Математика 4 семестр. Тика 2
![]()
|
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тульский государственный университет» КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 4 семестр ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» 2 вариант Выполнил: ст. Группа ИБ161581 Воробьева М.А Проверил: Соколова М.Ю.Тула 2021 1. Вычислить ![]() ![]() Решение. Выполним схематический чертеж области интегрирования: ![]() Рисунок 1. Расставим пределы интегрирования и перейдем к повторному интегралу. Рассмотрим область ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, ![]() ![]() 2. Вычислить ![]() ![]() Решение. Проекция заданного тела на плоскость xoy:Рассмотрим поверхность ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ![]() Решение. Выполним схематический чертеж области интегрирования: ![]() Рисунок 1. Перейдем к полярной системе координат. ![]() ![]() Площадь области в полярных координатах находится по формуле: ![]() Расставим пределы интегрирования. Переменная ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда искомая площадь будет: ![]() Ответ: ![]() 4. Вычислить объем V тела, ограниченного поверхностями ![]() Решение. Изобразим данное тело и его проекцию на плоскость Оху. ![]() ![]() В прямоугольной системе координат объем пространственной замкнутой области равен тройному интегралу по этой замкнутой области от функции, тождественно равной единице, т.е. объем тела равен ![]() Перейдём в интеграле к цилиндрическим координатам по формулам: ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим поверхность ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() 5. Вычислить тройной интеграл ![]() ![]() Решение. Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам по формулам: ![]() Рассмотрим поверхность ![]() ![]() ![]() переменная ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции ![]() Решение. ![]() Составим уравнения отрезков треугольника: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Согласно формуле: ![]() Находим каждый интеграл: ![]() ![]() ![]() Поэтому ![]() Ответ: ![]() 7. Вычислить поверхностный интеграл первого рода ![]() ![]() Решение. Формула, выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по проекции поверхности S на плоскость Oxy , имеет вид: ![]() В данном случае поверхность интегрирования S часть плоскости ![]() Из уравнения плоскости: ![]() ![]() Вычислим дифференциал поверхности по формуле: ![]() ![]() Сведем вычисление поверхностного интеграла к вычислению двойного интеграла по области D, где D – треугольник АОВ, являющийся проекцией поверхности S на координатную плоскость Оху, рис. ![]() Рис. Рис. Получим, ![]() Ответ: ![]() 8. Найти косинус угла между градиентами скалярных полей ![]() ![]() ![]() Решение. а) Вычислим градиент скалярного поля ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, ![]() б) Вычислим градиент скалярного поля ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Значит, ![]() в) Так как градиент – это вектор, то угол между градиентами скалярных полей найдем по формуле: ![]() Тогда ![]() Ответ: ![]() 9. Найти поток векторного поля ![]() ![]() Решение. ![]() Для вычисления потока воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса, т.к. поверхность замкнутая : ![]() Находим дивергенцию: ![]() переходим к цилиндрическим координатам: ![]() ![]() ![]() Тогда: ![]() ![]() 10. Найти работу силы ![]() ![]() ![]() Решение. Пусть ![]() вдоль пути L , и функции ![]() ![]() ![]() ![]() Находим: ![]() ![]() Получаем: ![]() ![]() 11. В урне находятся 3 белых и 7 черных шаров. Из урны извлекаются 2 шара. Какова вероятность того, что среди них один белый шар. Решение. Общее число выбора 2 шаров из 3+7=10 равно числу сочетаний из 10 по 2, т.е. ![]() Число благоприятных случаев равно числу выбора 1 белого шара из 3, ![]() ![]() ![]() По классическому определению вероятности получаем: ![]() Ответ: ![]() 12. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что хотя бы в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность. Решение. Так как появление ошибки, превышающей заданную точность независим друг от друга, то для вычисления вероятностей используется формула Бернулли: ![]() ![]() Пусть А– событие при трех измерениях хотя бы в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность. Противоположным для заданного события будет событие ![]() Тогда: ![]() Для противоположных событий имеет место формула: ![]() ![]() Ответ: 0,784. 13. На складе находятся 30 деталей, из которых 19 стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Определить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными. Решение. Общее число выбора 2 деталей из 30 равно числу сочетаний из 30 по 2, т.е. ![]() Общее число выбора 2 стандартных деталей из 19 равно числу сочетаний из 19 по 2, т.е. ![]() По классическому определению вероятности получаем: ![]() Ответ: 0,3931. 14. Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 30% продукции, второй – 35%, третий – 35%. В продукции первого завода спешат 10% часов, второго – 20% и третьего – 10%. Найти вероятность того, что купленные часы спешат. Решение. Пусть А событие, состоящее в том, что купленные часы спешат – может произойти совместно с одним из событий-гипотез – часы с первого завода (В1), часы со второго завода (B2), часы с третьего завода (B3). Тогда вероятности: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() По формуле полной вероятности получаем вероятность ![]() Ответ: 0,135. 15. Дано следующее распределение дискретной случайной величины Х
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение. Решение. Математическое ожидание ![]() ![]() ![]() Дисперсию ![]() ![]() ![]() Среднее квадратическое отклонение ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() ![]() |