Лекция-1-Терия поля-часть1. Теория поля и элементы векторного анализа
![]()
|
Теория поля и элементы векторного анализаЭлементы математической теории скалярных и векторных полейМатематическая теория поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного физического смысла. Поэтому получаемое в этой теории понятие и закономерности относятся ко всем конкретным полям. Определение 1 Полем называется совокупность значений той или иной величины (скорость, плотность, давление и т.п.), заданных в каждой точке рассматриваемой области. Если рассматриваемая величина а) скаляр, то поле называется скалярным, например ![]() б) вектор, то поле называется векторным ![]() в) тензор, то поле называется тензорным ![]() Определение 2 Если значения рассматриваемых величин не изменяются во времени, то поле называется стационарным (установившимся), если же они ![]() Здесь мы остановимся на рассмотрении свойств стационарных полей. Скалярное поле Характеристики скалярного поля Скалярное поле характеризуется поверхностью уровня ![]() Градиент поля определяется как вектор, составленный из частных производных ![]() Он направлен по нормали к поверхностям уровня и характеризует величину и направление наибыстрейшего изменения величины поля. Полный дифференциал скалярного поля ![]() ![]() где ![]() Производная по направлению ![]() ![]() Частный случай: производная по нормали: ![]() Частные и полные производные по времени Рассмотрим нестационарное скалярное поле: ![]() Скорость изменения в фиксированной точке ![]() ![]() ![]() ![]() Скорость изменения вдоль траектории определяется как полная производная по t от сложной функции и равна: ![]() ![]() Замечание: Оператор «набла» – это греческое слово, означающее «арфа» – музыкальный инструмент, по форме напоминающий перевернутый треугольник. Характеристики векторного поля ![]() Векторная линия – кривая, направление которой в каждой ее точке совпадает с направлением вектора ![]() ![]() ![]() ![]() – коллинеарные (параллельные) векторы и, следовательно, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Производная от вектора по направлению определяется следующим образом: ![]() ![]() ![]() Доказательство: Учтем, что ![]() и так далее, подставим в ![]() ![]() + ![]() + ![]() ![]() Итак, мы доказали ![]() Частная и полная производные по времени от вектора ![]() Доказательство: ![]() ![]() ![]() Поток вектора через поверхность. Дивергенция ![]() ![]() векторный поток через незамкнутую площадку; ![]() поток вектора через замкнутую площадку. ![]() поток вектора скорости через поверхность S равен объему жидкости, протекающей через эту площадку поверхности за единицу времени. По теореме Остроградского-Гаусса (рис. 7) ![]() Сжимая объем ![]() ![]() ![]() Следовательно, ![]() ![]() Пример: В гидродинамике поле скоростей ![]() ![]() дивергенция равна количеству жидкости, рассчитанному на единицу объема, вытекающему из данной точки пространства за одну секунду, т.е. ![]() ![]() Если ![]() ![]() 5. Циркуляция вектора вдоль линии Роток векторного поля Элементарная циркуляция вектора ![]() ![]() Циркуляция вектора ![]() ![]() Пусть контур L ограничивает некоторую поверхность S (рис. 8в). Используем теорему Стокса и преобразуем интеграл по кривой L в интеграл по поверхности S: ![]() Роток (вихрь) вектора ![]() ![]() Определение Циркуляция вектора ![]() ![]() Потенциальное векторное поле Определение: Векторное поле ![]() ![]() ![]() ![]() Свойства потенциального поля В потенциальном поле отсутствуют вихри (отсутствует ротация), т.е. ![]() Доказательство: ![]() Циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю (это следствие п.1) ![]() Работа потенциального поля при перемещении точки из одного положения в другое не зависит от пути соединяющего эти положения и равна разности потенциалов в конечных точках. Циркуляция потенциального поля не зависит от вида кривой, соединяющей две различные точки, и равна разности значений потенциала в данных точках. ![]() отсюда получаем ![]() ![]() ![]() Векторные линии потенциального поля не могут быть замкнутыми. Доказательство от противоположного: Допустим, что есть замкнутая векторная линия L. Тогда по определению векторной линии вдоль соответствующего контура ![]() ![]() Сумма потенциальных векторных полей является потенциальным полем, и потенциал суммы полей равен сумме потенциалов. Соленоидальное векторное полеОпределение: Векторное поле ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Свойства соленоидального поляДля того чтобы поле ![]() ![]() Замечание: Это свойство можно положить в определение. Доказательство основывается на том, что ![]() Следствие ![]() ![]() как следствие этого свойства получаем, что поток вектора ![]() Поток соленоидального поля через два любых сечения векторной трубки одинаков. Доказательство: Отрезок векторной трубки, ограниченный сечениями S1, S2 и S, можно рассматривать как замкнутую поверхность, помещенную в соленоидальное поле. Поэтому ![]() ![]() ![]() ![]() Учитывая, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В соленоидальном поле векторные линии либо замкнуты, либо уходят к границе поля. Так как ![]() ![]() Сумма соленоидальных векторных полей есть соленоидальное поле. Потенциальное несжимаемое поле. Гармоническое поле![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Это поле часто называют гармоническим или полем Лапласа. Резюме По заданному полю ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть поле ![]() ![]() ![]() ![]() Если u и ![]() ![]() ![]() Эти уравнения всегда разрешимы. |