Вектор скорости направлен, как и вектор
 Скачать 483.59 Kb.
|
|
11 Вектор скорости направлен, как и вектор dr (по направлению движения точки А по касательной к траектории). Величина мгновенной скорости равна длине вектора υ : dr υ υ dt = = . (1.2) Средним вектором скорости υ за промежуток времени Δt называется отношение Δ / Δ r t . Направление среднего вектора скорости совпадает с направлением вектора перемещения r Δ (рис. 1.1, а). Длина участка траектории Δs, которую описывает конец радиус-вектора r за промежуток времени Δt, отнесенная к величине этого интервала времени Δt, называется средней путевой скоростью υ : / υ s t = Δ Δ Скорость тела может изменяться в процессе движения.Об изменении скорости судят по ускорению, которое определяют как производную от вектора скорости по времени: dυ a dt = . (1.3) Направление ускорения совпадает с направлением вектора приращения скорости dυ . Величина ускорения равна длине вектора a dυ a a dt = = . (1.4) Очевидно, что зная зависимость ( ) r t , можно найти скорость υ и ускорение a . Для однозначного решения обратной задачи о нахождении скорости υ и радиус-вектора r по известной зависимости ( ) a t необходимо задать начальные условия: скорость 0 υ и радиус-вектор тела 0 r в начальный момент времени t = 0. 1.3.2. Координатный способ. Положение материальной точки А в пространстве в произвольный момент времени t определяется координатами x(t), y(t), z(t), представляющими собой проекции радиус-вектора ( ) r t на оси декартовой системы координат Ox, Oy, Oz соответственно: ( ) ( ) ( ) ( ) r t x t i y t j z t k = + + ,(1.5) где i, j, k – единичные векторы, задающие направления осей x, y, z соответственно в пространстве (рис. 1.1, б). 1 / 10 12 Спроецируем равенства (1.1) и (1.3) на оси декартовой системы координат: x dx υ dt = , y dy υ dt = , z dz υ dt = , (1.6) где dx, dy, dz – проекции вектора перемещения dr на соответствующие оси координат. x x dυ a dt = , y y dυ a dt = , z z dυ a dt = , (1.7) где x dυ , y dυ , z dυ – проекции вектора приращения скорости dυ на соответствующие оси декартовой системы координат. Зная зависимости x(t), y(t), z(t) (закон движения), можно найти проекции векторов скорости υ и ускорения a , а также их величины (модули) в данный момент времени: 2 2 2 x y z υ υ υ υ = + + , 2 2 2 x y z a a a a = + + . (1.8) Направление векторов задается направляющими косинусами. Направляющие косинусы вектора υ : cos x υ υ α = , cos y υ υ β = , cos z υ υ γ = . (1.9) Направляющие косинусы вектора a определяются аналогично. Здесь α, β, γ – углы между вектором υ (или a ) и осями координат Оx , Оy , Оz соответственно. Обратная задача (нахождение скорости и зависимостей x(t), y(t), z(t)по ускорению) может быть решена однозначно, если заданы начальные условия: проекции скорости 0 x υ , 0 y υ , 0 z υ и координаты x(0), y(0), z(0) в начальный момент времени t = 0. 1.3.3. Естественный способ. Положение материальной точки А в пространстве в произвольный момент времени t определяется дуговой координатой s, которая представляет собой расстояние, отсчитанное вдоль траектории от выбранного начала отсчета О (рис. 1.2). Движение точки известно, если известна траектория движения, на которой отмечено начальное положение и задано положительное направление отсчета дуговой координаты, известен закон движения s(t). Скорость точки направлена по касательной к траектории. Если ввести единичный вектор τ , направленный по 2 / 10 13 касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты s , вектор скорости можно записать так: υ υ τ = τ , (1.10) где / υ ds dt τ = – длина вектора υ Рис. 1.2. Дуговая координата s , отсчитанная вдоль траектории от выбранного начала отсчета О: единичный вектор τ задает положительное направление отсчета дуговой координаты s Ускорение точки по определению равно производной от вектора скорости по времени dυ dυ d a υ dt dt dt τ τ τ = = τ + . (1.11) Второе слагаемое приводится к виду 2 d d ds d υ υ υ dt ds dt ds τ τ τ τ τ τ = = . (1.12) Каждый участок криволинейной траектории можно заменить дугой окружности с центром в некоторой точке О, которую называют центром кривизны, с соответствующим радиусом R (радиусом кривизны). Определим приращение d τ вектора τ при перемещении точки А из положения 1 в положение 2 (рис. 1.3). Рис. 1.3. Вектор приращения d τ вектора τ при перемещении точки А из положения 1 в положение 2 3 / 10 14 При стягивании точки 2 к точке 1 отрезок дуги 0 ds → угол δα мал, поэтому можно принять, что 1 d τ ⊥ τ , 2 d τ ⊥ τ . Вектор d τ направлен к центру кривизны. Треугольники 1O2 и 11′2′ подобны. Тогда угол δα можно определить как через стороны первого, так и через стороны второго треугольников: 1 ds d R τ δα ≈ = τ . (1.13) Из последнего равенства следует, что / 1 / d ds R τ = . Пусть n – единичный вектор, направленный к центру кривизны в точке 1. Тогда d n ds R τ = (1.14) С учетом полученного равенства (1.14) и равенства (1.12) выражение (1.11) запишется так: 2 dυ υ dυ a n dt dt R τ τ = = τ + . (1.15) Первое слагаемое называют тангенциальным ускорением, второе – центростремительным (нормальным) ускорением. 