Вариант 3 Задача

• Название: Вариант 3 Задача
• Дата: 05.07.2020
• Размер: 37.17 Kb.
• Имя файла: ZAdacha.docx
• Тип: Задача; #133773

Вариант 3

Задача:

Провести моделирование свободного падения тела с заданными массой и формой в трех различных вязких средах. Скорость движения должна быть столь невелика, чтобы квадратичной составляющей силы сопротивления можно было пренебречь. Изучить влияние вязкости среды на характер движения.

Решение:

1. Постановка задачи моделирования

Началу моделирования предшествует постановка содержательной задачи моделирования, т.е. переход от когнитивной модели к формулировке в словесной форме основных вопросов об объекте моделирования. Правильная постановка задачи очень важна, так как ошибка на этом этапе потребует вернуться к построению модели с самого начала. Содержательная постановка задачи, называемая в технических дисциплинах техническим заданием, в дальнейшем уточняется и конкретизируется, однако принципиальные, основные положения остаются неизменными.

Рассмотрим постановку задачи моделирования, которая позволит описать движение тела в трех различных вязких средах.

Сформулируем требования к модели и исходные данные для моделирования. Модель должна позволять вычислять положение тела в трех различных вязких средах в любой момент времени. Исходными данными моделирования являются масса тела, начальные координаты, начальная скорость, плотность (вязкость) среды и объем тела.

2. Концептуальная формулировка задачи

На основе содержательной модели, описанной в разделе 1, разрабатывается концептуальная формулировка задачи моделирования. Применительно к рассматриваемой задачи движение тела может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона.

При построении математической модели, которое будет проводиться на следующем этапе моделирования, примем следующие гипотезы:

• 
  тело будем считать материальной точной массой m и радиусом r, положение которой совпадает с центром масс тела;
  
• 
  скорость движения столь невелика, что квадратичной составляющей силой сопротивления можно пренебречь.
  
• 
  движение тела происходит в гравитационном поле Земли в соответствии с законами классической механики Ньютона.
  
• 
  никакие силы, кроме вертикальных, на предмет не действуют;
  
• 
  для удобства вычислений будем предполагать, что тело имеет форму шара.
  

3. Построение математической модели

Перейдем к составлению математической модели объекта - совокупности математических соотношений, которые описывают его поведение и свойства. Уравнения, образующие математическую модель, формируются на основании законов и определяющих выражений предметной области.

Математическая модель движения тела будет являться моделью тела, совершающего свободное падение, и окончательный вид этой модели представляет собой систему дифференциальных уравнений.

На шарик, падающий в вязкой среде, по вертикали действуют три силы,:

• 
  Сила тяжести (тяготения)
  
• 
  Сила гидростатического выталкивания (сила Архимеда):
  

• 
  Сила сопротивления среды:
  

Рисунок 1

Из уравнения Ньютона

m + c

Проектируем данное векторное уравнение на ось Y











Определим для конкретных ситуаций

• 
  пропорциональна площади поперечного сечения тела плотности среды и зависит от формы тела
  
• 
  
  
• 
  Для шара
  
• 
  Для диска
  
• 
  Для полусферы
  

Учитывая действие трех сил, система дифференциальных уравнений будет иметь вид:





Поскольку при разработке концептуальной модели, раздел 2, мы договорились не учитывать квадратичную составляющую силы сопротивления воздуха, то величина силы сопротивления пропорциональна скорости и имеет место соотношение , где определяется свойствами среды и формой тела. Например, для шара = 6πμr - это формула Стокса, где r - радиус шара, μ - коэффициент вязкости среды, в которой будет двигаться тело.

Согласно условию задачи, мы должны изучить падение тела в трех различных средах, тогда переменная μ будет иметь разное значение для каждого случая.

Окончательный вид системы дифференциальных уравнений:



Для обеспечения единственности решения системы дифференциальных уравнений необходимо определить начальное положение тела в пространстве и начальное значение скорости.

… (задание начальных значений обосновать)

=0



Таким образом, систему дифференциальных уравнений будем рассматривать с начальными условиями:

H = ?? м; v₀ = ?? м\c;

r = ?? м; m = ??кг;

μ₁ = ?? мПа*с - коэффициент вязкости ??;

μ₂ = ?? мПа*с - коэффициент вязкости ??;

μ₃ = ?? мПа*с - коэффициент вязкости ??;

Вполне естественно, что этими значениями можно варьировать с целью выполнения нескольких экспериментов при различных начальных данных. Эта особенность обязательно будет отражена при построении имитационной модели.