Учебное пособие для студентов высших учебных заведений
 Скачать 5.41 Mb.
|
|
1.2.6. Элементарные действия с комплексными числами 1. 2. Операции с числами 20 Простейшие действия с комплексными числами - сложение, вычитание, ум- ножение, деление и возведение в степень - осуществляются при помощи обычных арифметических знаков +, -, *, /, \ и ^ соответственно. Примеры использования приведены на рис. 1.11. Рис. 1.11 Примечание . В приведенном фрагменте использована функция disp (от слова 'дисплей'), которая тоже выводит в командное окно результаты вычислений или некоторый текст. При этом численный результат, как видно, выводится уже без указания имени переменной или ans. 1.2.7. Функции комплексного аргумента Практически все элементарные математические функции, приведенные в п. 1.2.4, вычисляются при комплексных значениях аргумента и получают в результа- те этого комплексные значения результата. Благодаря этому, например, функция sqrt вычисляет, в отличие от других языков программирования, квадратный корень из отрицательного аргумента, а функция abs при комплексном значении аргумента вычисляет модуль комплекс- ного числа. Примеры приведены на рис. 1.12. В MatLAB есть несколько дополнительных функций, рассчитанных только на комплексный аргумент: real (Z) - выделяет действительную часть комплексного аргумента Z; imag (Z) - выделяет мнимую часть комплексного аргумента; angle (Z) - вычисляет значение аргумента комплексного числа Z (в радианах в диапазоне от - π до + π ); conj (Z) - выдает число, комплексно сопряженное относительно Z. Примеры приведены на рис. 1.13. 1. 2. Операции с числами 21 Рис. 1.12 Рис. 1.13 Кроме того, в MatLAB есть специальная функция cplxpair(V), которая осу- ществляет сортировку заданного вектора V с комплексными элементами таким образом, что комплексно-сопряженные пары этих элементов располагаются в век- торе-результате в порядке возрастания их действительных частей, при этом эле- мент с отрицательной мнимой частью всегда располагается первым. Действитель- ные элементы завершают комплексно-сопряженные пары. Например (в дальней- шем в примерах команды, которые набираются с клавиатуры, будут написаны жирным шрифтом, а результат их выполнения - обычным шрифтом ): » v = [ -1, -1+2i,-5,4,5i,-1-2i,-5i] v = Columns 1 through 4 -1.0000 -1.0000 + 2.0000i -5.0000 4.0000 Columns 5 through 7 0 + 5. 0000i -1. 0000 - 2. 0000i 0 - 5. 0000i » disp(cplxpair(v)) Columns 1 through 4 -1. 0000 - 2. 0000i -1. 0000 + 2. 0000i 0 - 5. 0000i 0 + 5. 0000i Columns 5 through 7 -5. 0000 -1. 0000 4. 0000 Приспособленность большинства функций MatLAB к оперированию с ком- плексными числами позволяет значительно проще строить вычисления с действи- тельными числами, результат которых является комплексным, например, нахо- дить комплексные корни квадратных уравнений. 1.2.8. Задания Задание 1.1. Вычислите указанное арифметическое выражение. Укажите по- следовательность нажатия клавиша. Сравните полученный результат с приведен- ным ответом. Ответ 1. 2. Операции с числами 22 1. 12 1 6 6 1 27 5 25 13 5 0111 0 02 − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + , , , , . 