работакр. КР часть1 Расчет ТДП (2018) (1). Термодинамические процессы с идеальными
 Скачать 1.4 Mb.
|
|
показателя адиабаты или коэффициента Пуассона. Поскольку из уравнения Майера (3.42) следует, что c p > c v , показатель адиабаты всегда больше единицы: k > 1. Молекулярно-кинетическая теория газов позволяет рассчитать значения показателя адиабаты. С учетом формулы (3.46) получаем: p v i+2 R c i+2 2 k= = = , i c i R 2 (37) где i – число степеней свободы молекулы газа. Результаты расчетов показателя адиабаты k по формуле (37) представлены в таблице 1. Таблица 1 – Показатель адиабаты идеальных газов согласно молекулярно- кинетической теории газов 21 Атомность газа Число степеней свободы, i k Одноатомный i = 3 пост. 1,67 Двухатомный i = 3 пост. + 2 вр. 1,4 Трех- и многоатомный i = 3 пост.+ 3 вр. 1,33 Уравнение адиабаты устанавливает следующую связь между параметрами: 1) взаимосвязь между давлениями и объемами 1 k k k k 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 p v v p p v =p v , = , = p v v p . (38) 2) взаимосвязь между температурами и давлениями Воспользуемся Обобщенным законом Бойля - Мариотта и Гей – Люссака (2.4): 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 p v p v T p v = = T T T p v . (39) Заменяя в выражении (39) v 1 /v 2 уравнением (38), получим: 1 k-1 - k k 1 1 1 1 2 2 2 2 T p p p = = T p p p . (40) 3) взаимосвязь между температурами и объемами Заменяя в выражении (39) p 1 /p 2 уравнением (38), получим: 22 k k-1 1 1 2 2 2 2 1 1 T v v v = = T v v v . (41) б) Изменения калорических параметров состояния: изменениевнутренней энергии определяется по общей формуле (1); изменениеэнтальпии определяется по общей формуле (2) изменениеэнтропии в адиабатном процессе равно 0 (δq = 0): 2 1 T 2 1 T δq Δs=s -s = =0. T (42) Адиабатный процесс является изоэнтропным. в) Работа процесса: Термодинамическая работа. Для того чтобы определить термодинамическую работу адиабатного процесса по формуле (7) необходимо в явном виде задать зависимость p(v): k k k 1 1 2 2 k 1 1 k pv =const=p v =p v p v p= v . (43) Подставляя выражение (43) в формулу (7), получим: 23 2 2 1 1 v v k k 1 1 терм 1 1 k k-1 k-1 2 1 v v 1 1 2 2 p v dv 1 1 = pdv p v = - = v 1-k v v 1 = p v -p v k-1 . (44) Используя уравнение состояния идеального газа и формулы (38) – (41), легко получить следующие выражения для термодинамической работы адиабатного процесса: терм 1 2 R = T -T k-1 , (45) k-1 k-1 k 1 1 2 1 1 терм 1 2 p v p RT v = 1- = 1- k-1 p k-1 v . (46) Из I-го закона термодинамики следует: терм терм q=Δu+ =0 =-Δu . (47) В адиабатном процессе термодинамическая работа равна изменению внутренней энергии, взятому с обратным знаком. Т.е. в адиабатном процессе вся работа расширения совершается за счет уменьшения внутренней энергии. 24 Располагаемая (потенциальная) работа. Из уравнения (34) следует: терм расп k pdv=-vdp k δ =δ , (48) т.е. в адиабатном процессе располагаемая работа в k раз больше термодинамической. С учетом формул (44) – (46) получаем следующие выражения для расчета располагаемой работы: расп 1 1 2 2 1 2 k k = p v -p v = R T -T k-1 k-1 . (49) Из I-го закона термодинамики следует: расп расп q=Δh+ =0 =-Δh . (50) В адиабатном процессе располагаемая работа равна изменению энтальпии, взятому с обратным знаком. Т.е. в адиабатном процессе вся располагаемая работа совершается за счет уменьшения энтальпии. г) Количество теплоты, подведенной (отведенной) в адиабатном процессе по определению равно 0: 2 1 T T q= cdT=0. (51) 25 е) Графическое изображение процесса в pv- и Ts- координатах. Изображение адиабатного процесса представлено на рисунке 4. l терм > 0 l т ер м < 0 l расп > 0 l расп < 0 P v T s 1 1 2 2 2' 2' Рисунок 4 – Адиабатный процесс pv- диаграмма. Согласно уравнению (36) адиабата представляет собой неравнобокую гиперболу. При адиабатном расширении (процесс 1-2) вся термодинамическая работа расширения совершается за счет уменьшения внутренней энергии, т.е. уменьшения температуры. При сжатии (процесс 1-2’) внутренняя энергия увеличивается и температура возрастает. Располагаемая работа при адиабатном расширении (процесс 1-2) совершается за счет уменьшения энтальпии газа. Ts- диаграмма. Поскольку q = 0 и энтропия газа не изменяется s = с onst адиабатный процесс в Ts- координатахизображается вертикальной линией. 26 3 Политропные процессы c = const Политропным называется процесс, протекающий с постоянной теплоемкостью 𝐜 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭. а) Уравнение процесса Из I-го закона термодинамики вытекает p p v v δq=c dT c dT=c dT-v dp δq=dh-v dp dh=c dT δq=du+p dv c dT=c dT+p dv du=c dT (52) Разделив первое уравнение на второе, получим: p v p v c-c dT v dp =- c-c dT p dv c-c v dp =- c-c p dv v dp n=- , p dv (53) где p v c-c n= =const. c-c (54) Разделим переменные: 27 dv dp n =- v p (55) Интегрируя уравнение (55), получим: n n ln v+ln p=const ln pv =const. (56) В окончательном виде уравнение политропы выглядит так: n pv =const, (57) где 𝐧 − показатель политропы. Показатель политропы является характеристикой процесса. Он может принимать любые значения n = −∞; +∞ .Однако, в конкретном процессе (1- 2) n, c, c p , c v = сonst. В ряде случаев политропный процесс является удачной схемой для описания процессов, происходящих в тепловых машинах. Физический смысл показателя политропы. Из (53) получим: расп расп терм терм δ -v dp n= = = p dv δ . (58) Это значит, что постоянный показатель политропы в процессе (1-2) равен отношению потенциальной работы к термодинамической работе. 28 Графический смысл показателя политропы. Уравнение (56) показывает, что в логарифмической системе координат политропа изображается прямой линией, тангенс угла наклона которой равен показателю политропы (рисунок 5): 1 2 1 2 2 1 2 1 ln p p ln p -ln p n= = =tg α. ln v v ln v -ln v (59) Уравнение (59) позволяет численно определить показатель политропы для данного процесса. Зная показатель политропы, из выражения (54) можно рассчитать величину теплоемкости рассматриваемого процесса: v n-k c=c const n-1 . (60) При соответствующем выборе n формула (60) дает значения теплоемкостей для рассмотренных ранее частных процессов. Зависимость теплоемкости политропных процессов от значения показателя политропы представлена на рисунке 6. Уравнение политропы устанавливает следующую связь между параметрами: 1) взаимосвязь между давлениями и объемами 1 n n n n 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 p v v p p v =p v , = , = p v v p . (61) 29 ln P ln v 1 2 ln P 1 ln P 2 ln v 1 ln v 2 Рисунок 5 – Политропный процесс в логарифмической системе координат c v c p c 0 1 k n Рисунок 6 – Зависимость теплоемкости процесса с от показателя политропы n. 30 Поскольку уравнение политропы (57) аналогично уравнению адиабаты (36), вывод выражений взаимосвязи между начальными и конечными параметрами также совершенно аналогичен формулам (39) – (41), только вместо показателя адиабаты k используется показатель политропы n. 2) взаимосвязь между температурами и давлениями n-1 n 1 1 2 2 T p = T p . (62) 3) взаимосвязь между температурами и объемами n-1 1 2 2 1 T v = T v . (63) б) Изменения калорических параметров состояния: изменениевнутренней энергии определяется по общей формуле (1); изменениеэнтальпии определяется по общей формуле (2) изменениеэнтропии в политропном процессе (см. уравнение (60)): 2 2 2 1 1 1 T T T 2 2 1 v 1 T T T T δq c dT dT n-k Δs=s -s = = =c =c ln T T T n-1 T (64) в) Работа процесса: Термодинамическая работа. 31 Вывод выражений для расчета термодинамической работы такой же, как и для адиабатного процесса (уравнения (43) – (46)), только вместо показателя адиабаты k используется показатель политропы n. 2 1 v терм 1 1 2 2 v 1 = pdv p v -p v n-1 , (65) терм 1 2 R = T -T n-1 , (66) n-1 n-1 n 1 1 2 1 1 терм 1 2 p v p RT v = 1- = 1- n-1 p n-1 v . (67) Располагаемая (потенциальная) работа. Из уравнения (58) следует, что в политропном процессе располагаемая работа в n раз больше термодинамической. С учетом формул (65) – (67) получаем следующие выражения для расчета располагаемой работы: 2 1 p расп 1 1 2 2 p n =- v dp p v -p v n-1 , (68) расп 1 2 n = R T -T n-1 , (69) 32 n-1 n-1 n 1 1 2 1 1 расп 1 2 n p v p n RT v = 1- = 1- n-1 p n-1 v . (70) г) Количество теплоты. С учетом выражения (60), получим: 2 2 1 1 T T v 2 1 T T n-k q= cdT=с dT=c