Расчетно-графическая работа по строительной механике. РГР строительная механика. Требуется Для многопролетной балки сделать кинематический анализ и вывод о ее кинематических и статических признаках

Название	Требуется Для многопролетной балки сделать кинематический анализ и вывод о ее кинематических и статических признаках
Анкор	Расчетно-графическая работа по строительной механике
Дата	03.04.2023
Размер	322.11 Kb.
Формат файла
Имя файла	РГР строительная механика.docx
Тип	Документы #1033663

Вариант 11

Линейные размеры указаны в метрах.

Требуется:

1. Для многопролетной балки сделать кинематический анализ и вывод о ее кинематических и статических признаках.

2. Определить внутренние усилия от неподвижной нагрузки.

3. Определить внутренние усилия от совместного действия неподвижной и временной нагрузок (q_вр= 3,5 кН/м).

Данные к работе:

l=6 м ; P₁=6 кН ; P₂=12 кН; P₄=11 кН; q₂=3.5 кН/м ; q₄=5.5 кН/м ; q_вр=3.5 кН/м

Звено 1

Силой F₂ обозначим реакцию крайней левой опоры второго звена, отсюда F₂=10.2 кН

F₁=P₂=12 кН; q₁=q₂=3.5кН/м

Реакции опор

Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю:
∑M^B = - R_A(L - L₁ - L₂) + ∑q_i(b_i - a_i)(2L - 2L₂ - a_i - b_i)/2 + ∑F_i(L - L₂ - c_i) - ∑M_i =
= - R_A(L - L₁ - L₂) + q₁(b₁ - a₁)(2L - 2L₂ - a₁ - b₁)/2 + F₁(L - L₂ - c₁) + F₂(L - L₂ - c₂) = - R_A·(10.8 - 3.6 - 1.8) + 3.5·(9 - 5.4)·(2·10.8 - 2·1.8 - 5.4 - 9)/2 + 12·(10.8 - 1.8 - 0) + 10.2·(10.8 - 1.8 - 10.8) =
= - R_A·5.4 + 3.5·3.6·1.8 + 12·9 - 10.2·1.8 =
= - R_A·5.4 + 112.32 = 0 ⇒
⇒ R_A = 112.32/5.4 = 20.8 кН;

Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю:
∑M^A = R_B(L - L₁ - L₂) - ∑q_i(b_i - a_i)(a_i + b_i - 2L₁)/2 - ∑F_i(c_i - L₁) - ∑M_i =
= R_B(L - L₁ - L₂) - q₁(b₁ - a₁)(a₁ + b₁ - 2L₁)/2 - F₁(c₁ - L₁) - F₂(c₂ - L₁) = R_B·(10.8 - 3.6 - 1.8) - 3.5·(9 - 5.4)·(5.4 + 9 - 2·3.6)/2 - 12·(0 - 3.6) - 10.2·(10.8 - 3.6) =
= R_B·5.4 - 3.5·3.6·3.6 - 12·3.6 - 10.2·7.2 =
= R_B·5.4 - 75.6 = 0 ⇒
⇒ R_B = 75.6/5.4 = 14 кН;

Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось:
∑Y = R_A + R_B - ∑q_i(b_i - a_i) - ∑F_i =
= R_A + R_B - q₁(b₁ - a₁) - F₁ - F₂ =
= 20.8 + 14 - 3.5·(9 - 5.4) - 12 - 10.2 =
= 20.8 + 14 - 12.6 - 12 - 10.2 = 0;

Построение эпюр

Составим аналитические выражения Q(z) и M(z) для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.

Участок I (0 ≤ z ≤ 3.6):

Поперечная сила Q:
Q_I(z) = - F₁ =
= -12;

Значения Q на краях отрезка:
Q_I(0) = -12 кН;
Q_I(3.6) = -12 кН;

Изгибающий момент M:
M_I(z) = - F₁(z - c₁) = - 12(z - 0) =
= -12z;

Значения M на краях отрезка:
M_I(0) = -12·0 = 0;
M_I(3.6) = -12·3.6 = -43.2 кНм;

Участок II (3.6 ≤ z ≤ 5.4):

Поперечная сила Q:
Q_II(z) = R_A - F₁ = 20.8 - 12 =
= 8.8;

Значения Q на краях отрезка:
Q_II(3.6) = 8.8 кН;
Q_II(5.4) = 8.8 кН;

Изгибающий момент M:
M_II(z) = R_A(z - L₁) - F₁(z - c₁) = 20.8(z - 3.6)- 12(z - 0) =
= 8.8z - 74.88;

Значения M на краях отрезка:
M_II(3.6) = 8.8·3.6 - 74.88 = -43.2 кНм;
M_II(5.4) = 8.8·5.4 - 74.88 = -27.36 кНм;

