ан геометрия. Ан.геометрия. Векторная алгебра

• Название: Векторная алгебра
• Анкор: ан геометрия
• Дата: 27.10.2021
• Размер: 444 Kb.
• Имя файла: Ан.геометрия.doc
• Тип: Документы; #257335

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

1. 
   Скалярное произведение двух векторов.
   

. Следствия: 1. .

2.
Геометрическое свойство: .

Алгебраические свойства: 1. ;

2. ;

3. ;

4. ; причем .
Выражение скалярного произведения в декартовых координатах:

Пусть , . Тогда .

Следствия: 1.

2.

3. Пусть - углы, которые вектор образует с осями координат ОХ, ОУ, ОZ.

Тогда , , , и

. ( называются направляющими

косинусами).

2. 
   Векторное произведение двух векторов.
   

: ;

- правая тройка;

.
Геометрические свойства: 1. .

2. есть площадь параллелограмма, построенного на

приведенных к общему началу векторах .

Алгебраические свойства: 1. ;

2. ;

3. ;

4. для любого .
Выражение векторного произведения в декартовых координатах:

Пусть , . Тогда .
Следствие: .

1

3. 
   Смешанное произведение трех векторов.
   

умножим векторно на ; полученный вектор умножим скалярно на . Получившееся

число называется смешанным произведением векторов .
Геометрический смысл: Смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда,

построенного на приведенных к общему началу векторах , взятому со знаком “+”, если

тройка правая , со знаком “-“, если тройка левая. Если же векторы компланарны, их смешанное

произведение равно нулю.
Следствия: 1.

2. компланарны

3. если среди два вектора коллинеарны, то .
Выражение смешанного произведения в декартовых координатах:

Пусть , , . Тогда .

Следствие: компланарны .

.

.

2

Вопросы к коллоквиуму по векторной алгебре и аналитической геометрии.

(Учебник: В.А.Ильин, Э.Г.Поздняк “ Аналитическая геометрия “)

1. 
   Скалярное произведение двух векторов (глава 2 параграф 2 пункты 2,3,4).
   
2. 
   Векторное произведение двух векторов (глава 2 параграф 3 пункты 2,3,5,6).
   
3. 
   Смешанное произведение трех векторов (глава 2 параграф 3 пункт 4, 7).
   
4. 
   Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости (глава 3 параграф 1).
   
5. 
   Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых (глава 5 параграф 1 пункты 1,2,4,5,6).
   
6. 
   Расстояние от точки до прямой на плоскости.
   
7. 
   Плоскость в пространстве. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки (глава 5 параграф 3 пункты 1,3,4).
   
8. 
   Расстояние от точки до плоскости.
   
9. 
   Различные способы задания прямой линии в пространстве. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых (глава 5 параграф 4 пункты 1,2,3,4).
   
10. 
    Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости (глава 5 параграф 4 пункт 6).
    
11. 
    Эллипс: определение, каноническое уравнение (глава 6 параграф 1 пункт 1).
    

12. Парабола: определение, каноническое уравнение (глава 6 параграф 1 пункт 3).

13. Гипербола: определение, каноническое уравнение, асимптоты (глава 6 параграф 1 пункт 2,

параграф 2 пункт 2).

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
Прямая линия на плоскости.

1. 
   Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости.
   

Пусть точка О’(a,b) – начало новой системы

координат O’X’Y’, оси которой повернуты на угол .

Тогда координаты точки в исходной и новой системах

координат связаны соотношениями

2. 
   Общее уравнение прямой L: .
   

Cледствия: а) Пусть L: . Тогда вектор - нормальный вектор прямой

(т.е. ).

б) Пусть L проходит через точку и перпендикулярна вектору .

Тогда L: .

3. 
   Каноническое уравнение прямой.
   

Пусть L проходит через точку и параллельна вектору . (q называется

направляющим вектором прямой).

Тогда L: .

Следствие: Пусть L проходит через точки и .

Тогда L: .
4. Параметрические уравнения прямой.

Пусть L проходит через точку и параллельна вектору .

Тогда L: .
5.Прямая с угловым коэффициентом.

L: , где , b – смещение.

Следствие: Пусть L проходит через точку

и имеет угловой коэффициент k.

Тогда L: .

6. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых .

Пусть ; .

Тогда один из углов между прямыми совпадет с углом между их нормалями. Следовательно,

а) ,

б) ,

в) .

3

7. 
   Расстояние от точки до прямой L: :
   

.

Следствие: Точки и лежат по одну сторону от прямой L (т.е. отрезок

не пересекает прямую L) в том и только в том случае, когда числа

и одного знака.


Плоскость в пространстве.
1. Общее уравнение плоскости .

Cледствия: а) Пусть . Тогда вектор - нормальный вектор

плоскости (т.е. ).

б) Пусть проходит через точку и перпендикулярна вектору

. Тогда : .

2. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей .

Пусть ; .

Тогда один из углов между плоскостями совпадет с углом между их нормалями. Следовательно,

а) ,

б) ,

в) .
3.Уравнение плоскости , проходящей через три различные точки , ,

, не лежащие на одной прямой:

: .

4. Расстояние от точки до плоскости :

.

Следствие: Точки и лежат по одну сторону от плоскости (т.е.

отрезок не пересекает плоскость ) в том и только в том случае, когда числа

и одного знака.

4

Прямая линия в пространстве.

1. 
   Прямая как пересечение двух плоскостей :
   

L: .

2. Канонические уравнения прямой в пространстве.

Пусть L проходит через точку и параллельна вектору . (q называется

направляющим вектором прямой).

Тогда L: .

Следствие: Пусть L проходит через точки и .

Тогда L: .

3. Параметрические уравнения прямой.

Пусть L проходит через точку и параллельна вектору .

Тогда L: .

4. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых .

Пусть ; .

Углом между прямыми называется угол между их направляющими векторами. Следовательно,

а) ,

б) ,

в) .

5. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и

плоскости .

Пусть L: ;

.

Тогда

а) ,

б) ,

в) .

5