599,3 2. 1 1 12 2 5 32 1 24 9 6 213 0 0004 + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + , , , : 6179,5 3. ( ) 6 6 3 3 14 5 5 6 21 1 25 2 5 , , , − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − : . 2,5 4. 2 625 2 3 2 5 14 3 1 12 4 375 19 8 9 , , − ⋅ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ : 2,8095 5. 0134 0 05 18 1 6 1 11 14 2 15 2 6 7 , , + − − ⋅ 0,0115 6. 58 4 15 56 7 24 0 8 2 1 9 0 225 8 75 0 6 − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⋅ ⋅ : , , , , 0,56071 7. 0 216 0 15 0 56 0 5 7 7 24 75 2 15 4 5 , , , , , , + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ : : , . 2 8. 1 4 11 0 22 0 3 0 96 0 2 3 40 1 6 ⋅ − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ , , , , , : . 0,2 9. 3 5 0 425 0 005 0 12 30 5 1 6 3 1 3 + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + , , , : , . 0,25 10. 3 1 3 2 5 2 5 1 1 3 4 6 2 1 3 4 6 2 1 3 0 05 1 7 0 125 5 7 + − ⋅ − + − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ , , , , , , , : 0,19231 11. ( ) ( ) 0 725 0 42 6 0 128 6 25 0 0345 0 12 0 25 , , , , , , , + − − ⋅ : -0,04492 1. 2. Операции с числами 23 12. ( ) 4 5 1 2 3 6 75 0 6 3 333 0 3 0 222 4 9 2 2 3 , , , , , , ⋅ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⋅ ⋅ + ⋅ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 0,17068 13. 5 4 45 4 1 6 5 8 15 0 75 3 9 13 34 2 7 − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⋅ : 4 2 3 , 0,28571 14. 1 4 11 0 22 0 3 0 96 0 2 3 40 1 68 ⋅ − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ , , , , , : 0,19048 15. 40 7 30 38 5 12 10 9 0 875 7 30 20 11 0 008 − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⋅ , , , : 166,67 16. ( ) 68 023 66 028 6 1 9 7 40 4 5 0 042 0 086 , , , , − + + : , ⋅ 8,7028 17. ( ) ( ) 21 1965 1 2 0 045 0 00325 0 013 4 0 2 073 , , , , , − ⋅ − ⋅ : : , , -17,397 18. ( ) 1 88 2 127 0 01875 0 625 13 18 8 29 , , , , , + ⋅ − + : 3,13 . 8,2441 19. ( ) ( ) 3 0 4 0 009 0 32 6 0 033 5 3 3 88 : : 0,15 : 2,5 , , , , , , − ⋅ + − − . 13,79 20. ( ) ( ) 34 06 33 81 4 6 84 28 57 2515 1 33 , , , , − ⋅ − + : : 4 21 , , 7,4825 21. ( ( ) ) 8 8077 20 28 2 13 333 0 3 0 0125 2 004 , , , , , , − ⋅ + : . 1,4889 22. ( ) 1 75 2 3 1 75 1125 7 12 0 2012 0 0325 400 , , , , , : : : − ⋅ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − 2667,5 23. 26 1 3 18 02 0 75 2 4 0 88 1 37 23 2 3 1 82 − ⋅ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⋅ − , , , , , , : : -3,005 1. 2. Операции с числами 24 24. ( ) ( ) 26 3 0 48 0 27 2 52 1 38 2 45 1 27 : : , , , , , , − + + 18,836 25. ( 16 5 13 7 9 6 11 2 2 0 241 0 91 , , , − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + − : ) , -1,8036 Задание 1.2. Проведите вычисления по заданной формуле при заданных значениях параметров. Укажите необходимую последовательность действий. Сравните полученный результат с приведенным ответом. Указание В системе MatLAB несколько последних команд запоминаются. Повторный вызов этих команд в командное окно осуществляется нажатием кла- виш < > и < ↑ > . Используйте эту возможность для повторного обращения к на- бранной функции. ↓ 1. 