ан геометрия. Ан.геометрия. Векторная алгебра
![]()
|
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярное произведение двух векторов. ![]() ![]() 2. ![]() Геометрическое свойство: ![]() Алгебраические свойства: 1. ![]() 2. ![]() 3. ![]() 4. ![]() ![]() Выражение скалярного произведения в декартовых координатах: Пусть ![]() ![]() ![]() Следствия: 1. ![]() 2. ![]() 3. Пусть ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() косинусами). Векторное произведение двух векторов. ![]() ![]() ![]() ![]() Геометрические свойства: 1. ![]() 2. ![]() приведенных к общему началу векторах ![]() Алгебраические свойства: 1. ![]() 2. ![]() 3. ![]() 4. ![]() ![]() Выражение векторного произведения в декартовых координатах: Пусть ![]() ![]() ![]() Следствие: ![]() 1 Смешанное произведение трех векторов. ![]() ![]() ![]() ![]() число называется смешанным произведением векторов ![]() Геометрический смысл: Смешанное произведение векторов ![]() построенного на приведенных к общему началу векторах ![]() тройка правая , со знаком “-“, если тройка левая. Если же векторы компланарны, их смешанное произведение равно нулю. Следствия: 1. ![]() 2. ![]() ![]() 3. если среди ![]() ![]() Выражение смешанного произведения в декартовых координатах: Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Следствие: ![]() ![]() . . 2 Вопросы к коллоквиуму по векторной алгебре и аналитической геометрии. (Учебник: В.А.Ильин, Э.Г.Поздняк “ Аналитическая геометрия “) Скалярное произведение двух векторов (глава 2 параграф 2 пункты 2,3,4). Векторное произведение двух векторов (глава 2 параграф 3 пункты 2,3,5,6). Смешанное произведение трех векторов (глава 2 параграф 3 пункт 4, 7). Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости (глава 3 параграф 1). Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых (глава 5 параграф 1 пункты 1,2,4,5,6). Расстояние от точки до прямой на плоскости. Плоскость в пространстве. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки (глава 5 параграф 3 пункты 1,3,4). Расстояние от точки до плоскости. Различные способы задания прямой линии в пространстве. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых (глава 5 параграф 4 пункты 1,2,3,4). Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости (глава 5 параграф 4 пункт 6). Эллипс: определение, каноническое уравнение (глава 6 параграф 1 пункт 1). 12. Парабола: определение, каноническое уравнение (глава 6 параграф 1 пункт 3). 13. Гипербола: определение, каноническое уравнение, асимптоты (глава 6 параграф 1 пункт 2, параграф 2 пункт 2). АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Прямая линия на плоскости. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости. Пусть точка О’(a,b) – начало новой системы координат O’X’Y’, оси которой повернуты на угол ![]() Тогда координаты точки в исходной и новой системах координат связаны соотношениями ![]() Общее уравнение прямой L: ![]() Cледствия: а) Пусть L: ![]() ![]() (т.е. ![]() б) Пусть L проходит через точку ![]() ![]() Тогда L: ![]() Каноническое уравнение прямой. Пусть L проходит через точку ![]() ![]() направляющим вектором прямой). Тогда L: ![]() Следствие: Пусть L проходит через точки ![]() ![]() Тогда L: ![]() 4. Параметрические уравнения прямой. Пусть L проходит через точку ![]() ![]() Тогда L: ![]() 5.Прямая с угловым коэффициентом. L: ![]() ![]() Следствие: Пусть L проходит через точку ![]() и имеет угловой коэффициент k. Тогда L: ![]() 6. Угол ![]() Пусть ![]() ![]() Тогда один из углов между прямыми совпадет с углом между их нормалями. Следовательно, а) ![]() б) ![]() в) ![]() 3 Расстояние от точки ![]() ![]() ![]() Следствие: Точки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Плоскость в пространстве. 1. Общее уравнение плоскости ![]() Cледствия: а) Пусть ![]() ![]() плоскости (т.е. ![]() б) Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2. Угол ![]() Пусть ![]() ![]() Тогда один из углов между плоскостями совпадет с углом между их нормалями. Следовательно, а) ![]() б) ![]() в) ![]() 3.Уравнение плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4. Расстояние от точки ![]() ![]() ![]() Следствие: Точки ![]() ![]() ![]() отрезок ![]() ![]() ![]() ![]() 4 Прямая линия в пространстве. Прямая как пересечение двух плоскостей : L: ![]() 2. Канонические уравнения прямой в пространстве. Пусть L проходит через точку ![]() ![]() направляющим вектором прямой). Тогда L: ![]() Следствие: Пусть L проходит через точки ![]() ![]() Тогда L: ![]() 3. Параметрические уравнения прямой. Пусть L проходит через точку ![]() ![]() Тогда L: ![]() 4. Угол ![]() Пусть ![]() ![]() Углом между прямыми называется угол между их направляющими векторами. Следовательно, а) ![]() б) ![]() в) ![]() 5. Угол ![]() плоскости . Пусть L: ![]() ![]() Тогда а) ![]() б) ![]() в) ![]() 5 |