scilab учебник. Учебник Scilab. Учебник Для студентов по дисциплин Базовые средства математических пакетов

• Название: Учебник Для студентов по дисциплин Базовые средства математических пакетов
• Анкор: scilab учебник
• Дата: 05.05.2022
• Размер: 5.73 Mb.
• Имя файла: Учебник Scilab.pdf
• Тип: Учебник; #513983
• страница: 8 из 21

=size(А,1),
nm=size(А,2),
nm=size(А,"*").
Возвращаемое значение в этом случае определяется вторым параметром функции:

при
l
возвращается число строк;

при
2
возвращается число столбцов;

при
"*"
возвращается общее число элементов в матрице, равное числу строк, умноженному на число столбцов.
Создание массивов ячеек
Создать
массив
ячеек можно с помощью операции фигурные скобки –
{}
или функции
cell

83
При наличии данных для ввода в массив ячеек, можно создать массив, используя операцию конструирования массива ячеек
{}
(рис. 1.3.2-8).
-->
// Создание массива ячеек
-->
-->
// Пример1
--> myCell = {1,2,3; 'текст', rand(5,10), {11; 22; 33}} myCell =
[1x1 constant] [ 1x1 constant] [1x1 constant]
[1x1 string ] [5x10 constant] [3x1 cell ]
-->
-->
// Пример2
--> C = {}
C =
{}
-->
-->
// Пример3
--> emptyC = cell(3, 4) emptyC =
[0x0 constant] [0x0 constant] [0x0 constant] [0x0 constant]
[0x0 constant] [0x0 constant] [0x0 constant] [0x0 constant]
[0x0 constant] [0x0 constant] [0x0 constant] [0x0 constant]
Рис. 1.3.2-8. Создание массива ячеек с использованием
{}
и функции
cell
Как и все массивы Scilab, массивы ячеек
– прямоугольные, с одинаковым количеством ячеек в каждой строке. Матрица
myCell
(
Пример1
) представляет со- бой массив ячеек размером
2×3
Операцию конструирования ячеек можно использовать для создания пу- стого массива ячеек
{}
–
Пример2
Чтобы добавить значения в массив ячеек, вначале нужно создать пу- стой массив. Для этого в
Примере3
используется функция
cell(3х4)
. В резуль- тате чего массив
emptyC
представляет собой массив ячеек размером
3×4
, где каждая ячейка содержит пустой массив
[]
–
Пример3
1.3.3. Индексирование и векторизация
Понятия индексирования и векторизации
Индексирование матриц является средством доступа к подмножеству элементов матриц, которое позволяет извлекать из матриц подмножества их элементов, присваивать извлеченное из матриц подмножество новым матри- цам и модифицировать подмножество элементов существующих матриц.
В Scilab имеется несколько способов индексирования, которые влияют не только на скорость выполнения программного кода, но и на его читаемость.

84
Таким образом, индексирование является ключевым моментом эффективно- сти использования средств пакета Scilab при реализации матричных операций.
Причем индексирование тесно связано с понятием векторизации [
12
].
Векторизация означает использование таких конструкций программ- ной системы, которые позволяют отказаться от операторов
for
,
whil
e
и других, используемых для организации явных циклов программы. Причем векториза- ция обычно приводит к тому, что программа начинает работать быстрее. Боль- шинство из возможных подходов к векторизации используется и при индекси- ровании матриц Scilab.
Обычно поэлементные операции над матрицами выполняются для всех элементов матриц одного размера (одинаковой размерностью и с одинаковым числом элементов по каждому измерению).
В некоторых случаях возможно выполнять операции над матрицами разного размера за счёт неявного расши-
рения одной из матриц, которое является одним из элементов векторизации.
Следует помнить, что нумерация элементов матрицы в строках и столбцах начина-
ется с
1
, а также, что операция
[]
и соответствующие функции всегда создают дву-
мерную матрицу, включая матрицы
0×0, 0×n, n×0, 1×1 и 1×n
Индексирование векторов
Индексирование векторов – это стандартный подход к индексирова- нию одним индексом, который используется во всех языках программирова- ния:
V1(НомерЭлементаСтроки)
V2(НомерЭлементаСтолбца),
где
V1 –
вектор строка
, V2 –
вектор столбец и
V2=V1
'
.
Рассмотрим
Примеры1-11
на рис. 1.3.3-1, иллюстрирующие особенности использования индексации в Scilab.
--> // Примеры индексирования векторов
-->
--> vA1 = [40 5 13 4 2 11 7 14] // Создание вектора 1×8
-->
--> // Пример1 Доступ к одному элементу вектора
--> vA1(3) // Доступ к третьему элементу вектора ans =
13.
-->
--> // Пример2 Доступ к нескольким элементам вектора
--> vA1([1 5 6]) // Доступ к 1, 5 и 6 элементам вектора ans =