T -T . n-1 (71) е) Графическое изображение процессов в pv- и Ts- координатах. Политропный процесс охватывает все основные термодинамические процессы, протекающие при постоянной теплоемкости. Основные термодинамические процессы (изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный), если они протекают при постоянной теплоемкости, являются частными случаями политропного процесса. Коэффициент распределения энергии α показывает, какая доля подведенной теплоты расходуется на изменение внутренней энергии (нагрев газа): Δu α= q . (72) Значения показателя политропы, теплоемкости и коэффициента распределения энергии для основных термодинамических процессов приведены в таблице 2. 33 Таблица 2 - Характеристики основных термодинамических процессов Процесс Характеристика Показатель политропы p v c-c n= c-c Теплоемкость δq c= dT Коэффициент распределения энергии Δu α= q Изохорный c v 1 Изобарный 0 c p 1 k Изотермический 1 0 Адиабатный k 0 На рисунке 7 изображены все основные термодинамические процессы, проходящие через одну общую центральную точку. А бесконечно большое количество остальных политропных процессов будет расположено между основными процессами. Все эти процессы подчиняются уравнению p v n = сonst . p-v– диаграмма. На pv- диаграмме адиабата ( n = k) проходит круче изотермы ( n = 1), т.к. k > 1. Т.е. при адиабатном расширении давление понижается быстрее, чем при изотермическом, так как в процессе расширения уменьшается температура газа. Изохора (n = ± ) делит все поле диаграммы на две области: процессы расширения газа, которые на pv- диаграмме расположены правее изохоры. Они характеризуются положительной термодинамической работой терм 0 процессы сжатия газа, которые на pv- диаграмме расположены левее изохоры. Они характеризуются отрицательной термодинамической работой терм 0 Изобара (n = 0) также делит все поле диаграммы на две области: 34 процессы с понижением давления газа, которые на pv- диаграмме расположены ниже изобары. Они характеризуются положительной располагаемой работой расп 0 процессы с повышением давления газа, которые на pv- диаграмме расположены выше изобары. Они характеризуются отрицательной располагаемой работой расп 0 Ts– диаграмма. На Ts–диаграмме изохора (n = ± ) проходит круче изобары ( n = 0), т.к. c p > c v Адиабата ( n = k) делит все поле диаграммы на две области: процессы, идущие с подводом теплоты (q > 0), которые на Ts- диаграмме расположены правее адиабаты. процессы, идущие с отводом теплоты (q < 0). Они на Ts- диаграмме расположены левее адиабаты. Изотерма (n = 1) также делит поле диаграммы на две области: процессы с повышением температуры газа, которые на Ts- диаграмме расположены выше изотермы. Они характеризуются возрастанием внутренней энергии и энтальпии. процессы с понижением температуры газа на Ts- диаграмме расположены ниже изотермы. Они характеризуются уменьшением внутренней энергии и энтальпии. Все политропные процессы при расширении можно разделить на три группы по значению n (таблица 3): I группа: n < 1. Это процессы, расположенные над изотермой. Они проходят с увеличением температуры ( dT > 0), а, следовательно, и увеличением внутренней энергии ( ∆u = c v dT > 0 t 2 t 1 ) и энтальпии ( ∆h = c p dT t 2 t 1 > 0). 35 n=0 n=1 n=k n=±∞ n=0 n=1 n=k n=±∞ n=k c=0 n=k c=0 n=±∞ c=c v n=±∞ c=c v n=0 c=c p n=0 c=c p n=1 c=∞ n=1 c=∞ c<0 c<0 l терм > 0 l терм < 0 q > 0 q < 0 l ра сп > 0 l ра сп < 0 u < 0 h < 0 u > 0 h > 0 P v T s Рисунок 7 – Политропные процессы 36 Здесь энтропия увеличивается (d s > 0) и, значит, теплота подводится ( q > 0). Соответственно теплоемкость процесса c = δq dT > 0. Согласно I-му закону термодинамики теплота, подведенная к газу, расходуется на увеличение внутренней энергии и на совершение им работы расширения терм q=Δu+ Таблица 3 – Изменение основных параметров и функций состояния в политропных процессах Изменение величины n <1 1 n > k сжатие расш-е сжатие расш-е сжатие расш-е Давление Δp + - + - + - Объем Δv - + - + - + Температура ΔT - + + - + - Внутренняя энергия Δu - + + - + - Энтальпия Δh - + + - + - Энтропия Δs - + - + + - Теплота q - + - + + - Термодинамическая работа l терм - + |