тесты. Тесты по дисциплине Теоретическая механика модули 18
 Скачать 0.54 Mb.
|
|
7.1. Занятие 13. Теорема об изменении момента количества движения. Момент количества движения (кинетический момент) точки, механической системы, тела. Уравнение вращения тела Источники учебной информации [1], стр [4], стр [5], стр. 172-175; [6], стр. 294-311; [8], стр [10], стр. Технические и программные средства обучения плакаты 1-32, 1-33, 20-28, 20-29, 20-33. Формулы расчета момента количества движения (кинетического момента. Объект Кинетический момент 1. Точка V m r K o O × = – относительно точки О. 2. Механическая система ( ) k k k n 1 k O V m r K × = ∑ = – относительно точки О. 3. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z z z I K ω = – относительно оси Oz вращения тела. 4. Система тел, вращающихся вокруг одной неподвижной оси z z z I K ω = ∑ – относительно Oz вращения тел. Теорема Производная повремени от момента количества движения системы относительно неподвижного центра О равна главному моменту внешних сил, действующих на механическую систему относительно того же центра ( ) ∑ = = n 1 k e k O O F M dt K d . (1) Теорема (1) характеризует вращательное движение системы. Если ось вращения неподвижна, то теорема запишется в скалярной форме ( ) ∑ = = n 1 k e k z z F M dt dK (2) Следствие Если ( ) 0 F M n 1 k e k z = ∑ = , то 1 z 0 z K K = , (3) те. имеем закон сохранения момента количества движения системы относительно неподвижной оси. Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси ( ) ε = ∑ = z n 1 k e k z I F M . (4) План решения задач Выделяем механическую систему. 43 Расставляет внешние силы. Изображаем механическую систему в начальный и конечный момент времени (для точек расставляем вектора V m , для тел показываем направление вращения. Определяет величину ( ) ∑ = n 1 k e k z F M : ( ) 0 F M n 1 k e k z = ∑ = ( ) 0 F M n 1 k e k записываем соотношение (3); определяем величины 1 z 0 z K и K всей механической системы найденные значения 1 z 0 z K и K (подставляем в уравнение (3); решаем полученное уравнение и определяем искомую величину. определяем величину z K всей механической системы найденные значения z K и ( ) ∑ = n 1 k e k подставляем в уравнение (2); решаем полученное дифференциальное уравнение. План работы на занятии Проверить домашнее задание – 5 мин. Ознакомить с темой занятия и необходимой теорией – 15 мин. Решить на занятии задачи [2] 37.39; 37.7; 39.1; 39.5 – 40 мин. Выдать задачи для самостоятельной работы [2] 37.13; 37.49; 39.15; 39.6 – 5 мин. Контроль над самостоятельной работой студентов в конце занятия по компьютерным тестам – 25 мин. 7.2. Занятие 14. Голономные связи. Обобщенные координаты, скорости, силы. Определение потенциальной энергии. Уравнения Лагранжа Источники учебной информации [1], стр [4], сгр.357-387; [5], стр [6], стр [8], стр. 291-357; [10], стр. 361-410. Технические и программные средства обучения плакаты 1-38, 1-47, 1-48, 20-30; приборы ТМ107 №122, СТМ №2. Связи, накладывающие ограничения на положения точек механической системы в пространстве и на направления скоростей, называются голономными или геометрическими. Линейно независимые координаты, которые однозначно определяют положение механической системы в пространстве, являются обобщенными координатами i q механической системы. Каждой обобщенной координате соответствует свое возможное перемещение. Число линейно независимых возможных перемещений системы называется числом степеней свободы механической системы. Число обобщенных координат равно числу степеней свободы механической системы. Производные от обобщенных координат повремени называются обобщенными скоростями Обобщенная сила, соответствующая данной обобщенной координате, равна отношению работы всех сил, приложенных к механической системе, совершаемых на перемещениях, вызванных приращением данной обобщенной координаты, к величине этого приращенья: 44 i i i q A Q δ δ = (1) Потенциальной энергией механической системы в данном положении Μ называется скалярная величина П, равная работе, которую произведут консервативные силы при перемещении системы изданного положения в нулевое (за нулевое положение обычно берется начальное положение системы. Силы Потенциальная энергия 1. Сила тяжести П, где h – кратчайшее расстояние по вертикали между точками. 