85 40. 2. 11.
-->
--> // Пример3 Доступ от 3-го до 7-го элемента вектора
--> vA1(3:7) ans =
13. 4. 2. 11. 7.
-->
-->// Пример4 Доступ, извлечение и создание нового вектора
--> vA2 = vA1([5:8, 1:4]) vA2 =
2. 11. 7. 14. 40. 5. 13. 4.
-->
--> // Пример5 Доступ к последнему элементу вектора
--> vA1($) ans =
14.
-->
--> // Пример6 Доступ от 5-го элемента вектора до последнего
--> vA1(5:$)
ans =
2. 11. 7. 14.
-->
--> //Пример7 Использование $ в арифметических операциях
--> vA1(2:$ - 1) //Доступ от 2-го до7-го элемента (предпоследнего)
ans =
5. 13. 4. 11. 7.
-->
--> // Пример8 Доступ ко всем нечетным элементам вектора
--> vA1(1:2:$)
40. 13. 2. 7.
--> // Пример9 Обратный порядок доступа к элементам вектора
--> vA1($:-1:1) ans =
14. 7. 11. 2. 4. 13. 5. 40.
--> // Пример10 Модификация элементов существующего вектора
--> vA1([2 3 4]) = [10 15 20] vA1 =
40. 10. 15. 20. 2. 11. 7. 14.
-->
--> // Пример11Скалярное расширение (присвоение значение 30 2 и 3 элементу)
--> vA3([2 3])' = 30 // Замена 2-го и 3-го элементов на значение 30 vA3 =
0.
30.
30.
Рис. 1.3.3-1. Примеры векторного индексирования
Стандартное индексирование матриц

86
Стандартное индексирование матриц реализуется с помощью двух индексов. Матричное стандартное индексирование предполагает использова- ние двух индексов, разделенных запятой – первой для строк, а второй для столбцов, причем не надо забывать, что индексирование начинается с
1
:
mA(НомерЭлементаСтроки, НомерЭлементаСтолбца).
Создадим матрицу
mA(4,4)
и проиллюстрируем на ней использование матричной индексации (
Примеры 1-4
на рис. 1.3.3-2).
--> // Примеры матричной индексации
-->
--> mA = [16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1] mA =
16. 2. 3. 13.
5. 11. 10. 8.
9. 7. 6. 12.
4. 14. 15. 1.
-->
--> // Пример1 Доступ к одному элементу в строке 2 и столбце 4
--> mA(2, 4) ans =
8.
-->
--> // Пример2 Доступ к подмножеству элементов (индексы являются векторами)
--> mA(2:4, 1:2) ans =
5. 11.
9. 7.
4. 14.
-->
--> // Пример3 Доступ к элементам 3-ей строки, используя операцию :
-->
--> A(3, :) ans =
9. 7. 6. 12.
-->
--> // Пример4 Доступ к последнему столбцу
--> mA(:, $) ans =
13.
8.
12.
1.
Рис. 1.3.3-2. Примеры стандартной матричной индексации
Векторное (линейное) индексирование матриц

87
Линейное векторное индексирование матриц, это такое индексирование матриц, при котором индексирование ее элементов осуществляется только од- ним индексом. В этом случае матрицу рассматривают как суммарный вектор, составленный из векторов матрицы, то есть вектор, в котором все элементы матрицы вытянуты в один длинный вектор-столбец, где каждый следующий столбец индексируемой матрицы следует за предыдущим столбцом
(рис. 1.3.3-3). Так на самом деле матрица хранится в памяти (в нашем случае это последовательность: 1 5 9 2 6 10 37 11 4 8 12). Следовательно, двумерные массивы располагаются в Рабочей области данных по столбцам.
Значения элементов Линейные индексы
Матрица
mA
1 5
9 2
6 10 3
7 11 4
8 12 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11 12
i/j 1 2
3 4
1 1
2 3
4 2
5 6
7 8
3 9 10 11 12
Рис. 1.3.3-3. Элементы матрицы и их линейные индексы
Индексирование матриц одним индексом называется линейным
векторным индексированием матриц. Например, выражение
mA(8)
просто извлекает
8
-й элемент неявного вектора-столбца.
Примеры линейного индексирования матриц приведены на рис. 1.3.3-4.
--> // Примеры линейной матричной индексации
-->
--> mA = [16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1];
--> // Пример1
--> mA([2 7 16]) // Доступ ко 2-му, 7-му и 16-му элементу линейной матрицы ans =
5.
7.
1.
--> // Пример2 Преобразование
индексы
матрицы в линейные индексы
--> idmA = sub2ind(size(mA), [2 3 4], [1 2 4]) idmA =
2. 7. 16.
--> mA(idmA) ans =
5.
7.
1.

