Теория вероятностей Теория
![]()
|
Теория вероятностей Теория вероятностей изучает вероятностные закономерности массовых однородных случайных событий. То есть, у неё нет цели что-либо угадать, например, результат броска той же монеты в единичном эксперименте. Однако если одну и ту же монету в одинаковых условиях подбрасывать сотни и тысячи раз, то будет прослеживаться чёткая закономерность, описываемая вполне жёсткими законами. События. Виды событий Одно из базовых понятий тервера уже озвучено выше – это событие. События бывают достоверными, невозможными и случайными. Достоверным называют событие, которое в результате испытания (осуществления определенных действий, определённого комплекса условий) обязательно произойдёт. Например, в условиях земного тяготения подброшенная монета непременно упадёт вниз. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания. Пример невозможного события: в условиях земного тяготения подброшенная монета улетит вверх. И, наконец, событие называется случайным, если в результате испытания оно может, как произойти, так и не произойти, при этом должен иметь место принципиальный критерий случайности: случайное событие – есть следствие случайных факторов, воздействие которых предугадать невозможно или крайне затруднительно. Пример: в результате броска монеты выпадет «орёл». В рассмотренном случае случайные факторы – это форма и физические характеристики монеты, сила/направление броска, сопротивление воздуха и т.д. Подчёркнутый критерий случайности очень важен – так, например, карточный шулер может очень ловко имитировать случайность и давать выигрывать жертве, но ни о каких случайных факторах, влияющих на итоговый результат, речи не идёт. Любой результат испытания называется исходом, который, собственно и представляет собой появление определённого события. В частности, при подбрасывании монеты возможно 2 исхода (случайных события): выпадет орёл, выпадет решка. Естественно, подразумевается, что данное испытание проводится в таких условиях, что монета не может встать на ребро или, скажем, зависнуть в невесомости. События (любые) обозначают большими латинскими буквами ![]() ![]() ![]() Запишем следующие случайные события: ![]() ![]() ![]() Да, события прямо так и записывают в практических задачах, при этом в уместных случаях удобно использовать «говорящие» подстрочные индексы (хотя можно обойтись и без них). Следует в третий раз подчеркнуть, что случайные события обязательно удовлетворяют вышеприведённому критерию случайности. В этом смысле снова показателен 3-й пример: если из колоды изначально удалить все карты трефовой масти, то событие ![]() ![]() Таким образом, при розыгрыше важного жребия всегда есть смысл невзначай посмотреть, а не одинаковы ли грани монеты ;-) Другая важная характеристика событий – это их равновозможность. Два или бОльшее количество событий называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например: выпадение орла или решки при броске монеты; выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика; извлечение карты трефовой, пиковой, бубновой или червовой масти из колоды. При этом предполагается, что монета и кубик однородны и имеют геометрически правильную форму, а колода хорошо перемешана и «идеальна» с точки зрения неразличимости рубашек карт. Могут ли быть те же события не равновозможными? Могут! Например, если у монеты или кубика смещён центр тяжести, то гораздо чаще будут выпадать вполне определённые грани. Как говорится, ещё одна лазейка для мошенников. События ![]() Тем не менее, в рассмотренных трёх случаях при потере равновозможности всё же сохраняется случайность событий. Совместные и несовместные события. Противоположные события. Полная группа событий События называют несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из событий исключает появление других событий. Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой вверху. Например: ![]() ![]() Совершено ясно, что в отдельно взятом испытании появление орла исключает появление решки (и наоборот), поэтому данные события и называются несовместными. Противоположные события легко формулируются из соображений элементарной логики: ![]() ![]() Либо пять, либо не пять – третьего не дано, т.е. события несовместны и противоположны. Аналогично – или трефа или карта другой масти: ![]() ![]() Множество несовместных событий образуют полную группу событий, если в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий. Очевидно, что любая пара противоположных событий (в частности, примеры выше) образует полную группу. Однако в различных задачах с одним и тем же объектом могут фигурировать разные события, например, для игрального кубика характерно рассмотрение следующего набора: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() События ![]() Ещё одно важное понятие, которое нам скоро потребуется – это элементарность исхода (события). Если совсем просто, то элементарное событие «нельзя разложить на другие события». Например, события ![]() ![]() В примере с картами события ![]() ![]() Таким образом, элементарным исходом здесь считается лишь извлечение какой-то конкретной карты, и, разумеется, 36 несовместных элементарных исходов тоже образуют полную группу событий. Совместные события менее значимы с точки зрения решения практических задач, но обходить их стороной не будем. События называются совместными, если в отдельно взятом испытании появление одного из них не исключает появление другого. Например: ![]() ![]() Если быть совсем лаконичным, одно не исключает другого. Понятие совместности охватывает и бОльшее количество событий: ![]() ![]() ![]() Ситуация, конечно, довольно редкая, но совместное появление всех трёх событий в принципе не исключено. Следует отметить, что перечисленные события совместны и попарно, т.