Теория случайных процессов

• Название: Теория случайных процессов
• Дата: 14.06.2018
• Размер: 105.87 Kb.
• Имя файла: Teor_sl_pr_2.pdf
• Тип: Документы; #46867

Теория случайных процессов
Экзамен летней сессии состоит из двух частей: тест и задачи. Каждая часть оценивается из 10 баллов.
Вопросы теста
1. Дать определение случайной функции.
2. Дать определение математического ожидания случайного процесса.
3. Свойства ковариационной функции.
4. Привести пример гауссовского процесса.
5. Дать определение белого шума.
6. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Дать определение случайного процесса.
2. Дать определение ковариационной матрицы.
3. Дать определение марковского процесса.
4. Привести пример процесса с независимыми приращениями.
5. Дать определение предела процесса.
6. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Дать определение сечения случайного процесса.
2. Спектральная плотность и ее свойства.
3. Дать определение процесса с независимыми приращениями.
4. Свойства белого шума.
5. Дать определение взаимной ковариационной функции двух процессов
6. Достаточное условие эргодичности.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Дать определение траектории (реализации) случайного процесса.
2. Эргодичность по отношению к математическому ожиданию.
3. Дать определение процесса с ортогональными приращениями.
4. Теорема о покоординатной сходимости для процесса.
5. Дать определение непрерывного процесса.
6. Дать определение производной от случайного процесса.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Дать определение конечномерного закона распределения случайного процесса.
2. Дать определение дисперсии случайного процесса.
3. Дать определение стационарного в широком смысле процесса.
4. Дать определение винеровского процесса
5. Теорема о покоординатной сходимости для последовательности процессов.
6. Действие линейного оператора на случайный процесс.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Дать определение ковариационной функции.
2. Дать определение гауссовского (нормального) процесса.
3. Дать определение стационарного в узком смысле процесса.
4. Эргодичность по отношению к математическому ожиданию
5. Необходимые и достаточные условия непрерывности.
6. Постановка задачи о реакции линейного динамического звена.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
1. δ-функция Дирака и ее свойства.
2. Дать определение пуассоновского процесса.
3. Необходимые и достаточные условия эргодичности.
4. Привести пример стационарного в широком смысле процесса.
5. Дать определение предела последовательности процессов.
6. Дать определение интеграла от случайного процесса.

Задачи
1.
Пусть
{ ( )
,
0},
X
X t
t
c t
ξ
=
=
+
≥
где случайная величина
)
1
,
0
(

N
ξ
, c=const. Найти конечномерные распределения процесса
X
2.
Известно, что ξ(t, ω) - гауссовский процесс с математическим ожиданием t
2
и K
ξ
(t, s) =
4ts, η(t, ω) =
ξ
(t, ω). Найти P(η(2, ω) > 2).
3.
Найти ковариационную функцию пуассоновского процесса с параметром
λ
4.
Пусть
{ ( )
2 ,
0},
X
X t
V
t t
=
= +
≥
где V имеет распределение Коши. Вычислить
( ( ) 0
P X t
=
хотя бы для одного
(0,1/ 2]).
t
∈
5.
Найдите математическое ожидание и ковариационную функцию случайного процесса
0
( , )
( , ) ,
,
t
t
t
dt t
T
η ω
ξ
ω
′
′
=
∈
∫
если m
ξ
(t) = mt, K
ξ
(t, s) = Dts.
6.
Показать, что процесс { (
)
( ),
0},
X
W t
a
W a t
=
+ −
≥
где W – винеровский процесс и константа
0
a
> , является винеровским.
7.
Привести примеры марковского и немарковского процессов.
8.
Доказать, что процесс
( )
{
,
0},
W ct
X
t
c
=
≥
где W – винеровский процесс и константа
0
c
> , также является винеровским.
9.
Найти ковариационную функцию броуновского моста, т.е. процесса
0 0
{ ( )
( )
(1),
[0,1]},
W
W t
W t
tW
t
=
=
−
∈
где W – винеровский процесс.
10.
Привести примеры стационарного и нестационарного процессов.
11.
Как выглядят траектории процесса { ( )
,
[0, 2 ]},
t
X
X t
e
t
ξ
π
=
=
∈
если величина
ξ
принимает значения 1 и
1
−
с равными вероятностями? Найти одномерные и двумерные распределения процесса.
12.
Найдите плотность одномерного распределения гауссовского процесса ξ(t, ω) = X+t, где X имеет р-е N(t,σ).
13.
Случайный процесс ξ(t, ω) = Xt, где X имеет р-е R[0,1] Описать множество сечений и траекторий процесса ξ(t, ω).
14.
Найти ковариационную функцию винеровского процесса.
15.
Будет ли стационарен процесс η(t, ω),
16.
0
( , )
( , ) ,
,
t
t
t
dt t
T
η ω
ξ
ω
′
′
=
∈
∫
если m
ξ
(t) = 0, K
ξ
(t, s) = (1+(t-s)
2
)
-1
?
17.
Найдите спектральную плотность стационарного скалярного случайного процесса
ξ(t, ω), t T = [0, ∞], если известна его ковариационная функция K
ξ
(τ) = ae
-b|τ|
18.
Найдите математическое ожидание и ковариационную функцию скалярного случайного процесса η(t, ω) =
ξ
(t, ω), t Т, если известно, что ξ(t, ω) = α(ω)t + β (ω)sin t, и дана совместная функция плотности вероятностей случайных величин α(ω) и β(ω):
( , )
, | | 1, | | 1.
f
x y
c
x
y
αβ
=
≤
≤
19.
Пусть ξ(t, ω) = α(ω) cos t + β(ω) sin t, где α(ω), β(ω) — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и Dα(ω) = 1, Dβ(ω) = 1. Будет ли скалярный процесс ξ(t, ω) эргодическим относительно математического ожидания?
20.
Будет ли стационарен процесс η(t, ω),
0
( , )
( , ) ,
,
t
t
t
dt t
T
η ω
ξ
ω
′
′
=
∈
∫
если m
ξ
(t) = 0, K
ξ
(t, s) = (1+(t-s)
2
)
-1
?
∈
∈