Формулы по векторной алгебре и геометрии. Векторная алгебра. Условие коллинеарности(параллельности) векторов и или, где. Орт
 Скачать 0.58 Mb.
|
|
Векторная алгебра. Условие коллинеарности(параллельности) векторов  и  :  или  , где  .Орт вектора  - вектор  , имеющий единичную длину и направление вектора :  .Проекция вектора  на вектор - число  . Действия над векторами в координатной форме:  ;  .Длина  вектора  :  . Направляющие косинусывектора  - числа:  ,  ,  , при этом  .Координаты вектора  , заданного точками  и  :  .Расстояние  между точками  и  :  .Координаты точки  делящей отрезок  пополам:  ,  ,  .Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение ненулевых векторов и - число:  . Скалярное произведение обладает свойствами: 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  , где  - число; Для векторов канонического базиса  :  ,  ,  ,  ,  ,  .Некоторые приложения скалярного произведения: 1) Вычисление угла между векторами и :  .2) Нахождение проекции вектора на вектор :  .3) Вычисление длины вектора  :  4) Установление перпендикулярности векторов  и  :  .Векторное произведение векторов. Векторное произведение векторов  и  - вектор  , определяемый условиями: 1)  ; 2)  и  ; 3)  - правая тройка векторов.Векторное произведение обладает свойствами: 1)  ; 2)  3)  ; 4)  , где - число; Для векторов канонического базиса :  ,  ,  ,  ,  ,  .Для векторов и , заданных координатами  ,  :  Некоторые приложения векторного произведения: 1) Вычисление площадей треугольника и параллелограмма:  .2) Установление параллельности векторов и :  .Смешанное произведение векторов. Смешанное произведение упорядоченной тройки векторов ,и  - число   . Смешанное произведение обладает свойствами: 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  и  -компланарны  ; Некоторые приложения смешанного произведения: 1) Вычисление объёмов тетраэдра и параллелепипеда:  .2) Установление компланарности векторов ,и :  и  - компланарны.3) Установление принадлежности четырёх точек  одной плоскости:  Прямая линия на плоскости. 1)  - общее уравнение прямой, где  - нормальный вектор прямой; 2)  - уравнение прямой, проходящей через точку   вектору  ;3)  - уравнение прямой, проходящей через точку  вектору  (каноническое уравнение); 4)  - уравнение прямой, проходящей через две данные точки  ,  ;5)  - уравнения прямой с угловым коэффициентом  , где - точка через которую прямая проходит;  ( ) – угол прямой осью  ;  - длина отрезка (со знаком  ), отсекаемого прямой на оси  ( « », если на положительной части оси и « », если на отрицательной).6)  - уравнение прямой в отрезках, где  и - длины отрезков (со знаком ), отсекаемых прямой на координатных осях и ( «», если на положительной части оси и «», если на отрицательной).Расстояние от точки  до прямой  :  .Угол  , ( ) между прямыми  и  :  ;  . , если   или  . ,если или  Координаты точки пересечения прямых и :  или  .Кривые на плоскости. Алгебраическая кривая второго порядка:  , где числа  - не равны нулю одновременно. Классификация кривых второго порядка: 1) если  , то общее уравнение определяет кривую эллиптического типа (окружность (при  ), эллипс (при  ), пустое множество, точку); 2) если  , то - кривую гиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых); 3) если  , то - кривую параболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых) . Окружность, эллипс, гипербола и парабола являются невырожденными кривыми второго порядка. Окружность.Каноническое уравнение окружности:  , где  радиус окружности, точка  -центрокружности. Нормальное уравнение окружности:  . Оно определяет окружность с центром в точке  и радиусом  . Эллипс.Каноническое уравнение эллипса:  ,  .Числа и  - большая и малая полуоси эллипса; точки  ,  ,  ,  - вершины; оси и - главные оси симметрии; точка - центр симметрии (или просто центр) эллипса; прямоугольник со сторонами  ,  параллельными главным осям симметрии и центром в точке - основной прямоугольник эллипса; точки  и  , где  - фокусы эллипса; векторы  и  - фокальные радиус-векторы; числа  и  - фокальные радиусыточки  , принадлежащей эллипсу; число  ( ) - эксцентриситет эллипса (при  эллипс является окружностью); прямые  и  - директрисы эллипса.Гипербола.Каноническое уравнение гиперболы  ,  . Числа и - действительная и мнимая полуоси гиперболы; точки , - вершинами; оси и - главные оси симметрии; точка - центр симметрии (или просто центр) гиперболы; прямоугольник со сторонами , параллельными главным осям симметрии и центром в точке - основной прямоугольник гиперболы; точки и , где  - фокусы гиперболы; векторы и - фокальные радиус-векторы; числа и - фокальные радиусы точки , принадлежащей гиперболе; число  ( ) - эксцентриситетгиперболы; прямые  и - директрисы гиперболы; прямые  и  называются асимптотами гиперболы (они проходят через противоположные вершины основного прямоугольника гиперболы). Парабола.Каноническое уравнение параболы:  ,  . Число  - параметр параболы; ось - ось симметрии; точка – вершина параболы; точка  - фокус параболы; вектор  - фокальный радиус-вектор; число  - фокальный радиус точки , принадлежащей параболе; прямая  - директриса параболы. Плоскость. 1)  - общее уравнение плоскости, где  - нормальный вектор плоскости; 2)  - уравнение плоскости, проходящей через точку  вектору  ;3)  - уравнение плоскости, проходящей через три точки  ,  и  ;4)  - уравнение плоскости в отрезках, где , и  - дины отрезков (со знаком ), отсекаемых плоскостью на осях , и  ( «», если на положительной части оси и «», если на отрицательной).Если  .Расстояние от точки  до плоскости  :  .Угол  , () между плоскостями  и  : . , если   , если  .Прямая в пространстве. 1)  - общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей, где  и  - нормальные векторы плоскостей  и  . 2)  - уравнение прямой, проходящей через точку вектору  (каноническое уравнение); 3)  - уравнение прямой, проходящей через две точки , ;4)  - уравнение прямой, проходящей через точку вектору  ,  (параметрическое уравнение); Угол  , () между прямыми и :  . , если    . , если  .Угол  , () между прямой  , заданной каноническим уравнением и плоскостью  , заданной общим уравнением находится по формуле:  . , если    . , если   .Расстояние между параллельными прямыми  и  :  .Расстояние между скрещивающимися прямыми и :  . Поверхности. Алгебраическая поверхность второго порядка:  , где числа  не равны нулю одновременно. Сфера.Каноническое уравнение сферы:  , где число -радиус сферы, точка  - центр сферы. Нормальное уравнение сферы:  . Оно определяет сферу с центром в точке  и радиусом . |