е. может быть только ливень с грозой или грибной дождик, или погромыхает неподалёку на фоне ясного неба. Алгебра событий ВАЖНЕЙШЕЕ ПРАВИЛО: Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий – логическую связку И. 1) Суммой двух событий ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Правило распространяется и на бОльшее количество слагаемых, например, событие ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Примеров масса: События ![]() Событие ![]() Событие ![]() Событие ![]() ![]() Чуть занятнее дело с совместными событиями: Событие ![]() Событие ![]() – или будет только дождь / только гроза / только солнце; – или наступит только какая-нибудь пара событий (дождь + гроза / дождь + солнце / гроза + солнце); – или все три события появятся одновременно. То есть, событие ![]() Второй столп алгебры событий: 2) Произведением двух событий ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монетыи следующие события: ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда: – событие ![]() – событие ![]() – событие ![]() – событие ![]() Нетрудно заметить, что события ![]() ![]() ![]() Это был пример, когда в одном испытании задействовано несколько объектов, в данном случае – две монеты. Другая распространенная в практических задачах схема – это повторные испытания, когда, например, один и тот же игральный кубик бросается 3 раза подряд. В качестве демонстрации рассмотрим следующие события: ![]() ![]() ![]() Тогда событие ![]() …Понимаю, что, возможно, разбираются не очень интересные примеры, но это часто встречающиеся в задачах вещи и от них никуда не деться. Помимо монетки, кубика и колоды карт вас поджидают урны с разноцветными шарами, несколько анонимов, стреляющих по мишени, и неутомимый рабочий, который постоянно вытачивает какие-то детали =) Вероятность события Обозначения. Вероятность некоторого события ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Также для обозначения вероятности широко используется маленькая буква ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Данный вариант популярен при решении практических задач, поскольку позволяет заметно сократить запись решения. Как и в первом случае, здесь удобно использовать «говорящие» подстрочные/надстрочные индексы. Все уже давно догадались о числах, которые я только что записал выше, и сейчас мы узнаем, как они получились: Классическое определение вероятности: Вероятностью наступления события ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При броске монеты может выпасть либо орёл, либо решка – данные события образуют полную группу, таким образом, общее число исходов ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично – в результате броска кубика может появиться ![]() ![]() ![]() ![]() Особое внимание обращаю на третий пример. Здесь будет некорректным сказать «раз в колоде 4 масти, то вероятность извлечения трефы ![]() ![]() ![]() Вероятности можно выразить и в процентах, например: вероятность выпадение орла равна ![]() ![]() ![]() Принято использовать доли единицы, и, очевидно, что вероятность может изменяться в пределах ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ! Если в ходе решения любой задачи у вас получилось какое-то другое значение вероятности – ищите ошибку! При классическом подходе к определению вероятности крайние значения (ноль и единица) получаются посредством точно таких же рассуждений. Пусть из некой урны, в которой находятся 10 красных шаров, наугад извлекается 1 шар. Рассмотрим следующие события: ![]() ![]() Общее количество исходов: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Особый интерес представляют события, вероятность наступления которых чрезвычайно мала. Хоть такие события и являются случайными, для них справедлив следующий постулат: в единичном испытании маловозможное событие не произойдёт. теорема: Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, равна единице. Грубо говоря, если события образуют полную группу, то со 100%-й вероятностью какое-то из них произойдёт. В самом простом случае полную группу образуют противоположные события, например: ![]() ![]() По теореме: ![]() Совершенно понятно, что данные события равновозможны и их вероятности одинаковы ![]() По причине равенства вероятностей равновозможные события часто называют равновероятными. А вот и скороговорка на определение степени опьянения получилась =) Пример с кубиком: события ![]() ![]() Рассматриваемая теорема удобна тем, что позволяет быстро найти вероятность противоположного события. Так, если известна вероятность ![]() ![]() Это гораздо проще, чем суммировать вероятности пяти элементарных исходов. Для элементарных исходов, к слову, данная теорема тоже справедлива: ![]() События ![]() ![]() ![]() Ну и на закуску колода: поскольку нам известна вероятность ![]() ![]() Заметьте, что рассмотренные пары событий ![]() ![]() В упрощенной версии записи решения вероятность противоположного события стандартно обозначается строчной буквой ![]() ![]() ![]() книга, и для самостоятельной работы: 1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика 2) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике |