, либо Петя. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Выигрывает тот игрок, после хода которого количество камней в куче становится не менее 20. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 19. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Задание 19. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно. Задание 20. Найдите два значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Задание 21 Найдите наибольшее и наименьшее значения S, при которых у Вани есть выигрышная стратегия. (Е. Джобс) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче в целое число раз (но не более, чем на 80 камней) или добавить в кучу десять камней или добавить в кучу два камня. Например, из кучи из 10 камней можно получить кучу из 12, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 и 90 камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Выигрывает тот игрок, после хода которого количество камней в куче становится не менее 166. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 165. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Задание 19. Известно, что Петя выиграл своим вторым ходом после неудачного хода Вани. При каком минимальном значении S такое возможно? Задание 20. Известно, что Петя имеет выигрышную стратегию. Укажите минимальное и максимальное значения при которых Петя не может победить первым ходом, но при любом ходе Вани Петя побеждает своим вторым ходом. Задание 21 Известно, что Ваня имеет выигрышную стратегию за один или два хода, при этом не имеет выигрышной стратегии в один ход. Найдите минимальное значение S, при котором это возможно. (ЕГЭ-2022) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 259. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 259 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 241. Задание 19. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна. Задание 20. Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: − Петя не может выиграть за один ход; − Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания. Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. (ЕГЭ-2022) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 165. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в куче будет 165 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 164. Задание 19. Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Задание 20. Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: − Петя не может выиграть за один ход; − Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания. Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. (А. Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит три кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 3, 13 или 23 камня. Игра завершается в тот момент, когда в сумме во всех кучах будет не менее 73 камней. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в кучах было (2, S, 2S) камней, 1 ≤ S ≤ 23. Задание 19. Петя сделал неудачный ход, после которого Ваня сразу выиграл своим первым ходом. Укажите минимальное значение S, при котором это возможно. Задание 20. Найдите минимальное и максимальное значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания. Задание 21 Найдите два значения S, при котором Петя может выбрать, первым или вторым ходом выиграет Ваня, но у Пети нет выигрышной стратегии. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания. (Е. Джобс) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может уменьшить количество камней в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего) или убрать из кучи 10 камней. Например, из кучи из 25 камней можно получить кучу из 8 или 15 камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 10. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней (S ≥ 11). Задание 19. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. При каком максимальном значении S такое возможно? Задание 20. Найдите минимальное и максимальное значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания. Задание 21 Сколько существует значений S, при которых Ваня имеет выигрышную стратегию за один или два хода, при этом не имеет выигрышной стратегии в один ход? (Е. Джобс) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 231. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 231 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 213. Задание 19. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение S, когда такая ситуация возможна. Задание 20. Укажите наибольшее и наименьшее значения S при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: − Петя не может выиграть за один ход; − Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания. Задание 21 Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. http://kpolyakov.spb.ru |