2. Сила упругости cx F = ( ) 2 0 2 1 l П, где ∆l0 и ∆l1 – начальная и конечная деформация пружины. Для консервативных сил обобщенная сила определяется по формуле i i П. (2) Уравнение Лагранжа города) где Т – кинетическая энергия механической системы. Число уравнений Лагранжа совпадает с числом степеней свободы механической системы. План решения задач Выделяет·механическую систему. Расставляет силы, действующие на механическую систему. Определяем число степеней свободы механической системы. Выбираем обобщенные координаты механической системы. Записываем уравнения Лагранжа города. Определяем обобщенную силу для консервативных сил для неконсервативных сил записываем общую потенциальную энергию всех консервативных сил определяем обобщенную силу по формуле (2) определяем обобщенную силу, соответствующую координате i q : фиксируем все обобщенные координаты, кроме i q ; даем системе возможное перемещение i q δ ; вычисляем работу i A δ всех сил на полученных возможных перемещениях выражаем полученные возможные перемещения точек приложения сил через 45 i q δ ; определяем обобщенную силу по формуле (1) ( S , , 2 , 1 i = ). 7. Определяем кинетическую энергию тел механической системы • исследуем движение каждого тела, • записываем Т для каждого тела в отдельности, выражаем все скорости через обобщенные скорости • записывает T всей механической системы. 8. Определяем q T dt d ; q T ; q T i i i ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 9. Подставляем найденные выражения и выражения обобщенной силы (пункт 6) в уравнения Лагранжа (3). 10. Решаем полученные дифференциальные уравнения. План работы на занятии Проверить домашнее задание – 5 мин. Ознакомить с темой занятия и необходимой теорией – 15 мин. Решить на занятии задачи [2] 46.9; 46.10; 47.5; 47.12; 47.7; 48.30 – 40 мин. Выдать задачи для самостоятельной работы [2] 46.13; 47.7; 48.1; 48.35; [3] РГР (Д, Д, Д) – 5 мин. Контроль над самостоятельной работой студентов в конце занятия по компьютерным тестам – 25 мин. Тесты 7 модуля Твердое тело совершает движение, имея одну закрепленную точку. Тогда число степеней свободы этого тела равно 1 2 + 3 4 5 Материальные точки 1, 2, 3, 4 и 5 движутся в пространстве. На материальную точку 1 наложена связь, уравнение которой имеет вид х + у – 25 = 0. Связь, наложенная на точку 2, имеет вид х + у + z2 – 25t2 ≤ 0. На материальную точку 3 наложена связь, уравнение которой имеет вид х + у + z2 – 25 = 0. Связь, наложенная на точку 4, имеет вид х + у = 25. На материальную точку 5 наложена связь, уравнение которой имеет вид х + z2 – 25 = 0. Тогда голономная неудерживающая связь наложена на точку 1 + 2 3 4 5 Отношение между возможными перемещениями точек Аи В прямолинейного стержня АВ, которые образуют с направлениями стержня соответственно углы 30° и 60°, равно + 0,577 0,867 0,254 0,481 0,365 Зубчатая передача состоит из двух колес с числом зубьев z2 = 2 z1. На колесо 1 действует пара сила с моментом 10 Нм. Тогда в случае равновесия передачи модуль момента пары сил, действующей на колесо 2, равен 46 17 25 31 + 20 14 Грузы 1 и 2 (масса груза 1 в 2 раза меньше массы груза 2) прикреплены к тросу, переброшенному через блок, ось вращения которого неподвижна и горизонтальна. Тогда ускорение грузов равно 2,94 4,83 3,75 2,53 + 3,27 К горизонтальной зубчатой рейке массой 2,5 кг приложена переменная сила F = 9t2. Зубчатое колесо, находящееся в зацеплении с зубчатой рейкой, имеет радиус 0,4 ми момент инерции относительно неподвижной оси вращения, равный 2 кг • м2. Тогда в момент времени 1 с угловое ускорение шестерни равно + 1,5 2,1 0,6 2,5 0,9 На материальную точку 1 наложена связь, уравнение которой имеет вид х + у – 25 = 0. Связь, наложенная на точку 2, имеет вид х + у + z2 – 25t2 = 0. На материальную точку 3 наложена связь, уравнение которой имеет вид х + у + z2 – 25t = 0. Связь, наложенная на точку 4, имеет вид х + у = 25t3. На материальную точку 5 наложена связь, уравнение которой имеет вид х + z2 – 25t4 = 0. Тогда голономная стационарная связь наложена на точку + 1 2 3 4 5 Материальная точка двигается в плоскости Оху по трубке, расположенной вдоль оси Ох. Тогда число степеней