3 2 14 5 8 2 2 10 1 31 2 2 3 2 m n m m n tg m n + = − = = ⋅ − : ; a) б) , ; , , , = π ОТВЕТ: а) 23,27; б) 26,938. 2. 4 3 2 1 7 10 18 16 21 5 3 2 3 l l l sin cos , , ; , α α α α π ; a) б) = ⋅ = = = o ОТВЕТ: а) 1. 5633e+008; б) 5. 0651e-002. 3. a b tg a b a b α α α 3 2 1 5 0 8 61 3 10 0 71 3 7 ; a) б) = = = = ⋅ = = − , , , , ; , , , o π ОТВЕТ: а) 1. 0498e+000; б) 1. 2429e-001. 4. ( ) ( ) 3 6 8 4 4 13 10 1 261 5 8 12 2 3 1 a a b a b a b a b tg , , , sin , ⋅ − + = ⋅ = = = − − ; a) б) π o ; ОТВЕТ: а) 2. 9464e+000; б) 4. 9445e+000. 5. c c c e 3 0 3 6 2 2 38 5 65 cos sin lg , , ; , , α α α π α ; a) б) = = = − o = ОТВЕТ: а) 3. 4657e-004; б) 2. 2120e-002. 6. n n n 3 2 3 5 16 3 2 31516 10 5 2 13 , sin sin , , ; , , α α α α π ; a) б) = ⋅ = = = − o e ОТВЕТ: а) 1. 1265e-002; б) 7. 6324e+001. 7. 5 35 36 3 44 18 25 7 12 3 3 sin cos ln , ; , o o o S tg S S π α α α ; a) б) = = = = π ОТВЕТ: а) 5. 4283e-001; б) 8. 9703e-018+ 1. 4650e-001i. 8. ( ) ( ) lg sin ln sin , ; , 1 1 3 7 83 2 3 16 + + − = = = = α β α π β α π β ; a) б) o o 1. 2. Операции с числами 25 ОТВЕТ: а) 4. 6035e+000; б) 5. 1546e-002. 9. ( ) ( ) sin sin , , ; , 2 2 3 5 7 0 3 12 220 α β α β α π β π α β + − − = = = = ; a) б) o o ОТВЕТ: а) 4. 8756e-001+ 8. 4448e-001i; б) 7. 3715e-001. 10. ( ) ( ) log , , , ; , a b a b e a + = = = − 1 4 3 56 2 3 4 0 316 ; a) б) , b = 2,1649 10 -2 ⋅ ОТВЕТ: а) 1. 1790e+000; б) 1. 6630e+000. 11. 3 3 3 0 0 2 3 1 2 3 2 p q pq p q p q − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = = = ⋅ ; a) б) ln , lg ; , , , 13 1 4 10 ОТВЕТ: а) 5. 7737e+000; б) 6. 6559e+001. 12. 2 3 3 6485 10 24 37 4 3 2 m m m m m m ; a) б) = ⋅ = , ; ОТВЕТ: а) 1. 5880e+004; б) 5. 4516e-001. 13. 8 3 2 7 11 5 403 28 6 1 11 S S S e S π α α π α sin , , , , ; a) ; б) = = = = o ОТВЕТ: а) 2. 8187e+000; б) 3. 7879e-003. 14. 2 2 1 0 03 5 7 7 1 3 2 F tg F F π α α α π α sin , , ln , ; a) ; б) = = = = o 4 , ОТВЕТ: а) -6. 6313e+000; б) 5. 0346e-006. 15. ( ) 1 12 20 1 20 13 6 1 48 3 3 ⋅ + = − = = = m m m cos sin cos , , ; lg , , , α α α α α ; a) б) o ОТВЕТ: а) -3. 0201e+002; б) 8. 5792e-003. 16. ( ) ( ) 3 30 30 0 28 41 237 3 2 0 415 h h h e cos sin sin ; , , ; , , α α α α α + − = = = = o o o o a) б) ОТВЕТ: а) 8. 1284e-002; б) 4. 9334e+000. 17. ( ) ( ) α α α α 3 2 6 178 20 2 2461 10 1146 2 2 lg ; , , ; , , , d tg d d + − = = = − ⋅ = − a) б) o ОТВЕТ: а) 3. 5028e-002; б) 1. 4003e+000. 18. d ctg d d e 3 4 4 2 3 10 6 50 1 α α α α α sin cos , , ; , , − = = = ; a) б) o = . ОТВЕТ: а) 4. 1645e+002; б) 4. 1101e+002. 19. ( ) a ec 2 4 3 4 sec cos ; α α + a) б) a a = = = = 5 08 25 137 12 25 , , ; ln , , α α o π ОТВЕТ: а) 1. 6193e+003; б) 3. 5238e+003. 1. 2. Операции с числами 26 20. ( ) π π 3 1 51 0 643 2 ⋅ + = = ctgA ctgB A A ; a) B = 39 б) B = 7 o o , ; , , ОТВЕТ: а) 1. 4132e-001; б) 5. 0772e-002. 21. lg , , 3 8 27 1 21 2 9 1 648 x x x e x tg − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = ; a) ; б) ОТВЕТ: а) 6. 1109e+000; б) -5. 1927e-001. 22. ( ) ( ) 5 12 36 7 2 1754 10 17 4 2 5 2 e a a a a a + + = ⋅ = , ln , ; co ; a) б) o s ОТВЕТ: а) 8. 5511e+075 ; б) 4. 