88
--> // Пример3 Преобразование из матричного представление в векторное
--> A = [2 6 9; 4 2 8; 3 5 1];
--> linearindex = sub2ind(size(A), 3, 2) linearindex =
6.
--> A(linearindex) ans =
5.
Рис. 1.3.3-4 Примеры линейной индексации матриц
В
Примере1
показано, что индекс при линейном индексировании матрицы может быть вектором, содержащим более одного линейного индекса, и в этом случае они должны быть перечислены через пробелы или запятые и заклю- чены в квадратные скобки
По заданным линейным индексам производится до- ступ и извлечение значений элементов матриц.
В
Примере2
проведено преобразование индексов матрицы в линейные ин- дексы. Чтобы получить эквиваленты линейных индексов строки и столбца, была использована функция
ind2sub
, имеющая три параметра: размер матрицы
(
size(A)
); индексы строк
(
[2 3 4]
)
и индексы столбцов
(
[1 2 4]
).
То есть в этом примере нас интересуют линейные индексы таких элементов матрицы, кото- рые при обычном стандартном индексировании записаны как
mA(2,1), mA(3,2)
и
mA(4,4)
. Чтобы получить линейный индекс одного элемента воспользуемся формулой перерасчета, по которой собственно и происходит расчет в системе
Scilab
: iV=(j-1)*d1+i,
где
i
и
j
–
номера, соответственно, строки и столбца элемента матрицы, а
d1
–
размер матрицы. Рассчитаем, например, линейный индекс
1
-го заданного в примере элемента
:
i=2, j=1, d1=3
, а
iV=(1–1)*3+2=2
Да- лее показана возможность извлечения элементов по их линейным индексам
В
Примере3
проведено преобразование индексов одного элемента мат- рицы (
3х3
) к его линейному эквиваленту и извлечение с его помощью элемента массива.
Таким образом, для доступа к элементам матриц есть выбор между ис- пользованием стандартного матричного синтаксиса и использованием до- ступа, который называется векторным (линейным) индексированием. Предпо- лагая, что
A(i,j)
элемент матрицы
A
размерности
n×m
, индекс этого же элемента
A(k)
при линейной индексации можно рассчитать по формуле
k=(j-1)*n+i
Функции
sub2ind
и
ind2sub
позволяют осуществить преобразования, со- ответственно, из линейного индексирования элементов матрицы в матричную и из матричной в линейную (Приложение 1.3, табл. 1.3.3-1).
В общем виде возможны два случая индексирования одной матрицы
другой матрицей. В первом случае оно основано на значениях элементов ин- дексирующего массива, а во втором
– индексирование основано на позициях элементов индексирующей матрицы, и поэтому называется логическим
индексированием.

89
В примерах на рис.1.3.3-2мы фактически уже сталкивались с первым случаем индексирования одного массива другим массивом. Рассмотрим еще несколько примеров (
Примеры1-5
, рис. 1.3.3-5), иллюстрирующих индексирова- ние, основанное на значениях.
Так, в
Примере1
(рис. 1.3.3-5) значения элементов вектора
V2
являются ин- дексами вектора
V1
. В
Примере2
показано, что результат индексирования не за- висит от того, является индексирующий вектор столбцом или строкой. В
При-
мере3
показано, что результат индексирования зависит от того является индек- сируемый вектор столбцом или строкой. В
Примере4
показано индексирование матрицы
А1
вектором
V3
--> // Примеры индексирования матрицы
--> // значениями элементов вектора
-->
--> // Пример1
--> V1 = 5:5:50
V1 =
5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40. 45.50.
--> V2 = [1 3 6 7 10];
--> V1(V2) ans =
5. 15. 30. 35. 50.
-->
--> // Пример2
--> V1(V2') ans =
5. 15. 30. 35. 50.
-->
--> // Пример3
--> V3 = V1';
--> V3(V2) ans =
5.
15.
30.
35.
50.
-->
--> // Пример4
--> A1 = [1 3 6; 7 9 10];
--> V3 = [1 2 3 4 5];
--> A1(V3)' ans =
1. 7. 3. 9. 6.
Рис. 1.3.3-5 Индексирование матрицы другой матрицей, основанное на значениях индексирующей матрицы (вектора)
Рассмотрим более сложный пример установки некоторого множества элементов матрицы в ноль. Например, требуется найти максимум каждой

