Контрольная работа 2. Томский государственный университет систем

• Название: Томский государственный университет систем
• Дата: 13.03.2022
• Размер: 339.96 Kb.
• Имя файла: Контрольная работа 2.docx
• Тип: Контрольная работа; #394197

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра автоматизированных систем управления (АСУ)

ОТЧЕТ
Контрольная работа № 2

по дисциплине:
<< Математика>>
Вариант № 9
Выполнил студент:

Специальности: 09.03.01

Группа: з-431П10-2 

Поляков Павел Александрович

2021г.

1. 
   Даны координаты вершин треугольника , , . Запишите общее уравнение средней линии треугольника, параллельной .
   

Решение:


Находим координаты точек средней линии треугольника, параллельной .

, .

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, можно записать в виде , где , , , .

Тогда:

, , ,

.

Ответ: .

2. 
   В прямоугольном треугольнике известны: уравнения медианы , проведенной из вершины прямого угла, и вершина . Найдите координаты вершины треугольника.
   

Решение:



Найдем уравнение прямой , как прямой проходящей через две точки ; , (уравнение с угловым коэффициентом) . Из условия перпендикулярности катетов и , , тогда , уравнение , проходящей через точку будет ; или . Пусть , тогда . Так как - медиана треугольника, проведенная к стороне , то - середина отрезка , координаты этой точки или . Точка принадлежит прямой , тогда ; ; ; ; , тогда координаты вершины треугольника , , т.е. .

Ответ: .

3. 
   Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно оси .
   

Решение:

Данная плоскость параллельна векторам

и , поэтому её вектор нормали

Записываем уравнение плоскости , . Так как плоскость проходит через точку , то , , . Искомое уравнение имеет вид .

Ответ:

4. 
   Найдите коэффициент в уравнении плоскости , проходящей через точки , параллельно прямой .
   

Решение:

Найдем канонические уравнения заданной прямой . Искомая плоскость параллельна вектору и направляющему вектору прямой.

Тогда уравнение плоскости можно записать в виде (с учетом того, что она проходит через ) , или . , сравнивая полученное уравнение с заданным видим, что , , .

Ответ: .

5. 
   При каких значениях параметров и прямая параллельная прямой .
   

Решение: прямые в пространстве параллельны, если параллельны и их направляющие векторы. Найдем канонические уравнения заданных прямых. , пусть , тогда система примет вид , вычитая из первого уравнения второе получим , это уравнение представляем в первом ; ; - параметрические уравнения прямой, тогда канонические уравнения этой прямой . Направляющим вектором этой прямой возьмем . Преобразуем к каноническому виду прямую , пусть , тогда ; . Направляющий вектор этой прямой . Из условия следует, что . Тогда выполняется ; , решая последнюю систему получаем: , .

Ответ: , .

6. 
   Найдите длину отрезка, отсекаемого от оси аппликат, плоскостью, содержащей прямую и отсекающей на осях абсцисс и ординат одинаковой длины отрезки.
   

Решение:





Пусть заданная плоскость пересекает координатные оси в точках ось в , ось в , ось в , из условия . Плоскость параллельна направляющему вектору прямой и вектору или вектору , . Поэтому вектор нормали плоскости . .

Возьмем , , тогда уравнение плоскости вида , точка из условия принадлежит этой плоскости, найдем . ; . Уравнение плоскости . Найдем , точки принадлежащей плоскости, тогда ; . Отсекаемый отрезок на оси , или запишем уравнение плоскости в виде (уравнение плоскости в отрезках) или , как видим, отсекаемые отрезки осью и равны 15, осью 10.

Ответ: 10.

7. 
   Найдите уравнение касательной плоскости к сфере в точке .
   

Решение: преобразуем уравнение , выделяя полные квадраты ; . Центр сферы в точке , . Вектор , где - точка касания, - вектор нормали касательной плоскости . Тогда уравнение этой плоскости , так как точка принадлежит плоскости, то , . Тогда уравнение касательной плоскости или .

Ответ:

8. 
   Дана кривая .
   
   1. 
      Докажите, что эта кривая - гипербола.
      
   2. 
      Найдите координаты её центра симметрии.
      
   3. 
      Найдите действительную и мнимую полуоси.
      
   4. 
      Запишите уравнение фокальной оси.
      
   5. 
      Постройте данную гиперболу.
      

Решение: преобразуем уравнение , выделяя полные квадраты ; . Выделим новую систему координат связанную уравнениями . Получили:

1. 
   - каноническое уравнение гиперболы , .
   
2. 
   Действительная ось , мнимая ось . Действительная полуось , мнимая полуось .
   
3. 
   Уравнение фокальной оси , . и - фокусы гиперболы , , - в системе , , - в системе . , , так как .
   
4. 
   Уравнение асимптот .
   
5. 
   Построение:
   

9. 
   Дана кривая .
   
   1. 
      Докажите, что данная кривая - парабола.
      
   2. 
      Найдите координаты её вершины.
      
   3. 
      Найдите значение её параметра .
      
   4. 
      Запишите уравнение её оси симметрии.
      
   5. 
      Постройте данную параболу.
      

Решение:

Преобразуем исходное уравнение выделяя полные квадраты ; ; ; .

Выделим новую систему координат связанную с . Уравнение примет вид - каноническое уравнение параболы, здесь .

Вершина параболы ; . - ось симметрии. .

Построение:

10. 
    Дана кривая
    
    1. 
       Докажите, что эта кривая – эллипс.
       
    2. 
       Найдите координаты центра его симметрии.
       
    3. 
       Найдите его большую и малую полуоси.
       
    4. 
       Запишите уравнение фокальной оси.
       
    5. 
       Постройте данную кривую.
       

Решение: Приводим квадратичную форму к главным осям. Ее матрица . Записываем характеристическое уравнение этой матрицы , . Его корни , - являются собственными числами, так как , то кривая – эллипс. Координаты собственного вектора, отвечающего числу , удовлетворяют уравнению . В качестве базисного берем вектор . Другой базисный вектор . Записываем матрицу перехода от базиса к . , тогда . Новые координаты связаны со старыми соотношениями , . Уравнение в новой системе или , . После выделения полных квадратов, получаем Перейдем к новой системе координат по формулам . Теперь уравнение примет вид , причем . Решая систему , найдем координаты нового начала в старой системе координат. Строим кривую. Для этого сначала в старой системе строим новую систему координат. Новые оси направленные по прямым и . В системе строим эллипс. Зная уравнение можно дать полную геометрическую характеристику эллипса. Большая полуось равна 3, малая - 1. Расстояние между фокусами . Эксцентриситет . Уравнение фокальной оси .

Построение:






- центр симметрии;

- большая полуось;

- малая полуось;

- фокус.