1.4. Движение по окружности Положение точки, движущейся по окружности радиуса R, в произвольный момент времени t определяется дуговой координатой s или углом поворота ϕ радиус-вектора r относительно начального его положения ОА вдольоси ОX (рис. 1.4). При этом скорость υ и ускорение материальной точки при движении по круговой траектории определяются согласно формулам (1.10) и (1.14). По определению мгновенной угловой скоростью ω называется производная от угла поворота ϕ по времени d dt ϕ ω = . (1.16) Угловым ускорением εназываетсяпроизводная от угловой скорости ω по времени d dt ω ε = . (1.17) 4 / 10 15 Рис. 1.4. Положение материальной точки на окружности радиуса R в разные моменты времени: задается дуговой координатой s или углом поворота ϕ радиус-вектора r относительно начального положения ОА точки на оси ОX. Зная зависимость ϕ(t), можно найти угловую скорость ωи угловое ускорение ε. Для однозначного решения обратной задачи о нахождении угловой скорости ωи угла поворота ϕпо известной зависимости ε(t)необходимо задать начальные условия: угловую скорость ω 0 и угол поворота тела ϕ 0 в начальный момент времени t = 0. 5 / 10 16 ГЛАВА II ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Динамика – область классической механики, в которой движения тел рассматриваются в связи с причинами, определяющими тот или иной их характер. 2.1. Инерциальные системы отсчета 2.1.1. Закон инерции Галилея. Для математического описания механических явлений должна быть выбрана система отсчета. Наиболее удобной для описания механических явлений оказывается инерциальная система отсчета (ИСО). В общем случае ускорение тел будет различным относительно разных систем отсчета. Можно, однако, принять, что существует система отсчета, в которой ускорение тела обусловлено лишь взаимодействием с другими телами, а не свойствами самой системы. Материальная точка, не подверженная действию других тел, сохраняет в таких системах отсчета состояние покоя или равномерного прямолинейного движения (движения по инерции), пока воздействия со стороны других тел не выведут его из этого состояния. (Данное утверждение носит название закона инерции Галилея.) Такие системы отсчета называют инерциальными. В современной физике считается, что свойства пространства зависят от выбора системы отсчета. По отношению к пространству и времени ИСО обладают определенными свойствами симметрии: пространство – однородно и изотропно, а время – однородно. Свойства однородного пространства одинаковы в различных его точках, а свойства изотропного пространства в каждой точке одинаковы во всех направлениях. Однородность времени означает, что различные моменты времени эквивалентны. 2.1.2. Принцип относительности Галилея. По отношению к другой ИСО, движущейся относительно данной ИСО прямолинейно и равномерно, законы свободного движения (свободного от воздействия других тел) будут теми же, свободное движение будет происходить с постоянной скоростью. Как показывает опыт, не только законы свободного движения, но и другие механические 6 / 10 17 закономерности будут одинаковыми в этих системах отсчета. Существует бесконечное множество ИСО, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Во всех ИСО свойства пространства и времени одинаковы и одинаковы все законы механики. Данное утверждение является выражением принципа относительности Галилея. 2.1.3. Преобразования Галилея. Пусть ИСО К ′движется относительно ИСО К со скоростью V (рис. 2.1). Координатные оси К системы параллельны соответствующим осям К ′системы. При этом скорость V параллельна осям X и X ′. В начальный момент времени t = 0 точки О и О ′совпадают. В произвольный момент времени t положение некоторой точки А определится в К системе радиус-вектором r : r r Vt ′ = + , t t ′ = , (2.1) где r ′ , t ′ – радиус-вектор точки А и время в К ′системе. Записанные выражения (2.1) представляют собой преобразования Галилея. Согласно принципу относительности Галилея, длина отрезков и ход времени не зависят от состояния движения и, следовательно, одинаковы в обеих системах отсчета. Преобразования Галилея в координатной форме записи имеют вид: x x Vt ′ = + , y y ′ = , z z ′ = , t t ′ = . (2.2) При этом скорости в рассматриваемых системах отсчета связаны по закону: ( ) dr dr d Vt dt dt dt ′ = + , (2.3) υ υ V ′ = + , (2.4) где υ ′ – скорость точки А относительно К ′ системы. Полученное равенство (2.4) представляет собой классический закон преобразования скорости точки при переходе от одной ИСО к другой. Продифференцировав полученное равенство (2.4) по времени, найдем закон преобразования ускорения точки при переходе от системы К ′к системе К: dυ dυ dV dt dt dt ′ = + , a a ′ = . (2.5) Ускорение точки одинаково во всех ИСО. 7 / 10 18 Рис. 2.1. Положение материальной точки А в инерциальных системах отсчета K и K′: задается радиус-векторами r и r ′ соответственно. Система отсчета K′ движется с постоянной скоростью V относительно системы отсчета K. 2.2. Законы динамики Для количественной характеристики взаимодействия тел вводят понятие силы. Сила характеризует степень воздействия одного тела на другое, в результате которого изменяются их ускорения. Сила – векторная величина и характеризуется направлением, модулем и точкой приложения, то есть телом, к которому она приложена. Любое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия: если тело 1 действует на тело 2, то одновременно и тело 2 действует на тело 1. Непосредственного контакта между телами может и не быть, если взаимодействие осуществляется посредством поля. В системе СИ силу измеряют в Ньютонах (Н). Инертностью будем называть степень неподатливости тела изменению его скорости. Мерой инертности служит масса, которую в системе СИ измеряют в килограммах (кг). Масса – величина аддитивная: масса тела равна сумме масс его частей. Масса тела как такового постоянна, не изменяется при его движении. Масса – одна из характеристик внутреннего состояния тела. Характеризует энергию тела и степень гравитационного взаимодействия. 2.2.1. I закон Ньютона. В качестве первого закона динамики Ньютон принял закон инерции Галилея. Первый закон Ньютона является утверждением существования инерциальных систем отсчета. 8 / 10 19 2.2.2. II закон Ньютона. Второй закон Ньютона утверждает, что ускорение тела a прямо пропорционально равнодействующей F всех приложенных к телу сил и обратно пропорционально массе m тела: F a m = . (2.6) Векторы F и a коллинеарны, и так как масса тела положительная величина, то направления этих векторов совпадают. 2.2.3. Иная формулировка II закона Ньютона. Импульс тела. Введем новую физическую величину – импульс тела. Импульсом тела (количеством движения) P называют физическую величину, зависящую как от состояния движения тела ( υ ), так и от его инертных свойств (m): P mυ = . (2.7) Пусть за промежуток времени Δt скорость тела изменилась на υ Δ Тогда изменение импульса тела будет равно P m υ Δ = Δ .(2.8) Скорость изменения импульса в данный момент времени определится следующим образом: 0 0 lim lim t t P υ m ma t t Δ → Δ → Δ Δ = = Δ Δ . (2.9) С учетом формулы (2.6) получим: dP F dt = , (2.10) или dP Fdt = . (2.11) Произведение Fdt называют импульсом силы. Итак, согласно полученному равенству (2.11), приращение импульса тела равно импульсу равнодействующей F всех сил, действующих на тело. В этом и заключается иная формулировка II закона Ньютона. 2.2.4. III закон Ньютона. При взаимодействии двух тел сила 12 F , действующая на тело 1 со стороны тела 2, равна по величине и противоположна по знаку силе 21 F , действующей на тело 2 со стороны тела 1: 12 21 F F = − . (2.12) Таким образом, все силы возникают парами. 9 / 10 20 2.3. Основное уравнение динамики Основное уравнение динамики представляет собой матема- тическое выражение II закона Ньютона dυ m F dt = (2.13) или в проекциях на оси декартовых координат: x x dυ m F dt = , y y dυ m F dt = , z z dυ m F dt = . (2.14) В проекциях на касательную и нормаль к траектории в данной точке: 2 n υ m F = ρ , dυ m F dt τ τ = . (2.15) Единичный вектор τ выбирают в сторону возрастания дуговой координаты, единичный вектор n – к центру кривизны. Основное уравнение динамики (2.13) представляет собой дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. Его решение – основная задача динамики материальной точки. Возможны две постановки задачи: 1. Найти силу F , если известны масса m точки и зависимость ( ) r t . Задача сводится к дифференцированию функции ( ) r t по времени t. 2. Найти ( ) r t – закон движения, если известны масса m и сила F и заданы начальные условия ( 0 0 , r υ ). Задача сводится к интегрированию уравнения (2.13). 2.4. Закон сохранения импульса Рассмотрим систему, состоящую из n частиц. Импульс i-й частицы обозначим i p . Импульсом системы будем называть векторную сумму импульсов частиц, входящих в рассматриваемую систему: i i P p = .(2.16) Соответственно скорость изменения импульса системы будет равна векторной сумме скоростей изменения входящих в систему импульсов частиц: 10 / 10 |