Участок III (5.4 ≤ z ≤ 9):

Поперечная сила Q:
Q_III(z) = R_A - q₁(z - a₁) - F₁ = 20.8 - 3.5(z - 5.4) - 12 =
= -3.5z + 27.7;

Значения Q на краях отрезка:
Q_III(5.4) = -3.5·5.4 + 27.7 = 8.8 кН;
Q_III(9) = -3.5·9 + 27.7 = -3.8 кН;

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
Q_III(z) = -3.5z + 27.7 = 0 ⇒
⇒ z₁ = 27.7/3.5 = 7.91429 м;

Изгибающий момент M:
M_III(z) = R_A(z - L₁) - q₁(z - a₁)²/2 - F₁(z - c₁) = 20.8(z - 3.6)- 3.5(z - 5.4)²/2 - 12(z - 0) = 20.8(z - 3.6)- 3.5(z²/2 - 5.4z + 14.58) - 12z =
= -1.75z² + 27.7z - 125.91;

Значения M на краях отрезка:
M_III(5.4) = -1.75·5.4² + 27.7·5.4 - 125.91 = -27.36 кНм;
M_III(9) = -1.75·9² + 27.7·9 - 125.91 = -18.36 кНм;

Локальный экстремум в точке z₁ = 7.91429 м:
M_III(7.91429) = -1.75·7.91429² + 27.7·7.91429 - 125.91 = -16.2971 кНм;

Участок IV (9 ≤ z ≤ 10.8):

Поперечная сила Q:
Q_IV(z) = R_A + R_B - q₁(z - a₁) + q₁(z - b₁) - F₁ = 20.8 + 14 - 3.5(z - 5.4) + 3.5(z - 9) - 12 =
= 10.2;

Значения Q на краях отрезка:
Q_IV(9) = 10.2 кН;
Q_IV(10.8) = 10.2 кН;

Изгибающий момент M:
M_IV(z) = R_A(z - L₁) + R_B(z - L + L₂) - q₁(z - a₁)²/2 + q₁(z - b₁)²/2 - F₁(z - c₁) = 20.8(z - 3.6)+ 14(z - 10.8 + 1.8) - 3.5(z - 5.4)²/2 + 3.5(z - 9)²/2 - 12(z - 0) = 20.8(z - 3.6)+ 14(z - 9) - 3.5(z²/2 - 5.4z + 14.58) + 3.5(z²/2 - 9z + 40.5) - 12z =
= 10.2z - 110.16;

Значения M на краях отрезка:
M_IV(9) = 10.2·9 - 110.16 = -18.36 кНм;
M_IV(10.8) = 10.2·10.8 - 110.16 = 0;

Звено 2

F₁=P₁=6 кН; q₁=q₂=3.5кН/м

Реакции опор

Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю:
∑M^B = - R_A L + ∑q_i(b_i - a_i)(2L - a_i - b_i)/2 + ∑F_i(L - c_i) - ∑M_i =
= - R_A L + q₁(b₁ - a₁)(2L - a₁ - b₁)/2 + F₁(L - c₁) = - R_A·5.4 + 3.5·(5.4 - 1.8)·(2·5.4 - 1.8 - 5.4)/2 + 6·(5.4 - 0) =
= - R_A·5.4 + 3.5·3.6·1.8 + 6·5.4 =
= - R_A·5.4 + 55.08 = 0 ⇒
⇒ R_A = 55.08/5.4 = 10.2 кН;

Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю:
∑M^A = R_B L - ∑q_i(b_i - a_i)(a_i + b_i)/2 - ∑F_ic_i - ∑M_i =
= R_B L - q₁(b₁ - a₁)(a₁ + b₁)/2 - F₁c₁ = R_B·5.4 - 3.5·(5.4 - 1.8)·(1.8 + 5.4)/2 - 6·0 =
= R_B·5.4 - 3.5·3.6·3.6 + 6·0 =
= R_B·5.4 - 45.36 = 0 ⇒
⇒ R_B = 45.36/5.4 = 8.4 кН;

Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось:
∑Y = R_A + R_B - ∑q_i(b_i - a_i) - ∑F_i =
= R_A + R_B - q₁(b₁ - a₁) - F₁ =
= 10.2 + 8.4 - 3.5·(5.4 - 1.8) - 6 =
= 10.2 + 8.4 - 12.6 - 6 = 0;

Построение эпюр

Составим аналитические выражения Q(z) и M(z) для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.