0272e+000; 23. lg sin ; , , 2 1 2 145 1 27 8 2 468 10 x x x e x x − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = − − ; a) б) ⋅ ОТВЕТ: а) -2. 0936e+003; б) 1. 7858e-001. 24. ( ) x y y x x e y x y − − = = = = − 2 3 5 0 37 1 2 1517 37 7 24 ; a) б) , , ln , ; , cos o π ОТВЕТ: а) 3. 4445e-001; б) 2. 6745e-001. 25. ( ) sin , , lg , A tgB A B A B B + − = = = 3 5 6 25 10 2 5 ; a) ; б) A = 8 9 π π ОТВЕТ: а) 4. 4466e+000; б) 5. 2145e-001. Задание 1.3. Выполните такие действия (см. таблицу 1.1): а) число z 1 , заданное в алгебраической (экспоненциальной) форме, переве- дите в экспоненциальную (алгебраическую), проверьте и запишите результат; б) число z 2 , заданное в экспоненциальной (алгебраической) форме, переве- дите в алгебраическую (экспоненциальную), проверьте и запишите результат; в) вычислите заданное выражение; запишите результат экспоненциальной форме, причем аргумент результата обеспечьте в границах между (- π) и +π. Таблица 1.1 Варі ант Комплексное число z 1 z 2 z 3 z 4 Выражение 1 4 3 + i 2 71 12 , e i π 1 82 1 2 , , e i − 3 2 − i z z z z 1 2 2 3 4 ⋅ + : 2 0 8 2 , − i 3 08 7 12 , e i π 8 01 2 , e i − + 5 2i z z z z 1 2 2 3 : + − 4 3 − + 0 7 4 , i 1 74 0 3 , , e i π 3 4 + i 2 1 2 3 , , e i − z z z z 1 2 3 4 : ⋅ + 4 − − 3 2i 3 21 15 , e i o 1 2 3 , + i 2 71 78 , e i − o z z z z 1 2 3 ⋅ + : 4 5 2 71 12 , e i π − + 0 7 4 , i 1 31 5 12 , e i − π − − 8 3i z z z z 1 2 3 4 : ⋅ − 1. 2. Операции с числами 27 6 3 08 7 12 , e i π − − 3 2i 2 03 14 13 , e i 3 2 + i ( ) z z z z 1 2 4 3 4 + ⋅ : 7 1 74 0 3 , , e i π 0 8 2 , − i 3 28 1 2 , , e i − 3 2 − i ( ) z z z z 1 2 3 + ⋅ : 4 8 3 21 15 , e i 4 3 + i 3 4 − i 1 23 111 , e i o ( ) z z z z 1 2 3 3 4 − ⋅ + 9 1 2 + i π 1 2 107 , e i o 0 8 2 , − i 2 5 14 , e i o ( ) z z z z 1 2 3 3 4 : + ⋅ 10 5 − i 0 7 1 7 , , e i 1 2 0 9 , , e i − − 3 2i ( ) z z z z 1 2 3 2 4 : + − 11 0 187 3 94 , , − i 0 3 107 , e i − o − + 0 7 4 , i 1 5 23 , e i o z z z z 1 2 3 3 4 + − ⋅ 12 − + 1 5i 2 1 211 , e i o 0 4 32 , e i o 4 3 + i z z z z 1 3 2 3 4 ⋅ + : 13 − − 3 4i 1 25 0 8 , , e i − − − 3 2i 0 75 0 7 , , e i ( ) z z z z 1 2 3 3 4 ⋅ + : 14 1 2 1 7 , , e i 0 18 3 9 , , − i 0 71 4 , e i 0 8 2 , − i ( ) z z z z 1 2 3 3 4 : + ⋅ 15 0 3 97 , e i − o − + 1 5i − + 0 7 4 , i 5 2 7 1 , e i o ( ) z z z z 1 2 3 ⋅ − : 4 16 1 25 0 6 , , e i − − 3 4i 4 3 + i 2 5 3 8 , , e i ( ) z z z z 1 2 3 4 : − ⋅ 17 1 05 0 4 , , e i − 5 − i 2 7 0 8 , , e i − + 0 7 4 , i ( ) z z z z 1 2 3 4 : + ⋅ 18 2 1 73 , e i o 1 2 + i π 2 3 + i 1 93 192 , e i o ( ) z z z z 1 2 3 4 ⋅ − : 19 2 7 0 8 , , + i 2 3 e i − 0 81 7 , e iπ − − 2 3i ( ) z z z z 1 2 3 + ⋅ : 4 20 − + 0 8 2 7 , , i − 2 3 e i 0 9 5 7 , e i π 3 1 2 1 , , − i ( ) z z z z 1 2 3 + ⋅ : 4 21 − − 11 3 2 , , i 0 33 1 9 , , e i − 2 2 e i 2 08 , + i z z z z 1 2 3 − ⋅ : 4 22 2 1 3 2 , , − i 0 68 148 , e i o 5 2 + i 2 73 23 , e i o z z z z 1 2 3 − ⋅ : 4 23 11 0 8 , , e i − 5 2 − i − + 1 7 , i 0 97 2 , e i ( ) ( ) z z z z 1 2 2 3 4 + − : 24 2 1 0 8 , , e i − + 5 2i 1 7 3 , e i 0 8 2 5 , , e i ( ) ( ) z z z z 1 2 2 3 4 − + : 25 11 2 1 , , e i − π 8 2 1 − , i 2 71 0 4 , , + i 1 71 3 , e i − ( ) z z z z 1 2 3 3 4 − + : |