90 строки заданной матрицы, а потом все остальные элементы установить в ноль.
Решение данной задачи представлено на рис. 1.3.3-6.
--> // Установка некоторого множества элементов матрицы в ноль
-->
--> A = [1 2 3 4; 5 5 6 7; 7 9 8 3] // Создание исходной матрицы
A =
1. 2. 3. 4.
5. 5. 6. 7.
7. 9. 8. 3.
--> // Значения y и номера I максимальных элементов в каждой строке
--> [y, I] = max(A, 'c')
I =
4.
4.
2. y =
4.
7.
9.
-->
--> B = zeros(A) // Создание матрицы Bc нулевыми элементами
B =
0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0.
-->
--> B(sub2ind(size(A), 1 : length(I), I')) = y // Формирование матрицы B
B =
0. 0. 0. 4.
0. 0. 0. 7.
0. 9. 0. 0.
Рис. 1.3.3-6 Пример установки некоторых элементов матрицы в ноль
При доступе к элементам матрицы с числовыми индексами вне границ матрицы (присвоении значений таким элементам), Scilab расширяет (увеличи- вает) размерности этой матрицы для включения этих элементов в матрицу, за- полняя остальные получившиеся при расширении элементы нулями. Это можно квалифицировать как добавление элементов к существующей матрице.
При этом, если бы была предпринята попытка сослаться на элементы матрицы

91 за пределами массива справа от оператора присваивания, Scilab выдал бы со- общение об ошибке: «
Недопустимый индекс
».
В
Примере1
(рис. 1.3.3-7) показано присвоение значения элементу мас- сива
А
за пределами его границ. Отображение матрицы показывает, что про- изошло добавление
5
-го столбца, где в
3
-й строке присвоенное значение
7
, а все остальные элементы равны
0
Удаление элементов из существующей матрицы можно осуществить пу- тем присвоения пустого множества этим элементам –
[]
. Удалением элементов можно сделать вектор короче, а матрицу – меньше (
Пример2
, рис. 1.3.3-7).
--> //
Назначение элементов вне границ и удаление элементов матрицы
-->
-->
// Исходная матрица A(4x4)
--> A = [16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]
A =
16. 2. 3. 13.
5. 11. 10. 8.
9. 7. 6. 12.
4. 14. 15. 1.
-->
--> A(3, 7)
Недопустимый индекс.
--> //
--> A(3, 5) = 7 // A(3,5) – вне границ массива!
A =
16. 2. 3. 13. 0.
5. 11. 10. 8. 0.
9. 7. 6. 12. 7.
4. 14. 15. 1. 0.
-->
--> // Пример2
--> A(1, :) = [] // Удаление 1-й строки
A =
5. 11. 10. 8. 0.
9. 7. 6. 12. 7.
4. 14. 15. 1. 0.
Рис. 1.3.3-7. Назначение и удаление элементов вне границ матрицы
Доступ к нескольким непоследовательным элементам матрицы можно осуществить также с помощью операции двоеточие со значением шага
h(m:h:n)
. Так в примере (рис. 1.3.3-8), выражение
B(1:3:16)=-10
означает, что каждому
3
-му элементу матрицы
В
присваивается значение
-10
. Обратите вни- мание на то, что в этом примере используется линейное индексирование

92
--> // Доступ к нескольким элементам матрицы
-->
--> A = [1 1 1 1; 2 2 2 2; 3 3 3 3; 4 4 4 4];
--> B = A;
--> B(1:3:16) = -10
B =
-10. 1. 1. -10.
2. 2. -10. 2.
3. -10. 3. 3.
-10. 4. 4. -10.
Рис. 1.3.3-8. Доступ к нескольким элементам матрицы
Таким образом, обращение (индексирование) к элементам матрицы можно осуществить как с помощью