Участок I (0 ≤ z ≤ 1.8):

Поперечная сила Q:
Q_I(z) = R_A - F₁ = 10.2 - 6 =
= 4.2;

Значения Q на краях отрезка:
Q_I(0) = 4.2 кН;
Q_I(1.8) = 4.2 кН;

Изгибающий момент M:
M_I(z) = R_A z - F₁(z - c₁) = 10.2z - 6(z - 0) =
= 4.2z;

Значения M на краях отрезка:
M_I(0) = 4.2·0 = 0;
M_I(1.8) = 4.2·1.8 = 7.56 кНм;

Участок II (1.8 ≤ z ≤ 5.4):

Поперечная сила Q:
Q_II(z) = R_A - q₁(z - a₁) - F₁ = 10.2 - 3.5(z - 1.8) - 6 =
= -3.5z + 10.5;

Значения Q на краях отрезка:
Q_II(1.8) = -3.5·1.8 + 10.5 = 4.2 кН;
Q_II(5.4) = -3.5·5.4 + 10.5 = -8.4 кН;

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
Q_II(z) = -3.5z + 10.5 = 0 ⇒
⇒ z₁ = 10.5/3.5 = 3 м;

Изгибающий момент M:
M_II(z) = R_A z - q₁(z - a₁)²/2 - F₁(z - c₁) = 10.2z - 3.5(z - 1.8)²/2 - 6(z - 0) = 10.2z - 3.5(z²/2 - 1.8z + 1.62) - 6z =
= -1.75z² + 10.5z - 5.67;

Значения M на краях отрезка:
M_II(1.8) = -1.75·1.8² + 10.5·1.8 - 5.67 = 7.56 кНм;
M_II(5.4) = -1.75·5.4² + 10.5·5.4 - 5.67 = 0;

Локальный экстремум в точке z₁ = 3 м:
M_II(3) = -1.75·3² + 10.5·3 - 5.67 = 10.08 кНм;

Звено 3

Силой F₁= 8,4 кН обозначим реакцию крайней правой опоры второго звена

Реакции опор

Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю:
∑M^B = - R_A(L - L₁) + ∑q_i(b_i - a_i)(2L - a_i - b_i)/2 + ∑F_i(L - c_i) - ∑M_i =
= - R_A(L - L₁) + F₁(L - c₁) = - R_A·(7.2 - 3.6) + 8.4·(7.2 - 0) =
= - R_A·3.6 + 8.4·7.2 =
= - R_A·3.6 + 60.48 = 0 ⇒
⇒ R_A = 60.48/3.6 = 16.8 кН;

Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю:
∑M^A = R_B(L - L₁) - ∑q_i(b_i - a_i)(a_i + b_i - 2L₁)/2 - ∑F_i(c_i - L₁) - ∑M_i =
= R_B(L - L₁) - F₁(c₁ - L₁) = R_B·(7.2 - 3.6) - 8.4·(0 - 3.6) =
= R_B·3.6 - 8.4·3.6 =
= R_B·3.6 + 30.24 = 0 ⇒
⇒ R_B = -30.24/3.6 = -8.4 кН;

Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось:
∑Y = R_A + R_B - ∑q_i(b_i - a_i) - ∑F_i =
= R_A + R_B - F₁ =
= 16.8 - 8.4 - 8.4 = 0;

Построение эпюр

Составим аналитические выражения Q(z) и M(z) для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.

Участок I (0 ≤ z ≤ 3.6):

Поперечная сила Q:
Q_I(z) = - F₁ =
= -8.4;

Значения Q на краях отрезка:
Q_I(0) = -8.4 кН;
Q_I(3.6) = -8.4 кН;

Изгибающий момент M:
M_I(z) = - F₁(z - c₁) = - 8.4(z - 0) =
= -8.4z;

Значения M на краях отрезка:
M_I(0) = -8.4·0 = 0;
M_I(3.6) = -8.4·3.6 = -30.24 кНм;

Участок II (3.6 ≤ z ≤ 7.2):

Поперечная сила Q:
Q_II(z) = R_A - F₁ = 16.8 - 8.4 =
= 8.4;

Значения Q на краях отрезка:
Q_II(3.6) = 8.4 кН;
Q_II(7.2) = 8.4 кН;

Изгибающий момент M:
M_II(z) = R_A(z - L₁) - F₁(z - c₁) = 16.8(z - 3.6)- 8.4(z - 0) =
= 8.4z - 60.48;

Значения M на краях отрезка:
M_II(3.6) = 8.4·3.6 - 60.48 = -30.24 кНм;
M_II(7.2) = 8.4·7.2 - 60.48 = 0;

