Тест по математике. Уравнения и неравенства с одной переменной ТЕОРИЯ (копия). Уравнения и неравенства с одной переменной
 Скачать 16.2 Kb.
|
|
Уравнения и неравенства с одной переменной. Возьмём два выражения с переменной: 4х и 5х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение: 4х = 5х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в высказывание. Это предложение – есть высказывательная форма (предикат). Её называют уравнением с одной переменной. Определение: Пусть f (х) и g (х) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда высказывательная форма вида f (х) = g (х) называется уравнением с одной переменной. Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение – это значит найти множество его корней. Чтобы решить какое – либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными. Определение: два уравнения f 1 (х) = g 1 (х) и f 2 (х) = g 2 (х) называются равносильными, если множества их корней совпадают. Например: уравнения х – 9 = 0 и (2х + 6) (х – 3) = 0 равносильны. Докажите почему. Равносильны ли эти уравнения: (3х + 1) 2 = 6х + 1 и х + 1 = 0. Теорема: если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и тоже выражение с переменной, определённое на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному. Пусть уравнение f (х) = g (х) задано на множестве и h (х) – выражение, определённое на том же множестве. Тогда уравнения f (х) = g (х) (1) и f (х) + h (х) = g (х) + h (х) (2) равносильны. Доказательство: обозначим через Т1 – множество решений уравнения (1), а через Т2 - множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т1 = Т2. Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т1 является корнем уравнения (2), и наоборот, любой корень из Т2 является корнем уравнения (1). Пусть число а – корень уравнения (1), тогда а с Т1, и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f (а) = g (а), а выражение h (х) обращает в числовое выражение h (а), имеющие смысл на множестве Х. Прибавим к обеим частям истинного равенства f (а) = g (а) числовое выражение h (а). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенство f (а) + h (а) = g (а) + h (а), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2). Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т1 с Т2. Пусть теперь а – корень уравнения (2). Тогда а с Т2 и при подстановке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f (а) + h (а) = g (а) + h (а). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение -h (а). Получим истинное числовое равенство f (а) = g (а), которое свидетельствует о том, что число а – корень уравнения (1). Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т.е. Т2 с Т1. Т.к. Т1 с Т2 и Т2 с Т1, то по определению равных множеств Т1 =Т2, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны. Следствия из этой теоремы: 1) если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнения, равносильное данному; 2) если какое – либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. Теорема: если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же выражение, которое определено на том же множестве и не обращается на нём в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному. (доказательство аналогично). Следствие из этой теоремы: если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному. В начальной школе – теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Предложения: 2х + 7 > 10 – х; х + 7х < 2; (х + 2) (2х – 3) > 0 называют неравенствами с одной переменной. Определение: Пусть f (х) и g (х) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда неравенство вида f (х) > g (х) или f (х) < g (х) называется неравенством с одной переменной. Множество Х называется областью его определения. Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство – это значит найти множество его решений. Например: найти решение неравенства и множество его решений: 2х + 7 > 10 – х. Определение: Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны. Например: являются ли данные неравенства равносильными: 2х + 7 > 10 и 2х > 3. Теорема: пусть неравенство f (х) > g (х) задано на множестве Х и h (х) – выражение, определённое на том же множестве. Тогда неравенства f (х) > g (х) и f (х) + h (х) > g (х) + h (х) равносильны на множестве Х. Следствия из теоремы: 1) если к обеим частям неравенства f (х) > g (х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f (х) + d > g (х) + d, равносильное исходному; 2) если какое – либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному. Теорема: пусть неравенство f (х) > g (х) задано на множестве Х и h (х) – выражение, определённое на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h (х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f (х) > g (х) и f (х) h (х) > g (х) h (х) равносильны на множестве Х. Следствие из этой теоремы: если обе части неравенства f (х) > g (х) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f (х) d > g (х) d, равносильное данному. Теорема: пусть неравенство f (х) > g (х) задано на множестве Х и h (х) – выражение, определённое на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h (х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f (х) > g (х) и f (х) h (х) < g (х) h (х) равносильны на множестве Х. Следствие из этой теоремы: если обе части неравенства f (х) > g (х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный то получим неравенство f (х) d < g (х) d, равносильное данному. |