свободы этой точки равно + 1 2 3 4 5 Материальная точка свободно двигается в пространстве. Тогда число степеней свободы этой точки равно 1 2 + 3 4 5 Оси вращения двух конических зубчатых колес неподвижны и перпендикулярны. Радиус колеса 1 равен 0,15 м, а радиус колеса 2 равен 0,3 м. Момент инерции колеса 1 относительно оси вращения равен 0,02 кг • м2, а момент инерции колеса 2 относительно оси вращения равен 0,04 кг • м2. На колесо 1 действует момент пары сил равный 0,15 Нм. Тогда угловое ускорение колеса 1 равно 1 2 3 4 + 5 Зубчатое колесо, находящееся в зацеплении с зубчатой рейкой, имеет радиус 0,1 ми момент инерции относительно неподвижной оси вращения, равный 0,01 кг • м2. К шестерне приложена пара сил с моментом равным 1,4 Нм. Масс рейки равна 1 кг. Тогда угловое ускорение шестерни равно 20 + 21 22 23 24 К звездочке 1 цепной передачи велосипеда радиусам приложена пара сил с моментом равным 0,15 Нм. Радиус звездочки 2 равен 0,1 м. Момент инерции звездочки 1 относительно оси вращения равен 0,01кг • м2, а момент инерции звездочки 2 относительно оси вращения равен 0,02 кг • м2. Тогда угловое ускорение звездочки 1 равно 9 + 10 11 12 13 47 Модуль 8 8.1. Занятие 15. Свободные колебания механических систем. Частота и период свободных колебаний. Понятие малых колебаний механической системы Источники учебной информации [1], стр. 555-645; [4], стр [5], стр. 194-220; [6], стр. 406-472; [8], стр. 26-61; [10], стр. Технические и программные средства обучения плакаты 1-40, 1-41, 1-42. Если на механическую систему действуют силы тяжести и силы упругости, то она будет совершать свободные колебания. Сила упругости всегда направлена против деформации пружины и изменяется по закону упр, где с – жесткость пружины l Δ – удлинение пружины. Удлинение, которое получает ненапряженная пружина в положении статического равновесия, называется статическим удлинением ст f ив этом случае ст упр Положение груза в точке О называется положением статического равновесия груза упр. Если точку О принять за начало координат, то дифференциальное уравнение свободных колебаний имеет вид 0 x k x 2 = + , (1) где k – частота свободных колебаний. l o f c ò О P F упр Период свободных колебаний Решение дифференциального уравнения (1) имеет вид ( ) ( ) kt cos C kt sin C x 2 1 + = , (2) где 1 C и 2 C – произвольные постоянные. Колебания, которые возникают при небольших отклонениях системы от положения устойчивого равновесия, являются малыми. Особенности малых колебаний механических систем 48 За начало координат и за нулевой уровень потенциальной энергии принимается положение устойчивого равновесия. Обобщенная координата i q и обобщенная скорость i q в произвольный момент времени являются величинами первого порядка малости. Кинетическая и потенциальные энергии вычисляются с точностью до малых второго порядка ( ) ( ) sin ; 2 Если механическая система содержит пружину, то П для пружины удобно считать по формуле ( ) ( ) 2 cт 2 cт П, (3) так как начало координат относим к положению статического равновесия системы ( λ – удлинение пружины в произвольный момент времени. Величина т f определяется из условия П i i = ∂ ∂ = , (4) где П – общая потенциальная энергия всех консервативных сил, действующих на механическую систему. Определив ст f , упростим общее выражение П, которое затем используем для определения Задачи решаем по плану решения задач занятия 14 с учетом формул (3) и (4). План работы на занятии Проверить домашнее задание – 5 мин. Ознакомить с темой занятия и необходимой теорией – 15 мин. Решить на занятии задачи [2] 54.4 – 40 мин. Выдать задачи для самостоятельной работы [2] 54.5 – 5 мин. Контроль над самостоятельной работой студентов в конце занятия по компьютерным тестам – 25 мин. 8.2. Занятие 16. Свободные затухающе колебания. Их характеристика. Частота и период свободных затухающих колебаний Источники учебной информации [1], стр. 555-645; [4], стр [5], стр. 194-220; [6], стр. 406-472; [8], стр. 26-61; [10], стр. Технические и программные средства обучения плакаты 1-40, 1-41, 1-42. Если на механическую систему, кроме сил тяжести и сил упругости, действует сила сопротивления вида V R μ − = , то имеем свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид 49 0 x k x n 2 x 2 = + + , (1) где n – коэффициент вязкости среды k – частота свободных колебаний. Для решения уравнения (1) составляем характеристическое уравнение 0 k n 2 2 2 = + λ + λ (2) Решение уравнения (2) имеет вид 2 2 2 , 1 k n n − ± − = λ . (3) 1. Если n < k, решение уравнения (1) имеет вид ( ) ( ) ( ) t k sin C t k cos C e x 1 2 1 1 nt + = − , где 2 2 1 n Имеем затухающие периодические колебания с частотой 1 k . Период затухающих колебаний 1 Величина 1 nT называется логарифмическим декрементом затухания. 