Звено 4

Силой F1=-8.4 кН обозначим реакцию крайней правой опоры третьего звена

q₁=q₄=5.5 кН/м ; F₂=P₄=11 кН

Реакции опор

Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю:
∑M^B = M_B + ∑q_i(b_i - a_i)(2L - a_i - b_i)/2 + ∑F_i(L - c_i) - ∑M_i =
= M_B + q₁(b₁ - a₁)(2L - a₁ - b₁)/2 + F₁(L - c₁) + F₂(L - c₂) = M_B + 5.5·(3.6 - 0)·(2·5.4 - 0 - 3.6)/2 - 8.4·(5.4 - 0) + 11·(5.4 - 3.6) =
= M_B + 5.5·3.6·3.6 - 8.4·5.4 + 11·1.8 =
= M_B + 45.72 = 0 ⇒
⇒ M_B = -45.72 кНм;

Сумма проекций всех сил на вертикальную ось должна равняться нулю:
∑Y = R_B - ∑q_i(b_i - a_i) - ∑F_i =
= R_B - q₁(b₁ - a₁) - F₁ - F₂ = R_B - 5.5·(3.6 - 0) + 8.4 - 11 =
= R_B - 5.5·3.6 + 8.4 - 11 =
= R_B - 22.4 = 0 ⇒
⇒ R_B = 22.4 кН;

Для проверки вычислим сумму моментов всех сил относительно точки A:
∑M^A = M_B + R_B L - ∑q_i(b_i - a_i)(a_i + b_i)/2 - ∑F_ic_i - ∑M_i =
= M_B + R_B L - q₁(b₁ - a₁)(a₁ + b₁)/2 - F₁c₁ - F₂c₂ = -45.72 + 22.4·5.4 - 5.5·(3.6 - 0)·(0 + 3.6)/2 + 8.4·0 - 11·3.6 =
= -45.72 + 120.96 - 35.64 + 0 - 39.6 = 0;

Построение эпюр

Составим аналитические выражения Q(z) и M(z) для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.

Участок I (0 ≤ z ≤ 3.6):

Поперечная сила Q:
Q_I(z) = - q₁(z - a₁) - F₁ = - 5.5(z - 0) + 8.4 =
= -5.5z + 8.4;

Значения Q на краях отрезка:
Q_I(0) = -5.5·0 + 8.4 = 8.4 кН;
Q_I(3.6) = -5.5·3.6 + 8.4 = -11.4 кН;

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
Q_I(z) = -5.5z + 8.4 = 0 ⇒
⇒ z₁ = 8.4/5.5 = 1.52727 м;

Изгибающий момент M:
M_I(z) = - q₁(z - a₁)²/2 - F₁(z - c₁) = - 5.5(z - 0)²/2 + 8.4(z - 0) = - 5.5z²/2 + 8.4z =
= -2.75z² + 8.4z;

Значения M на краях отрезка:
M_I(0) = -2.75·0² + 8.4·0 = 0;
M_I(3.6) = -2.75·3.6² + 8.4·3.6 = -5.4 кНм;

Локальный экстремум в точке z₁ = 1.52727 м:
M_I(1.52727) = -2.75·1.52727² + 8.4·1.52727 = 6.41455 кНм;

Участок II (3.6 ≤ z ≤ 5.4):

Поперечная сила Q:
Q_II(z) = - q₁(z - a₁) + q₁(z - b₁) - F₁ - F₂ = - 5.5(z - 0) + 5.5(z - 3.6) + 8.4 - 11 =
= -22.4;

Значения Q на краях отрезка:
Q_II(3.6) = -22.4 кН;
Q_II(5.4) = -22.4 кН;

Изгибающий момент M:
M_II(z) = - q₁(z - a₁)²/2 + q₁(z - b₁)²/2 - F₁(z - c₁) - F₂(z - c₂) = - 5.5(z - 0)²/2 + 5.5(z - 3.6)²/2 + 8.4(z - 0) - 11(z - 3.6) = - 5.5z²/2 + 5.5(z²/2 - 3.6z + 6.48) + 8.4z - 11(z - 3.6) =
= -22.4z + 75.24;

Значения M на краях отрезка:
M_II(3.6) = -22.4·3.6 + 75.24 = -5.4 кНм;
M_II(5.4) = -22.4·5.4 + 75.24 = -45.72 кНм;

Сечение 1

M_1max=0 кН·м

_Q_1max=0 кН
_{Сечение}₂

Расчет V_A

V_A =3.5∙(0.7+0.2) ∙3.6∙0.5=17.01 kH

V_A_max=3.5∙(5.4+7.2)=44.1 H

V_Amin=0kH

Расчет V_E

V_E=-12∙0.7+3.5∙1.3∙0.5∙3.6+6∙1.3+0.87∙3.5∙3.6∙0.5=14 kH

V_E_max= -3.5∙0.7∙3.6=-8.82 kH

V_E_min=3.5 ∙(7.2+13.5) ∙0.5∙1.3=28.67kH