2. Если n > k, решение уравнения (1) имеет вид 2 , 1 λ <0: t 2 t 1 2 1 e C e C x λ λ + = , где 1 λ и 2 λ – различные корни уравнения (2), причем имеем апериодически затухающие колебания. 3. Если n = k, решение уравнения (1) имеет вид ( ) t C C e x 2 В этом случае имеем затухающие апериодические колебания. Задачи решаем методом уравнений Лагранжа (занятие 14), причем обобщенную силу считаем по формуле П i i + ∂ ∂ − = , (4) где отношение П соответствует потенциальным силам, а ' Q i - неконсервативным силам. План работы на занятии Проверить домашнее задание – 5 мин. Ознакомить с темой занятия и необходимой теорией – 15 мин. Решить на занятии задачи [2] 55.7; 55.12 – 40 мин. Выдать задачи для самостоятельной работы [2] 54.10 – 5 мин. Контроль над самостоятельной работой студентов в конце занятия по компьютерным тестам – 25 мин. 50 Тесты 8 модуля Дифференциальное уравнение колебательного движения материальной точки дано в виде х+ х = 1,5sin(5t + 0,4). Если максимальное значение вынуждающей силы равно 60 Н, то масса точки равна 50 60 20 + 40 15 На тело, которое подвешено к пружине, действует вертикальная вынуждающая сила F = 30sin20t. Если угловая частота собственных колебаний тела равна 25 рад/с, то коэффициент динамичности равен + 2,78 1,96 2,31 1,88 ,27 Дифференциальное уравнение колебательного движения материальной точки имеет вид х + х = 50sin(5t + 0,8). Тогда коэффициент динамичности равен 2,95 + 3,27 2,61 3,87 4,11 На материальную точку массой 0,2 кг, движущуюся со скоростью v G 1 = 10 i G - 2 j G , подействовала ударная сила. Если скорость точки после удара v G 2 = - 6 i G + 8 j G , то значение ударного импульса равно + 3,77 2,81 2,99 4,17 3,23 На материальную точку массой 0,4 кг, движущуюся со скоростью v G 1 = - 3 i G - 4 j G , подействовал ударный импульс s G = 1,8 i G + 2,4 j G . Тогда модуль скорости точки после удара равен 1,4 3,9 + 2,5 3,1 2,9 На материальную точку подействовал ударный импульс s G = 10 i G . Скорость точки до удара v G 1 = - 10 i G , скорость после удара v G 2 = 5 i G . Тогда масса материальной точки равна 0,423 0,732 0.845 + 0, 667 0,587 При прямом ударе материальной точки по неподвижной преграде скорость до удара рана 6 мс. Если коэффициент восстановления равен 0,5, то скорость точки после удара равна 1 2 + 3 4 5 На тело массой 3 кг, которое подвешен к пружине, действует вертикальная вынуждающая сила F = 10sin5t. Если коэффициент динамичности равен 4, то коэффициент жесткости пружины равен 200 50 + 100 300 35 На тело массой 50 кг, которое подвешен к пружине, действует вертикальная вынуждающая сила F = 200sin10t. Если амплитуда вынужденных колебаний равна 0,04 м, то коэффициент жесткости пружины в кН/м равен + 10 9 8 7 6 51 Дифференциальное уравнение вертикального колебательного движения материальной точки на пружине дано в виде х + х = 20sin(6t + 0,7). Если максимальное значение вынуждающей силы равно 80 Н, то коэффициент жесткости пружины равен 55 + 64 78 34 40 Дифференциальное уравнение колебательного движения материальной точки дано в виде х + х = 90sin7t. Тогда угловая частота собственных колебаний точки равна 5 6 7 + 8 9 При прямом ударе материальной точки по неподвижной преграде скорость до удара рана 8 мс, а скорость точки после удара равна 6 мс. Тогда коэффициент восстановления равен 0,65 0,52 + 0,75 0,89 0,49 При прямом ударе материальной точки массой 1 кг по неподвижной преграде скорость до удара рана 2 мс. Если коэффициент восстановления равен 0,6, то потеря кинетической энергии равна + 1,28 1,36 1,15 1,42 1,09 Тело массой 4 кг со скоростью 10 мс ударяет по неподвижному телу массой 100 кг. Тогда модуль ударного импульса впервой фазе удара равен 22,9 + 28,6 32,1 19,2 25,4 |